线性代数3.1矩阵的特征值和特征向量.ppt

矩阵的秩矩阵的秩例如例如:对于方阵对于方阵,矩阵在初等变矩阵在初等变矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、换下可化成怎样的标准形式、换下可化成怎样的标准形式、线性方程组是否有解、线性方程组是否有解、齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系含有几个解向量等的基础解系含有几个解向量等.还有还有“特征值特征值”.”.能反映矩阵的能反映矩阵的许多许多特性特性.除除“秩秩”外外,Ch3 Ch3 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很多方面都有广泛应用。多方面都有广泛应用。3.1 3.1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到矩阵特征值和特征向量问题。矩阵特征值和特征向量问题。引言引言例如例如例例1 1 定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：，设设是某地区目前的污染水平，是某地区目前的污染水平，是目前的工业发展水平。是目前的工业发展水平。若干年后的污染述评和工业发展水平分别为若干年后的污染述评和工业发展水平分别为，它们之间具有关系它们之间具有关系或或 记记有有当当有有，。，由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态具有倍数关系。具有倍数关系。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。时时一、一、矩阵的特征值、特征向量概念矩阵的特征值、特征向量概念定义定义3.13.1 设设是是 阶矩阵，阶矩阵，如果如果存在一个数存在一个数,相应地相应地有非零向量有非零向量,使得使得（）（）,那么就称那么就称是矩阵是矩阵的的一个特征值一个特征值,称为称为的的一个特征向量一个特征向量.的属于特征值的属于特征值注注1)1)矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件:（1 1）特征值特征值是一个数；是一个数；（2 2）特征向量特征向量是非零向量是非零向量,且满足且满足；（3 3）对任何数对任何数,有有 ,但但0 0不是不是的特征向量的特征向量,也不能说也不能说不是不是的特征值的特征值.注注2)2)特征值与特征向量是相互联系的两个概念特征值与特征向量是相互联系的两个概念,即有特征值一定有相应的特征向量即有特征值一定有相应的特征向量,有特征向量一定有有特征向量一定有相应的特征值相应的特征值.注注3)3)等式等式刻划特征向量的特性刻划特征向量的特性:对对 作用作用只发生数量倍的变化只发生数量倍的变化.对于普通的几何空间而言对于普通的几何空间而言,上述特性上述特性有明显的几何意义有明显的几何意义:与与共线共线.一般地，向量一般地，向量经过经过线性变换线性变换后，后，表明是共线的。表明是共线的。注注4 4）对给定矩阵，对给定矩阵，并不是随便那个数都是它的特征值的。并不是随便那个数都是它的特征值的。二、二、特征值、特征向量的求法、特征多项式特征值、特征向量的求法、特征多项式设矩阵设矩阵有一个特征值有一个特征值 ,是是 的属于特征值的属于特征值 的的特征向量，则特征向量，则 ,于是有于是有.这表明这表明 是齐次线性方程组是齐次线性方程组(3.1.2)的一个非零解（向量）。的一个非零解（向量）。因而由齐次线性方程组理论，因而由齐次线性方程组理论，于是于是其系数矩阵的行列式其系数矩阵的行列式 。设设 为为 阶矩阵阶矩阵,命题命题是矩阵是矩阵 一个特征值充分必要一个特征值充分必要条件是条件是为以为以 为变量的一元为变量的一元 次代数方程次代数方程(3.1.3)(3.1.3)的根。的根。称为称为A A的特征矩阵的特征矩阵，其行列式，其行列式定义定义3.23.2含有未知数含有未知数 的矩阵的矩阵称为矩阵称为矩阵 的的特征多项式特征多项式,记作记作 .称为矩阵称为矩阵 的的特征方程特征方程。是是A A的属于的属于 特征值的特征向量的特征值的特征向量的充分必要条件充分必要条件是是为为 特征方程的根，特征方程的根，设设 为为 阶矩阵阶矩阵,代数方程代数方程（证明略）（证明略）定理定理3.13.1则则 是是A A的特征值，的特征值，是齐次线性方程组是齐次线性方程组的非零解（向量）。