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第八章第八章 三维三维对象的表示对象的表示本章重点讲述内容：讲解五种三维对象本章重点讲述内容：讲解五种三维对象表示方法表示方法多边形表面多边形表面曲线曲面曲线曲面：Bezier曲线曲线结构实体几何法结构实体几何法八叉树八叉树分形几何方法分形几何方法第八章第八章 三维三维对象的表示对象的表示l三维对象表示方法通常可分为两类：三维对象表示方法通常可分为两类：边界表示边界表示空间分区空间分区三维对象描述方法三维对象描述方法1l边界表示边界表示使用一组曲面描述使用一组曲面描述三维三维对象对象曲面将物体分为内外两部分。曲面将物体分为内外两部分。典型例子：多边形平面、典型例子：多边形平面、样条曲面样条曲面三维对象描述方法三维对象描述方法1三维对象描述方法三维对象描述方法1三维对象描述方法三维对象描述方法2l空间分区表示空间分区表示用来描述物体内部性质用来描述物体内部性质将包含一物体的空间区域将包含一物体的空间区域划分成一组较小的、非重划分成一组较小的、非重叠的、邻接的实体叠的、邻接的实体如：八叉树表示如：八叉树表示三维对象描述方法三维对象描述方法2三维物体的表示方法三维物体的表示方法l边界表示方法边界表示方法多边形表面多边形表面曲线曲面曲线曲面l空间分区表示方法空间分区表示方法结构实体几何法结构实体几何法八叉树八叉树l其他表示方法其他表示方法分形几何方法分形几何方法数字媒体技术研究所数字媒体技术研究所粒子系统 爆炸与闪电特效数字媒体技术研究所数字媒体技术研究所基于物理的方法 布料动画 8.1 多边形表面多边形表面 三维图形中运用边界表示的最普遍方式三维图形中运用边界表示的最普遍方式是使用一组包围物体内部的表面多边形是使用一组包围物体内部的表面多边形以一组表面多边形来存储物体的描述以一组表面多边形来存储物体的描述由于所有表面以线性方程加以描述，由于所有表面以线性方程加以描述，因此，会简化并加速物体的表面绘制因此，会简化并加速物体的表面绘制和显示。和显示。8.1 多边形表面多边形表面l多边形表数据表分为两组进行组织：多边形表数据表分为两组进行组织：几何表：顶点坐标和用来标识多边几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数形表面空间方向的参数属性表：指明物体透明度及表面反属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征射度的参数和纹理特征顶点表顶点表序号序号点坐标点坐标V1x1,y1,z1V2x2,y2,z2V3x3,y3,z3V4x4,y4,z4V5x5,y5,z5边表边表序号序号顶点号顶点号E1V1,V2E2V2,V3E3V3,V1E4V3,V4E5V4,V5E6V5,V1多边形面表多边形面表序号序号边序号边序号S1E1,E2,E3S2E3,E4,E5,E6E1E2E4E5S1v2v1v3v4v5E3E6S2多边形表面多边形表面8.2 曲线和曲面曲线和曲面l曲线曲面的生成方法曲线曲面的生成方法给定一组数学函数给定一组数学函数给定的一组数据点给定的一组数据点l一旦给定函数，图形包将指定曲线方程投影到一旦给定函数，图形包将指定曲线方程投影到显示平面上，且沿着投影函数路径绘制像素位显示平面上，且沿着投影函数路径绘制像素位置置l对曲面而言，函数式描述通常嵌入到生成曲面对曲面而言，函数式描述通常嵌入到生成曲面的多边形网格逼近中。常用三角形网格的多边形网格逼近中。