教师培训课件：数学建模中的风险决策.ppt

风险决策的例风险决策的例n渔船是否出海？n是否应该投资房产业？n如何填报高考志愿？共同点：要求在具有不确定因素下作出决策共同点：要求在具有不确定因素下作出决策n为什么说这是一个骗局（随机变量及数学为什么说这是一个骗局（随机变量及数学期望）期望）问题提出：问题提出：小华在一次旅游途中看到，有人用小华在一次旅游途中看到，有人用20枚签（其中枚签（其中10枚标有枚标有5分分值，分分值，10枚标有枚标有10分分值）设赌。让游客从中抽出分分值）设赌。让游客从中抽出10枚，以枚，以10枚签的分值枚签的分值总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见下表：总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见下表：这些奖是不是这么好拿呢？让我们来做一番计算。这些奖是不是这么好拿呢？让我们来做一番计算。分值分值50，10055，9560，65，85，9070，75，80奖罚金额奖罚金额奖奖100元元奖奖10元元不奖不罚不奖不罚罚罚1元元随机变量及其分布随机变量及其分布:用用X 表示奖罚金额。表示奖罚金额。X以一定的概率取值，我们称以一定的概率取值，我们称X 为为随机变量随机变量。此此处处，X 的的取取值值范范围围为为-1、0、10、100，我我们们又又称称之之为为离离散散型型随随机机变量。变量。X 取以上取以上4个值的概率：个值的概率：X-1010100P0.821100.177811.0825*10-31.0825*10-5数学期望数学期望:如如何何来来计计算算平平均均值值？设设想想上上表表中中的的第第二二行行不不是是相相应应的的概概率率值值，而而是是n次次试试验验相应的频率值。那么在这相应的频率值。那么在这n次试验中，次试验中，X 的的实际实际平均值为：平均值为：当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。上式算出的不是当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。上式算出的不是n次试次试验中验中X 的的实际实际平均值，而是指：如果把试验一直进行下去，我们平均值，而是指：如果把试验一直进行下去，我们期望期望能得到的能得到的理论上理论上的平均值。数学上称之为的平均值。数学上称之为数学期望数学期望（expectation），），记为记为EX。利用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近似地说，所有参加的利用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近似地说，所有参加的人平均每人给摊主人平均每人给摊主0.81元。人数越多，这种说法就越精确。元。人数越多，这种说法就越精确。n他该如何选择（风险决策）他该如何选择（风险决策）数学期望最优决策和填志愿数学期望最优决策和填志愿问题提出：问题提出：小小华华参参加加高高考考前前需需填填报报三三个个志志愿愿。根根据据其其学学习习成成绩绩及及对对各各专专业业（学学校校）的喜好程度得到下表：的喜好程度得到下表：专业专业喜好程度喜好程度第一志愿第一志愿第二志愿第二志愿第三志愿第三志愿(学校学校)分值分值录取概率录取概率录取概率录取概率录取概率录取概率 A 100.200 B90.40.10C80.60.50.3D60.90.90.7他该如何选择？他该如何选择？客观状况带有随机性的决策称为客观状况带有随机性的决策称为风险决策。风险决策。决决策策准准则则是是：使使决决策策在在平平均均意意义义下下达达到到最最优优。即即在在客客观观状状况况带带有有随机性波动的情况下，追求的是目标均值（数学期望）的最优化。随机性波动的情况下，追求的是目标均值（数学期望）的最优化。替小华做参谋替小华做参谋决策准则是：使喜好程度得分决策准则是：使喜好程度得分X 的数学期望的数学期望EX最高。最高。学校录取学生是按志愿依次录取。若第学校录取学生是按志愿依次录取。若第3志愿还未被志愿还未被录取，小华将高考落第。所以应先考虑第录取，小华将高考落第。所以应先考虑第3志愿。志愿。C、D两种选择的喜好程度得分期望值分别为：两种选择的喜好程度得分期望值分别为：E3(XC)=0.3*8=2.4，E3(XD)=0.7*6=4.2。因为因为E3(XD)E3(XC），），第第3志愿应选择志愿应选择D。再考虑第再考虑第2志愿，在志愿，在B、C、D这这3种选择中，喜好程度得分期望值分别为种选择中，喜好程度得分期望值分别为：E2(XB)=0.1*9+0.9*4.2=4.68E2(XC)=0.5*8+0.5*4.2=6.1；E2(XD)=0.9*6+0.1*4.2=5.82。因为因为E2(XC)E2(XD)E2(XB），第第2志愿应选择志愿应选择C。最后再考虑第最后再考虑第1志愿。喜好程度得分期望值分别为志愿。喜好程度得分期望值分别为：E1(XA)=0.2*10+0.8*6.1=6.88；E1(XB)=0.4*9+0.6*6.1=7.26；E1(XC)=0.6*8+0.4*6.1=7.24；因为：因为：E1(XB)E1(XC)E1(XA),所以第所以第1志愿应选择志愿应选择B。小华第小华第1、第、第2、第、第3志愿应分别选择志愿应分别选择B，C，D。