人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》.ppt

2.3 数学归纳法数学归纳法问题问题2:2:明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出“四就四就是四横、五就是五横是四横、五就是五横”的结论，的结论，问题问题 1:1:有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明 完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 问题情境一问题情境一问题问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。费马费马(Fermat)曾经提出一个猜想：曾经提出一个猜想：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数的数都是质数100100年后年后问题情境二问题情境二 ：由一系列有限的特殊事例得出：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下-递推关系；递推关系；即第即第k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1块也倒下块也倒下-奠基；奠基；搜索：搜索：再举几则生活事例：推倒自行车再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对齐等早操排队对齐等 你能得到哪些启示？你能得到哪些启示？多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也块也倒下。倒下。根据（根据（1）和）和（2），），可知不论有多少块骨可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。牌，都能全部倒下。1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立2）假设当）假设当n=k时猜想时猜想成立，当成立，当n=k+1时猜想时猜想也成立。也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜想都成立。猜想都成立。二、挖掘内涵、形成概念：二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性:(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N*，k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所有正开始的所有正整数整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。例例1 1已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.如下证明对吗？如下证明对吗？证证明：明：当当n=1时时，左，左边边右右边边等式成立。等式成立。设设n=k时时，有，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。注意注意 1 1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择（3 3）数学归纳法用来证明与）数学归纳法用来证明与正整数正整数有关的命题。有关的命题。练习练习.用数学归纳法证明用数学归纳法证明：121223233434n(nn(n1)1)从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)则则当当n=k+1时时，+=n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。=1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边=2.命题成立命题成立课堂练习：课堂练习：1 1.已知已知:,:,则则 等于等于()()A:B:A:B:C:D:C:D:练习：练习：课本课本96页习题页习题2.3A组组2B组组1.2