常用三角形网格l由函数式描述而生成的显示曲面的例子有二次由函数式描述而生成的显示曲面的例子有二次曲面和超二次曲面曲面和超二次曲面 8.2 曲线和曲面曲线和曲面l样条的历史样条的历史很早的绘图员利用很早的绘图员利用“ducks”和有柔性的木条和有柔性的木条（样条）来绘制曲线（样条）来绘制曲线木质的样条具有二阶连续木质的样条具有二阶连续并且通过所有的控制点并且通过所有的控制点8.3 样条表示样条表示A Duck Ducks trace out curvel样条：通过一组指定点集而生成平滑曲样条：通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带线的柔性带l样条曲线在计算机图形学中的含义样条曲线在计算机图形学中的含义由多项式曲线段连接而成的曲线由多项式曲线段连接而成的曲线在每段的边界处满足特定的连续性条件在每段的边界处满足特定的连续性条件l样条曲面样条曲面使用两组正交样条曲线进行描述使用两组正交样条曲线进行描述8.3 样条表示样条表示l给定一组称为给定一组称为控制点控制点的坐标点，可以得的坐标点，可以得到一条样条曲线，这些点给出了曲线的到一条样条曲线，这些点给出了曲线的大致形状大致形状l根据这些控制点，有两种方法来选取分根据这些控制点，有两种方法来选取分段连续多项式函数段连续多项式函数8.3 样条表示样条表示l曲线的类型曲线的类型8.3 样条表示样条表示插值插值样条曲线：选取样条曲线：选取的多项式使得曲线通的多项式使得曲线通过每个控制点过每个控制点逼近逼近样条曲线：样条曲线：选取的多项式不选取的多项式不一定使曲线通过一定使曲线通过每个控制点每个控制点凸壳凸壳l凸壳的定义凸壳的定义 包含一组控制点的凸多边形边界包含一组控制点的凸多边形边界l凸壳的作用凸壳的作用提供了曲线或曲面与包围控制点的区域提供了曲线或曲面与包围控制点的区域之间的偏差的测量之间的偏差的测量以凸壳为界的样条保证了多项式沿控制以凸壳为界的样条保证了多项式沿控制点的平滑前进点的平滑前进凸壳凸壳逼近样条的控制图逼近样条的控制图l也叫曲线的控制多边形、特征多边形也叫曲线的控制多边形、特征多边形l含义：含义：对于逼近曲线，连接控制点序列的折线图对于逼近曲线，连接控制点序列的折线图l作用作用标识控制点的顺序标识控制点的顺序l参数参数连续性条件连续性条件 两个相邻曲线段在相交处的参数导数两个相邻曲线段在相交处的参数导数相等相等零阶连续零阶连续(C0连续连续)：简单地表示曲线：简单地表示曲线连接连接一阶连续一阶连续(C1连续连续)：说明代表两个相邻曲线的：说明代表两个相邻曲线的方程在相交点处有方程在相交点处有相同的一阶导数相同的一阶导数（切线）（切线）二阶连续二阶连续(C2连续连续)：两个曲线段在交点处：两个曲线段在交点处一阶一阶和二阶导数相同和二阶导数相同，交点处的切向量变化率相等，交点处的切向量变化率相等8.2.1 参数连续性条件参数连续性条件曲线分段构造时参数连续性条件曲线分段构造时参数连续性条件零阶连续零阶连续 一阶连续一阶连续 二阶连续二阶连续F(u)f(u)F(1)=f(0)F(1)=f(0)F(1)=f(0)l几何几何连续性条件连续性条件 两个相邻曲线段在相交处的参数导数两个相邻曲线段在相交处的参数导数成比例成比例零阶连续（零阶连续（G0连续）：与连续）：与0阶参数连续性相同，阶参数连续性相同，即两个曲线必在公共点处有相同的坐标即两个曲线必在公共点处有相同的坐标一阶连续（一阶连续（G1连续）：表示连续）：表示一阶导数一阶导数在两个在两个相邻曲线的交点处成比例相邻曲线的交点处成比例二阶连续（二阶连续（G2连续）：表示两个曲线段在相连续）：表示两个曲线段在相交处的一阶和二阶导数均成比例交处的一阶和二阶导数均成比例8.2.2 几何连续性条件几何连续性条件8.2.2 