的非零解（向量）。注注1)1)的的特特征征多多项项式式 是是一一个个 次次且首项系数是且首项系数是1 1；多项式多项式,注注2)2)如果如果 是是A A的特征值，常常称为的特征值，常常称为A A的特征根的特征根；注注3)3)根据定理根据定理3.13.1和齐次方程组理论，和齐次方程组理论，可以得到可以得到推论推论1 1 如果如果 是是A A的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，则对任意常数则对任意常数 ，也是也是A A的属于特征值的属于特征值 的的特征向量。特征向量。且且 ，则，则推论推论2 2如果如果都是都是A A的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，也是也是A A的属于特征值的属于特征值 的特征的特征向量。向量。为数值。为数值。推论推论3 3 如果如果都是都是A A的属于特征值的属于特征值 的特征的特征向量，向量，则则也是也是A A的属于特征值的属于特征值的特征向量，的特征向量，其中其中(它就是它就是 的属于特征值的属于特征值的全部特征值、特征向量的求法的全部特征值、特征向量的求法 注注4)4)第一步第一步 对给定下的矩阵对给定下的矩阵 ，计算特征多项式计算特征多项式 ;第二步第二步 求出特征方程求出特征方程 中的全部根中的全部根(即即 的全部特征值，其中可能有重根的全部特征值，其中可能有重根或成对出现、重数相同的复数根或成对出现、重数相同的复数根););第三步第三步 对每一个特征值对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系的极大无关的特征向量组的极大无关的特征向量组),由此可求出由此可求出 的属于的属于的全部特征向量的全部特征向量 ，其中其中为数值为数值.例例2 2求矩阵求矩阵 的特征值和的特征值和相应的特征向量相应的特征向量.解：矩阵解：矩阵 的特征多项式为的特征多项式为因此由因此由 可得可得 的全部特征值为的全部特征值为.即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系得到一个基础解系 ，这里，这里 为任意常数。为任意常数。于是于是 的属于的属于的全部特征向量为的全部特征向量为即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系得到一个基础解系 ，这里这里 为任意常数。为任意常数。于是于是 的属于的属于 的全的全部特征向量为部特征向量为 ，例例3 3求矩阵求矩阵 的特征值和相应的特征值和相应的特征向量的特征向量.解：矩阵解：矩阵 的特征多项式为的特征多项式为 因此因此 没有实数解，在实数域上无特征值，没有实数解，在实数域上无特征值，但在复数域上，可得但在复数域上，可得 的全部特征值为的全部特征值为 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,对于对于 ，即求解即求解得到一个基础解系得到一个基础解系 ，全部特征向量为全部特征向量为 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,对于对于 ，的的于是于是的属于的属于 的全部特征向量为的全部特征向量为，这里，这里 为任意常数。为任意常数。即求解即求解得到一个基础解系得到一个基础解系 ，于是于是的属于的属于这里这里为任意常数。为任意常数。特特征征值值与与讨讨论论数数域域有有关关，如如果果限限制制在在实实数数域域上上，矩阵的特征值可能不存在或者不够多。矩阵的特征值可能不存在或者不够多。注注5 5）本例表明，对于给定的实数矩阵，本例表明，对于给定的实数矩阵，其特征值其特征值可能不是实数，可能不是实数，这时它的所有特征值全为复数。这时它的所有特征值全为复数。对于对于 ，例例4 4求矩阵特征值和相应的特征向量求矩阵特征值和相应的特征向量.解解:矩阵矩阵 的特征多项式为的特征多项式为 因此由因此由可得可得 的全部特征值为的全部特征值为（二重根），（二重根），.即求解即求解解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系得到一个基础解系 ，于是于是的属于的属于的全部特征向量为的全部特征向量为这里这里为不全为零的任意常数。