概率论与数理统计(第三章第4节).ppt
第四节 随机变量的函数的分布 很多实际问题常常要用很多实际问题常常要用以随机变量为以随机变量为自变量的函数自变量的函数来描述来描述,当这个函数满足一当这个函数满足一定的条件时定的条件时,它也是随机变量。它也是随机变量。一般一般,假定假定 X 或或(X,Y)是已知分布是已知分布的随机变量的随机变量,g(x)或或 G(x,y)是实值的一元是实值的一元或二元函数或二元函数,当当 g(X)或或 G(X,Y)是随机是随机变量时变量时,希望希望通过已知的通过已知的 X 或或(X,Y)的的分布去确定分布去确定 g(X)或或 G(X,Y)的分布的分布。11.离散型随机变量的函数的分布律离散型随机变量的函数的分布律 当当X 或或(X,Y)是离散型随机变量时是离散型随机变量时,它们的函数仍然是离散型的随机变量。它们的函数仍然是离散型的随机变量。例例1.设随机变量设随机变量 X 具有分布律具有分布律求求:Y=2X 以及以及 Z=sin X 的分布律。的分布律。2 解解.首先由首先由 X 的可能取值确定的可能取值确定 Y 及及 Z 的取值的取值:XY=2XZ=sin X1 0 1 0得到随机变量函数得到随机变量函数 Y 及及 Z的分布律为的分布律为:3Y PY=yj Z 1 0 1PZ=zk 4 例例2.设随机变量设随机变量(X,Y)具有联合分布具有联合分布律律:X11Y0 1 2求求:Z=X+Y 的分布律。的分布律。5 解解.对应于对应于 X,Y 取值的取值的 Z=X+Y 的值的值是是X11Y0 1 2Z101123得到得到 Z 的分布律为的分布律为6 记记 Z=g(X)或或 Z=G(X,Y),求求 Z 的的分布律的一般步骤是：分布律的一般步骤是：(1)确定确定 Z 的所有可能取值的所有可能取值 zk,k=1,2,;(2)计算概率值计算概率值 P Z=zk,有如下公有如下公式式zk=g(xi)或或 G(xi,yj)7 当当Z=g(X)时时,P Z=zk =P g(X)=zk =P X=xi 对满足对满足 g(xi)=zk 的的 xi 求和求和当当Z=G(X,Y)时时,P Z=zk =P X=xi,Y=yj 对满足对满足 G(xi,yj)=zk 的的 xi 与与 yj 求和求和8 当随机变量取整数值时当随机变量取整数值时,可以得到如可以得到如下更具体的公式下更具体的公式:设离散型随机变量设离散型随机变量 X、Y 的可能取值的可能取值是是 0,1,2,则则 X+Y 的分布律是的分布律是如果如果 X,Y相互独立相互独立还有还有k=0,1,2,9 例例3.设随机变量设随机变量 X、Y 相互独立相互独立,均服均服从泊松分布从泊松分布,X P(1),Y P(2),证明证明:X+Y P(1+2)证证:X、Y 的可能取值都是的可能取值都是0,1,2,于是于是 X+Y 的可能取值也是的可能取值也是0,1,2,并且并且10所以所以,X+Y P(1+2)。Cik11 例例3 的结论称为泊松分布具有的结论称为泊松分布具有“再生再生性性”。还可以证明。还可以证明二项分布也具有再生性二项分布也具有再生性 设设 X、Y 相互独立相互独立,X B(n1,p),Y B(n2,p),则有则有 X+Y B(n1+n2,p)。从二项分布的直观背景也可解释其再从二项分布的直观背景也可解释其再生性。而且生性。而且,利用数学归纳法利用数学归纳法,还可以得还可以得到如下的重要结论。到如下的重要结论。12 设随机变量设随机变量 X1,X2,Xn 相互独相互独立立,均均 服从同样的服从同样的(0-1)分布分布,即即 B(1,p),则则X1+X2+Xn B(n,p)直观上直观上,考虑考虑 n 重贝努里试验重贝努里试验,以以 Xi 表示第表示第 i 次试验时事件次试验时事件 A 的发生次数的发生次数,则则X1+X2+Xn 就是就是n 重贝努里试验中事重贝努里试验中事件件A 发生的次数发生的次数,服从服从 B(n,p)。132.连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布 当当X 或或(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,它它们的函数们的函数 g(X)或或 G(X,Y)可以是连续型可以是连续型随机变量随机变量,也可以是离散型随机变量也可以是离散型随机变量。