几何连续性条件几何连续性条件l几何与参数生成的曲线类似，但有差别，几几何与参数生成的曲线类似，但有差别，几何连续性，曲线将向具有较大切向量的部分何连续性，曲线将向具有较大切向量的部分弯曲弯曲l插值样条曲线插值样条曲线三次样条插值三次样条插值自然三次样条插值自然三次样条插值Hermite样条插值样条插值Cardinal样条插值样条插值Kochanek_Bartels样条插值样条插值l逼近逼近样条曲线样条曲线Bezier曲线曲线B_样条曲线样条曲线8.3 样条曲线样条曲线外形设计外形设计数学基础简单，数学基础简单，容易实现容易实现 8.3 Bezier曲线和曲面曲线和曲面l法国法国BezierBezier使用逼近样条设计汽车使用逼近样条设计汽车 8.3 Bezier曲线和曲面曲线和曲面lBezier曲线构造曲线构造假定给出假定给出n+1控制点控制点：pk=(xk,yk,zk),k取值取值范围为范围为0到到n，这些坐标值用于合成位置向量，这些坐标值用于合成位置向量 P(u)0u18.3 Bezier曲线和曲面曲线和曲面=混合函数混合函数BEZk,n(u)lBezier多项式次数控制点个数多项式次数控制点个数-1Bezier曲线曲线的次数的次数Bezier曲线举例曲线举例P0P1P2BezierBezier曲线举例曲线举例P0P1P2P3P0P1P2P3lBezier曲曲线总线总是是通通过过第一个和最后一个第一个和最后一个控制点控制点lBezier曲曲线线在第一个控制点在第一个控制点P0处处与直与直线线P0P1相切相切，在最后一个控制点，在最后一个控制点Pn处处与直与直线线Pn-1Pn相切。相切。Bezier曲线的特性曲线的特性Bezier曲线的特性曲线的特性lBezier曲线总是落在控制点的凸壳内曲线总是落在控制点的凸壳内 保证了曲线沿控制点的平稳前进保证了曲线沿控制点的平稳前进 l第一和最后一个控制点重合生成封闭第一和最后一个控制点重合生成封闭Bezier曲线曲线l多个控制点位于同一位置会对该位置加以多个控制点位于同一位置会对该位置加以更多的权更多的权l分段分段Bezier曲线曲线零阶参数连续零阶参数连续Bezier曲线的构造曲线的构造一阶参数连续一阶参数连续Bezier曲线的构造曲线的构造 使用使用Bezier曲线的设计技术曲线的设计技术BezierBezier曲线曲线p1p4p2p3p0=p5Bezier曲线曲线p0p1=p2p3p4Bezier曲线曲线P0p0p1p2P1P2P38.4 Bezier曲面曲面l使用两组正交的使用两组正交的Bezier曲线来设计曲线来设计 (m+1)*(n+1)个控制点个控制点8.4 Bezier曲面曲面实体构造技术实体构造技术l由简单的物体来构成复杂的物体由简单的物体来构成复杂的物体扫描表示扫描表示结构实体几何法结构实体几何法8.5 扫描表示扫描表示l思想：思想：通过平移、旋转及其他对称变换来构造通过平移、旋转及其他对称变换来构造三维对象三维对象 通过指定一个二维形状以及在空间区域通过指定一个二维形状以及在空间区域内移动该形状的扫描来描述该三维物体内移动该形状的扫描来描述该三维物体zoyxAl平移扫描平移扫描 二维图形二维图形A沿沿Z轴平移轴平移8.5 扫描表示扫描表示8.5 扫描表示扫描表示l旋转扫描旋转扫描 二维图形二维图形A绕绕Z轴旋转轴旋转zByxAl思想思想:通过对两个指定三维对象进行并、交或通过对两个指定三维对象进行并、交或差等集合操作产生一个新的三维对象差等集合操作产生一个新的三维对象 也叫结构实体几何法。也叫结构实体几何法。8.6 结构实体几何法结构实体几何法8.6 结构实体几何法结构实体几何法物体物体A和和B差差合合交交差差8.6 结构实体几何法结构实体几何法合合交交差差8.7 八叉树八叉树l分层树形结构，称为八叉树。分层树形结构，称为八叉树。