《误差理论与测量平差基础教学课件》第十一讲.ppt

第三章第三章 条条 件件 平平 差差Conditional Least-Squares AdjustmentConditional Least-Squares Adjustment1 1、The Concept of Conditional LS AdjustmentThe Concept of Conditional LS Adjustment2 2、Conditional EquationConditional Equation3 3、Normal EquationNormal Equation第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment4 4、ExampleExample1 1、The Concept of Conditional LS AdjustmentThe Concept of Conditional LS Adjustment第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1）Description 当以全部观测量的最或然值作未知参数时，由当以全部观测量的最或然值作未知参数时，由于有多余观测，这些未知数之间必定构成一定于有多余观测，这些未知数之间必定构成一定数学关系。如果一个几何模型中，有数学关系。如果一个几何模型中，有r个多余个多余观测，就产生观测，就产生r个条件方程，以条件方程为函个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。数模型的平差方法，就是条件平差。2）Example1 1、The Concept of Conditional LS AdjustmentThe Concept of Conditional LS Adjustment第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment2）Example 例例1 如一平面三角形内角观测值为如一平面三角形内角观测值为 ，取相应的最或然值取相应的最或然值 为未知数，则应有为未知数，则应有关系式关系式令令，则，则1 1、The Concept of Conditional LS AdjustmentThe Concept of Conditional LS Adjustment第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment2）Example 例例2 水准网中（箭头指向高端），水准网中（箭头指向高端），设观测高差设观测高差 的最或然的最或然值值 为未知数，则有为未知数，则有令令，则，则h5h4h3h2h1DCBA1 1、The Concept of Conditional LS AdjustmentThe Concept of Conditional LS Adjustment第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment3）Notea.Number of equations=Number of redundantb.Insure that the equations are linearly independentc.Make sure that each observation appears at least once in the conditional equationsd.r=n-t2 2、Conditional EquationConditional Equation第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1）General Form of Conditional Equation 观测值的个数观测值的个数为为n，多余观测多余观测个数为个数为r设：设：Conditional Equation:Conditional Equation:或或Stochastic Model:Stochastic Model:2 2、Conditional EquationConditional Equation第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment2）No-Linear Form 线性化，取至一次项线性化，取至一次项或或2 2、Conditional EquationConditional Equation第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment2）No-Linear Form 令令 于是于是2 2、Conditional EquationConditional Equation第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment3）ExampleABCP123456 在三角形中，设有一在三角形中，设有一插点图形，其中插点图形，其中A、B、C为已知点，为已知点，P为未知为未知点，设角度观测值为点，设角度观测值为Li，相应的平差值为相应的平差值为 列出条件方程列出条件方程2 2、Conditional EquationConditional Equation 1.图形条件（图形条件（2）条件数（条件数（r）总观测数（总观测数（n）必需观测数（必需观测数（t，未知参数个未知参数个数）数）2.方位角条件（方位角条件（1）ABCP1234562 2、Conditional EquationConditional Equation 条件数（条件数（r）总观测数（总观测数（n）必需观测数（必需观测数（t，未知参数个未知参数个数）数）3.固定边条件固定边条件（1）ABCP123456固定边条件方程线形化固定边条件方程线形化取对数取对数2 2、Conditional EquationConditional EquationABCP123456线形化线形化2 2、Conditional EquationConditional EquationABCP123456实际计算时，自由项和系数都乘实际计算时，自由项和系数都乘以以多元函数的条件极值多元函数的条件极值（1 1）消元法）消元法（2 2）拉格朗日乘数法）拉格朗日乘数法的条件极值。的条件极值。多元函数的条件极值多元函数的条件极值（1 1）消元法）消元法的条件极值。的条件极值。多元函数的条件极值多元函数的条件极值（2 2）拉格朗日乘数法）拉格朗日乘数法多元函数的条件极值多元函数的条件极值极值方程：极值方程：设：设：多元函数的条件极值多元函数的条件极值设：设：极值方程：极值方程：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment条件平差就是：条件平差就是：3 3、Normal EquationNormal Equation求函数求函数在条件在条件下的极小值点。