验血问题验血问题问题提出：问题提出：全全校校1500名名同同学学都都参参加加了了学学校校组组织织的的体体检检。如如果果检检验验阳阳性性率率p 较较低低，而而需需检检验验的的人人数数又又很很多多。用用下下面面这这种种方方法法进进行行验验血血是是否否可可以以减减少少化化验次数：验次数：按按k 个个人人一一组组进进行行分分组组,把把从从k 个个人人抽抽来来的的血血混混合合在在一一起起进进行行检检验验。如如果果这这混混合合血血液液呈呈阴阴性性反反应应，就就说说明明k 个个人人的的血血都都呈呈阴阴性性反反应应。若若呈呈阳阳性，则再对这性，则再对这k 个人的血分别进行化验。个人的血分别进行化验。如如果果这这种种方方法法进进行行验验血血可可以以减减少少化化验验次次数数的的话话，那那么么k 等等于于几几时时，可以使检验次数最少？可以使检验次数最少？以以X 表示某人的验血次数。表示某人的验血次数。若按常规方法验血，每人验一次，则若按常规方法验血，每人验一次，则X=1为常数；为常数；若进行分组，则若进行分组，则X 为随机变量：为随机变量：当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时X=1/k；当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时 X=1+1/k。PX=1/k=P该小组的混合血液呈阴性反应该小组的混合血液呈阴性反应=P小组的每一位成员的血液均呈阴性反应小组的每一位成员的血液均呈阴性反应=（1-p）k；PX=1+1/k=P该小组的混合血液呈阳性反应该小组的混合血液呈阳性反应=P小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应=1-（1-p）k。X的概率分布为：的概率分布为：X1/k1+1/kp（1-p）k1-（1-p）k平均验血次数平均验血次数EX=1/k*（1-p）k+(1+1/k)*(1-（1-p）k)=1-（1-p）k+1/k.当当p已知时，我们可以选取已知时，我们可以选取k使之最小。使之最小。例如例如 p=0.1，当当k=4时，时，EX=1-0.9k+1/4=0.594。所需的平均验血次数为所需的平均验血次数为 n=1500*0.594=891次次面包房进货问题面包房进货问题问题提出：问题提出：一家面包房，某种面包每天的需求量为一家面包房，某种面包每天的需求量为100、150、200、250、300的概率分别为的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和和0.1。每个面包的进货价为。每个面包的进货价为2.50元，销售价为元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的只能以每只元，若当天不能售完，剩下的只能以每只2元的元的价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是50的倍数）的倍数）X 为随机变量其概率分布为：为随机变量其概率分布为：X100150200250300p0.20.250.30.150.1利润用利润用L 表示；进货量用表示；进货量用y 表示。有：表示。有：L依赖于进货量依赖于进货量 y和需求量和需求量X，所以所以L也是随机变量。也是随机变量。这是一个风险决策问题。这是一个风险决策问题。决定进货量应以平均利润决定进货量应以平均利润E(L)为标准。为标准。当当y=100时时,EL=1.5y=150(元元)；当当y=150时时,若若X=100，则则L=2X-0.5y=125（元）；元）；若若X150，则则L=1.5y=225（元）；元）；L的概率分布为：的概率分布为：L125225p0.20.8EL=0.2*125+0.8*225=205(元元)；当当y=200 时时若若X=100，则则L=2X-0.5y=100（元）；元）；若若X=150，则则L=2X-0.5y=200（元）；元）；若若X 200，则则L=1.5y=300（元）；元）；L的概率分布为：的概率分布为：EL=0.2*100+0.25*200+0.55*300=235(元元)L100200300p0.20.250.55当当y=250 时时 若若X=100，则则L=2X-0.5y=75（元）；元）；若若X=150，则则L=2X-0.5y=175（元）；元）；若若X=200，则则L=2X-0.5y=275（元）；元）；若若X 250，则则L=1.5y=375（元）；元）；L 的概率分布为：的概率分布为：L75175275375p0.20.250.30.25EL=0.2*75+0.25*175+0.3*275+0.25*375=235（元）元）当当y=300 时时L的概率分布为：的概率分布为：比较可得：当比较可得：当y=200或或y=250时时L最大。最大。每天进每天进200或或250个面包，这样在需求量没有根本性变化（分布个面包，这样在需求量没有根本性变化（分布没有变化）之前，在这个进货决策下，销售这一品种面包的日平没有变化）之前，在这个进货决策下，销售这一品种面包的日平均利润为均利润为235元。元。L50150250350450p0.20.250.30.150.1EL=0.2*50+0.25*150+0.3*250+0.15*350+0.1*450=220