复数与拉普拉斯变换的复习.ppt
复习 拉普拉斯变换有关内容（1）1 复数有关概念（1）复数、复函数 复函数 复数例1（2）模、相角（3）复数的共轭（4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。模相角 欧拉公式欧拉公式复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，时，此点可表示为此点可表示为e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开三角函数可表示为三角函数可表示为三角函数可表示为三角函数可表示为同样若同样若同样若同样若 展开，可得到展开，可得到展开，可得到展开，可得到4 4傅里叶生平傅里叶生平17681768年生于法国年生于法国年生于法国年生于法国18071807年提出年提出年提出年提出“任何周任何周任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示数级数表示数级数表示”18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件个给出收敛条件个给出收敛条件拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表18221822年首次发表在年首次发表在年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论热的分析理论热的分析理论”一书中一书中一书中一书中5傅立叶的两个最主要的傅立叶的两个最主要的贡献献“周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和弦信号的加权和”傅里叶的第傅里叶的第一个主要论点一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点6变换域分析域分析频域分析：傅里叶变换，自变量为频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换,自变量为自变量为 S=+j Z域分析：域分析：Z 变换，自变量为变换，自变量为z 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一法之一定义定义-傅里叶变换傅里叶变换 若若 满足傅氏积分定理条件，满足傅氏积分定理条件，称表达式称表达式 为为 的的傅里叶变换式傅里叶变换式,记作记作 我们我们称函数称函数 为为 的傅里叶变换，简称的傅里叶变换，简称傅氏变换傅氏变换积分变换的理论方法积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用一种研究工具发挥着十分重要的作用 复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义（1）阶跃函数像函数原像原函数3 常见函数的拉氏变换（2）指数函数 由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义定义定义7.3.1 傅里叶变换傅里叶变换 若若 满足傅氏积分定理条件，满足傅氏积分定理条件，称表达式称表达式（）（）为为 的的傅里叶变换式傅里叶变换式,记作记作 我们我们称函数称函数 为为 的傅里叶变换，简称的傅里叶变换，简称傅氏变换傅氏变换 复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数 复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有：复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求解.例3 求解.复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：例4 求 Lt=?解.例5 求解.复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（7 7）（4）实位移定理证明：例6解.令 复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：令例7例8例9 复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：由微分定理例10 复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：由微分定理例11（终值确实存在时）例12 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（11 11）5 用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换控制系统的数学模型课程小结课程小结 (1)(1)时域模型 微分方程 元部件及系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的特点 非线性方程的线性化 微分方程求解课程小结(2)1 拉氏变换的定义（2）单位阶跃2 常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数课程小结(3)3 拉氏变换重要定理（2）微分定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 拉拉氏氏逆逆变变换换的的数数学学方方法法有理函数法有理函数法部分分式法部分分式法查表法查表法根据拉氏逆变换公式根据拉氏逆变换公式求解。求解。Laplace变换表查出相变换表查出相应的原函。应的原函。通过代数运算将一个复通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简杂的象函数化为数个简单的部分分式之和。单的部分分式之和。拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法 只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1包含多重极点的情况包含多重极点的情况2线性定常微分方程求解（举例说明）（举例说明）例6 R-C 电路计算