为不全为零的任意常数。即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,于是于是 的属于的属于 的全部特征向量为的全部特征向量为得到一个基础解系，得到一个基础解系，这里这里，为任意常数。为任意常数。求矩阵特征值和相应的特征向量求矩阵特征值和相应的特征向量.例例5 5解解:矩阵矩阵 的特征多项式为的特征多项式为（二重根），（二重根），.因此由因此由可得可得 的全部特征值为的全部特征值为即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系得到一个基础解系 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,的属于的属于 的全部的全部为非零任意常数。为非零任意常数。于是于是特征向量为特征向量为，这里，这里即求解即求解对于对于 ，,于是于是 的属于的属于得到一个基础解系，得到一个基础解系，的全部特征向量为的全部特征向量为 ，为任意常数。为任意常数。这里这里对于给定的对于给定的 阶矩阵阶矩阵A A，记为记为 。的解空间。的解空间。注注6 6）A A最多有最多有个不同的特征值，个不同的特征值，每个特征值可以确定一簇特征向量。每个特征值可以确定一簇特征向量。阶矩阵阶矩阵A A属于特征值属于特征值的特征向量全体再添加零向量的特征向量全体再添加零向量构成构成 的一的一个个子空间子空间，称为矩阵称为矩阵A A 对应特征值对应特征值 的的特征子空间特征子空间，它就是齐次线性方程组它就是齐次线性方程组证明：设证明：设是矩阵是矩阵A A的属于的属于的一个特征向量，则的一个特征向量，则于是于是的一个特征向量。的一个特征向量。由此可知，由此可知，是是 阶矩阵阶矩阵 的一个特征值，的一个特征值，并且并且是矩阵是矩阵的属于的属于例例6 6设设 是是 阶矩阵阶矩阵A A的一个特征值，的一个特征值，证明证明是是阶矩阵阶矩阵的一个特征值。的一个特征值。三、三、矩阵特征值和特征向量的性质矩阵特征值和特征向量的性质特征多项式、特征值特征多项式、特征值.定理定理3.23.2设设是是 阶方阵阶方阵,则则与与 有相同的有相同的有有证明：证明：根据行列式性质根据行列式性质和特征多项式定义，和特征多项式定义，此即此即 与与 有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，从而有相同的从而有相同的特征值。特征值。则则 ，假定假定 不可逆，不可逆，是它的任一特征值都不等于零。是它的任一特征值都不等于零。定理定理3.33.3阶方阵阶方阵可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件于是于是证明：证明：必要性必要性：设设阶方阵阶方阵可逆，可逆，则则 ，的任一特征值都不为零。的任一特征值都不为零。即即0 0不是不是 的特征值，的特征值，亦即亦即于是于是充分性充分性：设设的任一特征值都不为零，的任一特征值都不为零，这表明这表明0 0是是 的特征值，的特征值，与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。故故 必然可逆。必然可逆。个彼此不同的特征值，个彼此不同的特征值，线性无关。线性无关。定理定理3.43.4设设是是阶方阵阶方阵,是是 的个彼此不同的特征值，的个彼此不同的特征值，分别是分别是 的的属于属于 的特征向量，的特征向量，则则证明略证明略属于属于 的线性无关的特征向量组，的线性无关的特征向量组，定理定理3.53.5设设是是 阶方阵阶方阵,是是的的是是的的则则证明略证明略是线性无关向量组。是线性无关向量组。个特征值为个特征值为 ,设设 ,例如例例如例4 4中情形。中情形。根据定理根据定理3.53.5，是是的的个所有不同的特征值，个所有不同的特征值，则特征子空间则特征子空间的基向量组的基向量组 合起来的向量组合起来的向量组线性无关线性无关。则则定理定理3.63.6满足满足并且并且在复数域中的在复数域中的1)1)（矩阵矩阵A A的迹的迹）；2)2)哈密顿哈密顿凯莱凯莱 定理定理的迹的迹具有性质：具有性质：1)1)2)2)3)3)4 4)设设是是的特征多项式的特征多项式,则则例例 设矩阵设矩阵，已知已知A有特征值有特征值求求x的值和的值和A的另一特征值的另一特征值解：解：于是有于是有