例例4.设随机变量设随机变量Y 服从参数为服从参数为 =1的的指数分布指数分布,定义随机变量定义随机变量Xk=0,若若Yk;1,若若Y k。k=1,2求求:X1,X2的分布律及的分布律及(X1,X2)的联合分布律。的联合分布律。14 解解.X1,X2 的可能取值都是的可能取值都是 0,1;Y 的的概率密度是概率密度是fY(y)=e x 当当 x 0;0 当当 x0。于是于是 PXk=0=PYk=e xdx=1 e k PXk=1=PY k=e xdx=e k得到得到Xk 0 1PXk=i 1 e k e kk=1,215再求出再求出(X1,X2)的联合分布律的联合分布律X01Y0 1因为因为P X1=0,X2=0 =PY1,Y2 1 e 1P X1=0,X2=1 =PY1,Y2 0P X1=1,X2=0 =P 1Y2 e 1 e 2P X1=1,X2=1 =PY1,Y2 e 216 像例像例4 这种这种连续型随机变量的函数是连续型随机变量的函数是离散型随机变量离散型随机变量的题目的题目,其核心的运算是其核心的运算是利用概率密度计算概率利用概率密度计算概率。下面要解决的主要问题是下面要解决的主要问题是:当当 g(X)或或 G(X,Y)为连续型随机变为连续型随机变量时量时,由由 X 或或(X,Y)的概率密度去确定的概率密度去确定g(X)或或 G(X,Y)的概率密度的概率密度。17 例例5.已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度为的概率密度为连续函数连续函数 fX(x),求求:Y=X 2 的概率密的概率密度度 fY(y)。求解思路求解思路:首先确定分布函数首先确定分布函数,然后确定然后确定 概率密度。概率密度。解解.FY(y)=PYy =P X 2y,有有当当 y0 时时,FY(y)=0;Y=g(X)的概率密度的概率密度18当当y 0 时时,对分布函数对分布函数 FY(y)求导求导,即得即得到到19 一般的一般的,Y=g(X)时时FY(y)=PYy =P g(X)y 求解的关键求解的关键 解决问题解决问题的出发点的出发点想办法将不等式想办法将不等式“g(X)y”等价转换等价转换为关于为关于 X 的不等式的不等式“X”,再利用再利用 X 的概率密度求出所需结果。的概率密度求出所需结果。当函数当函数 g(x)满足一定条件时满足一定条件时,上述上述等等价转换价转换比较容易实现。比如比较容易实现。比如,g(x)为单调为单调函数时函数时,有如下的公式有如下的公式:20当当 g(x)为单调递增函数为单调递增函数 g(X)y Xg 1(y)反函数反函数此时此时,FY(y)=FX g 1(y)当当 g(x)为单调递减函数为单调递减函数 g(X)y Xg 1(y)-此时此时,FY(y)=1FX g 1(y)21 例例6.已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度为连的概率密度为连续函数续函数 fX(x),求求:Y=a X+b (a0)的概的概率密度率密度 fY(y)。解解.当当a0 时时,当当a0 时时,22对对 y 求导得到求导得到例例5的的“平方变换平方变换”,例例6 的的“线性变线性变换换”的结论的结论,以后都可作为公式使用。以后都可作为公式使用。23由由 的结论的结论,可得到一个重要性质可得到一个重要性质:例例6 例例7.设随机变量设随机变量 X N(,2),则则 X 的线性函数的线性函数Y=a X+b (a0)服从正态分服从正态分布布 N(a +b,a 2 2)。所以所以,Y N(a +b,a 2 2)。解解:24特别地特别地,此时此时,Y 服从标准正态分布服从标准正态分布 N(0,1)。标准化标准化变换变换结论结论:正态分布的线性函数仍然正态分布的线性函数仍然 服从正态分布服从正态分布;任意的正任意的正 态分布可以通过标准化变态分布可以通过标准化变 换换,变成标准正态分布。变成标准正态分布。