下的极小值点。第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment3 3、Normal EquationNormal Equation条件方程：条件方程：设辅助函数设辅助函数观测值权逆阵：观测值权逆阵：估值准则：估值准则：得得上式代入条件方程，得：上式代入条件方程，得：极值方程极值方程改正数方程改正数方程联系数法方程联系数法方程设设第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment解得法方程解得法方程3 3、Normal EquationNormal Equation式中式中联系数向量联系数向量系数阵系数阵回代求解回代求解第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares AdjustmentNote3 3、Normal EquationNormal Equation1法方程的阶数：法方程的阶数：N是是rrr阶矩阵阶矩阵2法方程系数阵的秩法方程系数阵的秩rk（N）rk（B）r r3当当rk（B）r r时，称时，称B B矩阵行满秩，此时矩阵行满秩，此时NN为为满秩矩阵，法方程有唯一解满秩矩阵，法方程有唯一解4 4、Steps of Conditional LS AdjustmentSteps of Conditional LS Adjustment第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1.根据实际问题的性质及观测量的情况，列出条件方程式。根据实际问题的性质及观测量的情况，列出条件方程式。条件方程式的个数等于多余观测数条件方程式的个数等于多余观测数 2.由条件方程式组成联系数法方程，法方程的个数等于多余由条件方程式组成联系数法方程，法方程的个数等于多余观测数观测数 3.解算法方程，求出联系数解算法方程，求出联系数 4.将将 代入改正数方程式，求出代入改正数方程式，求出V值，并求观测值的最或然值值，并求观测值的最或然值5.为了检验平差计算的正确性，常常要将各最或然值为了检验平差计算的正确性，常常要将各最或然值 代入原代入原条件方程式，看其是否闭合条件方程式，看其是否闭合6.精度估计精度估计参数平差参数平差（1 1）只有存在多余观测才存在平差问题。）只有存在多余观测才存在平差问题。（2 2）参数平差的未知参数的个数等于必参数平差的未知参数的个数等于必 需观测个数。方程个数等于观测总需观测个数。方程个数等于观测总 数数 （3 3）未知参数必须独立。即未知参数之）未知参数必须独立。即未知参数之 间不存在条件关系。间不存在条件关系。（6 6）平差包括精度估计。）平差包括精度估计。（5 5）误差方程可以是线性也可以是非线）误差方程可以是线性也可以是非线 性的，非线性的误差方程要线性化性的，非线性的误差方程要线性化 之后，再进行最小二乘平差。之后，再进行最小二乘平差。（4 4）未知参数可以是直接观测量，也可）未知参数可以是直接观测量，也可 以是间接观测量。所以参数平差也以是间接观测量。所以参数平差也 叫间接平差。叫间接平差。条件平差条件平差（1 1）只有存在多余观测才存在平差问题）只有存在多余观测才存在平差问题 （2 2）条件平差未知数个数等于观测总数）条件平差未知数个数等于观测总数 条件方程个数等于多余观测数条件方程个数等于多余观测数 （3 3）条件方程之间必须独立。）条件方程之间必须独立。（6 6）平差包括精度估计。）平差包括精度估计。（5 5）条件方程可以是线性也可以是非线）条件方程可以是线性也可以是非线 性的，非线性的条件方程要线性化性的，非线性的条件方程要线性化 之后，再进行最小二乘平差。之后，再进行最小二乘平差。（4 4）未知数是观测值的改正数。）未知数是观测值的改正数。注意：参数平差与条件平差结果相同。注意：参数平差与条件平差结果相同。比比 较较 与与 分分 析析5 5、ExampleExample第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1）仍以前一章的单三角形为例，设三内角观测值为仍以前一章的单三角形为例，设三内角观测值为试按条件平差法求各观测角的最或然值。试按条件平差法求各观测角的最或然值。解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数判断条件数观测总数观测总数n3，必需观测数，必需观测数t2，多余观测数，多余观测数r12 2 列条件方程列条件方程解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数判断条件数2 2 列条件方程列条件方程3 3 组成联系数法方程组成联系数法方程4 4 解法方程解法方程解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数判断条件数2 2 列条件方程列条件方程3 3 组成联系数法方程组成联系数法方程4 4 解法方程解法方程5 5 回代入改正数方程，求残差向量和观测值平差值回代入改正数方程，求残差向量和观测值平差值6 6 检核检核5 5、ExampleExample2）在图所示的水准网中，设每单在图所示的水准网中，设每单 位路线长度测得的高差精度相位路线长度测得的高差精度相 同，各观测高差及路线长度见同，各观测高差及路线长度见 表试用条件平差法求各高差的表试用条件平差法求各高差的 最或然值。最或然值。h5h4h3h2h1DCBA编号编号路线长（路线长（kmkm）观测高差（观测高差（mm）1102.422516.143550.564518.625534.35解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数，确定权逆阵判断条件数，确定权逆阵观测总数观测总数n5，必需观测数，必需观测数t3，多余观测数，多余观测数r2取最短路线为单位权，使得各权倒数均为整数。本题取最短路线为单位权，使得各权倒数均为整数。本题中，令中，令5km高差的权为高差的权为1，于是，于是2 2 列条件方程列条件方程解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数判断条件数2 2 列条件方程列条件方程3 3 组成联系数法方程组成联系数法方程4 4 解法方程解法方程解：解：第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment1 1 判断条件数判断条件数2 2 列条件方程列条件方程3 3 组成联系数法方程组成联系数法方程4 4 解法方程解法方程5 5 回代入改正数方程，求残差向量和观测值平差值回代入改正数方程，求残差向量和观测值平差值6 6 检核检核作业作业第十一讲第十一讲 条件平差原理条件平差原理Principle of Conditional Least-Squares Adjustment3.1 3.2 3.3 3.6