l思想：思想：利用实体的空间相关性利用实体的空间相关性l优点：优点：减少了三维物体的存储需求减少了三维物体的存储需求提供了存储有关物体内部信息的方提供了存储有关物体内部信息的方便表示便表示8.7 八叉树八叉树四叉树四叉树二维空间二维空间三维空间三维空间八叉树八叉树四叉树四叉树l四叉树四叉树数据结构数据结构思想思想 同质象限同质象限10231023l用于用于二维形体二维形体的分解的分解l对形体所在的外接正方形对形体所在的外接正方形递归地等分递归地等分4个小正方形，个小正方形，这个分解过程可表示为一棵树，除叶节点，其每这个分解过程可表示为一棵树，除叶节点，其每个节点都有四个分支，分别表示个节点都有四个分支，分别表示4个小正方形个小正方形若小正方形是同质的，则不必再分解；若小正方形是同质的，则不必再分解；若小正方形是非均质的，则需将它再一分为四若小正方形是非均质的，则需将它再一分为四分解是递归的。分解是递归的。四叉树四叉树四叉树四叉树l例：例：3120312001230132四叉树四叉树312456132519241820 21 22 23711 12891014 15 1617具有子孙的节点具有子孙的节点空节点空节点实节点实节点245139 107811 12314 15 20 21 16 17 22 23 18 19 24 2516l三维形体的分解三维形体的分解l对一个外接对一个外接立方体立方体的形体进行前后、左右、的形体进行前后、左右、上下等分为上下等分为8个小立方体，个小立方体，l小立方体单元均质，则停止分解；小立方体单元均质，则停止分解；l小立方体单元非均质，需进一步分解为小立方体单元非均质，需进一步分解为8个子立方体个子立方体l直至所有小立方体单元均质，或已分解到直至所有小立方体单元均质，或已分解到规定的分解精度为止。规定的分解精度为止。八叉树八叉树八叉树八叉树236720131375具有子孙的节点具有子孙的节点空节点空节点实节点实节点8.8 分形几何方法分形几何方法l欧氏几何法欧氏几何法&分形几何法分形几何法l分形基本特征分形基本特征l分形生成过程分形生成过程8.8 分形几何方法分形几何方法l传统欧氏几何：传统欧氏几何：物体形状由方程来描述物体形状由方程来描述具有平滑的表面和规则的形状具有平滑的表面和规则的形状l分形几何：分形几何：从整体上看，分形几何图形是处处不规则的从整体上看，分形几何图形是处处不规则的在不同尺度上，图形的规则性又是相同的在不同尺度上，图形的规则性又是相同的使用过程使用过程而不是使用方程来对物体进行而不是使用方程来对物体进行建模建模自然景物：山、树、海岸线等自然景物：山、树、海岸线等8.8 分形几何方法分形几何方法l分形基本特征分形基本特征每点具有无限细节每点具有无限细节对象整体和局部之间的自相似性对象整体和局部之间的自相似性 利用一个过程来描述分形物体，该过程利用一个过程来描述分形物体，该过程为产生物体局部细节指定了重复操作为产生物体局部细节指定了重复操作8.8 分形几何方法分形几何方法l分形生成过程分形生成过程通过在空间区域内对各点重复使用指定的变换函通过在空间区域内对各点重复使用指定的变换函数，可以生成一个分形图形数，可以生成一个分形图形 如果：初始点如果：初始点P0,变换函数变换函数FP1F(P0),P2F(P1),P3F(P2)l分形物体包含无限的细节，但仅运用有限次变换分形物体包含无限的细节，但仅运用有限次变换函数。函数。l包括在最终图形显示中的细节数量依赖于重复执包括在最终图形显示中的细节数量依赖于重复执行的次数和显示系统的分辨率行的次数和显示系统的分辨率分形分形lKoch曲线曲线n=4，每一步各小段分形数，每一步各小段分形数s=1/3，比例因子，比例因子D=ln n/ln(1/s)=ln 4/ln3=1.2619分形分形树形生成元及对应曲线树形生成元及对应曲线分形分形树形生成元及对应曲线树形生成元及对应曲线分形图案欣赏分形图案欣赏l绚丽多彩的人工分形图案绚丽多彩的人工分形图案分形图案欣赏分形图案欣赏分形图案欣赏分形图案欣赏