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第十章第十章 微分方程微分方程 习题课习题课一、基本内容一、基本内容1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换齐次方程齐次方程（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3)可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程(4)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）其中其中形如形如(5)全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为(6)可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.二、例题二、例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为例例2 2解解方程为全微分方程方程为全微分方程.(1)利用原函数法求解利用原函数法求解:故方程的通解为故方程的通解为(2)利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为(3)利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为例例3 3解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为解解例例7 7则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得例例8 设设 具有二阶连续函数，且具有二阶连续函数，且 已知曲线积分已知曲线积分 与积分路径无关，求与积分路径无关，求 线积分与路径无关的条线积分与路径无关的条 解：因为曲线积分解：因为曲线积分 与路径无关，所以根据曲与路径无关，所以根据曲，得，得 分析：曲线积分分析：曲线积分 与路径无关的充分必要条件是与路径无关的充分必要条件是。故应首先分别求出。故应首先分别求出 和和 ，列出等式列出等式 建立关于函数建立关于函数 的微分方程，然后再根据初始条件求特解。的微分方程，然后再根据初始条件求特解。可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为即即 亦即亦即 再由再由，可得特解，可得特解 分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分例例9 设函数设函数 连续，且满足连续，且满足，求，求 上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。解：等式两边对解：等式两边对 求导得求导得 两边再对两边再对 求导得求导得 即即 为二阶线性非齐次微分方程，且为二阶线性非齐次微分方程，且 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由再由，可得特解，可得特解