25 Z=G(X,Y)的概率密度的概率密度 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x,y),求解的出发点是求解的出发点是FZ(z)=P Zz =P G(X,Y)z=满足满足 G(x,y)z 的区域的区域26注注:如果能将不等式如果能将不等式 G(X,Y)z 等等价转换为关于价转换为关于 X,Y 的不等式的不等式 X和和 Y,则剩下的工作将不太困难。则剩下的工作将不太困难。例例8.设随机变量设随机变量X1,X2,Xn 相相互独立互独立,服从同样的区间服从同样的区间(0,a)上的均匀上的均匀分布分布,求求(1)max(X1,X2,Xn)的概率密度的概率密度 fmax(z);(2)min(X1,X2,Xn)的概率密度的概率密度 fmin(z);27 解解.(1)设设 X1,X2,Xn 的分布函的分布函数和概率密度分别为数和概率密度分别为FX(x)与与fX(x),有有Fmax(z)=P max(X1,X2,Xn)z=P X1z,X2z,Xnz=P X1z P X2z P Xnz=FX(z)n于是于是 fmax(z)=n FX(z)n 1 fX(z)随机变量随机变量极大值分布极大值分布计算公式计算公式28因为因为X1,X2,Xn 服从区间服从区间(0,a)上的均匀分布上的均匀分布,有有因此因此29(2)类似地类似地,有有Fmin(z)=P min(X1,X2,Xn)z=1P min(X1,X2,Xn)z=1P X1 z,X2 z,Xn z=1PX1 z PX2 z PXn z=1 1FX(z)n于是于是fmin(z)=n 1FX(z)n 1 fX(z)随机变量随机变量极小值分布极小值分布计算公式计算公式30因此得到因此得到 计算计算 Z=G(X,Y)的概率密度的概率密度,更多更多的时候是由的时候是由 通过积分运算而得到。通过积分运算而得到。公式公式31随机变量之和的分布随机变量之和的分布 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度为为 f(x,y),Z=X+Y,则有则有FZ(z)=P X+Yz=x+yz 如图所示如图所示x+y=zxyo32故故 FZ(z)=或者或者 FZ(z)=在在式中对积分式中对积分作积分变量作积分变量变换变换,令令 x=uy,则则33于是于是 FZ(z)=由连续型随机变量定义由连续型随机变量定义 FZ(z)=得到得到fZ(z)=34类似地类似地,在在式中对积分式中对积分式式作积分变量替换作积分变量替换,令令 y=ux,然后可得到然后可得到fZ(z)=当随机变量当随机变量X,Y 相互独立时相互独立时,上述两上述两 个公式变化为个公式变化为35fZ(z)=或者或者fZ(z)=这两个公式又称为这两个公式又称为卷积公式卷积公式。利用卷积公式利用卷积公式,可以证明可以证明36正态分布具有再生性正态分布具有再生性 设随机变量设随机变量X,Y 相互独立相互独立,并且并且 X N(1,12),Y N(2,22)则有则有 X+Y N(1+2,12+22)。联系正态分布线性函数的性质联系正态分布线性函数的性质,再运再运用数学归纳法用数学归纳法,有如下重要结论有如下重要结论:有限个有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布。正态分布线性函数的性质正态分布线性函数的性质37 例例9.设随机变量设随机变量X,Y 相互独立相互独立,均服均服从区间从区间(a,b)上的均匀分布上的均匀分布,求求:Z=X+Y 的概率密度的概率密度 fZ(z)。解解:由卷积公式由卷积公式,有有由于由于38 因此因此,被积函数被积函数 fX(x)fY(zx)当不当不等式等式a x b 与与 a zx 0)和和 (0)的指数的指数分布分布,求求 Z=的概率密度的概率密度 fZ(z)。解解.由随机变量商的概率密度公式由随机变量商的概率密度公式由于由于48 因此因此,被积函数被积函数 fX(zy)fY(y)当不等当不等式式zy 0 与与 y 0 同时成立时不为同时成立时不为0,否则均为否则均为 0;满足这个满足这个条件的是条件的是 y 0 且且 z 0。于是。于是当当 z0 时时,fZ(z)=0;当当 z 0 时时,49即得到即得到50
