用数学归纳法证明不等式课件(人教A选修4-5).ppt

读教材读教材填要点填要点 贝努利贝努利(Bernoulli)不等式不等式 如果如果x是实数，且是实数，且x1，x0，n为大于为大于1的自然数，那的自然数，那么有么有(1x)n .1nx小问题小问题大思维大思维在贝努利不等式中，指数在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？可以取任意实数吗？提示：提示：可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实上：当把正整数上：当把正整数n改成实数改成实数后，将有以下几种情况出现：后，将有以下几种情况出现：(1)当当是实数，并且满足是实数，并且满足1或者或者1)(2)当当是实数，并且满足是实数，并且满足01)研一题研一题悟一法悟一法通一类通一类研一题研一题 精讲详析精讲详析本题考查数学归纳法的应用，解答本题需本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对要先对n取特值，猜想取特值，猜想Pn与与Qn的大小关系，然后利用数学归的大小关系，然后利用数学归纳法证明纳法证明 (1)当当n1,2时，时，PnQn.(2)当当n3时，时，(以下再对以下再对x进行分类进行分类)若若x(0，)，显然有，显然有PnQn.若若x0，则，则PnQn.若若x(1,0)，则则P3Q3x30，所以所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以所以P4Q4.假设假设PkQk(k3)，则则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk悟一法悟一法 (1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立纳法证明结论成立 (2)本题除对本题除对n的不同取值会有的不同取值会有Pn与与Qn之间的大小变化，之间的大小变化，变量变量x也影响也影响Pn与与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量，而忽视其他变量(参数参数)的作用的作用通一类通一类2已知数列已知数列an，bn与函数与函数f(x)，g(x)，xR，满足条件：，满足条件：b1b，anf(bn)g(bn1)(nN*)若函数若函数yf(x)为为R上的上的增函数，增函数，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，证明：对任意，证明：对任意nN*，an1an.证明：证明：因为因为g(x)f1(x)，所以所以ang(bn1)f1(bn1)，即即bn1f(an)下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明an1an(nN*)(1)当当n1时，由时，由f(x)为增函数，且为增函数，且f(1)1，得，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即即a2a1，结论成立，结论成立(2)假设假设nk时结论成立，即时结论成立，即ak1ak.由由f(x)为增函数，得为增函数，得f(ak1)f(ak)即即bk2bk1，进而得进而得f(bk2)f(bk1)即即ak2ak1.这就是说当这就是说当nk1时，结论也成立时，结论也成立根据根据(1)和和(2)可知，对任意的可知，对任意的nN*，an1n2成立下面成立下面用数学归纳法进行证明用数学归纳法进行证明当当n1时，时，313112，命题成立，命题成立假设假设nk(k1，kN)时，时，3kk2成立，成立，则有则有3kk21.对对nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，对对nk1，命题成立，命题成立由上知，当由上知，当t3时，对一切时，对一切nN，命题都成立，命题都成立 本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法年全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点考题印证考题印证 (2012大纲全国卷大纲全国卷)函数函数f(x)x22x3.定义数列定义数列xn如下：如下：x12，xn1是过两点是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直的直线线PQn与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 (1)证明：证明：2xnxn13；(2)求数列求数列xn的通项公式的通项公式 命题立意命题立意本题考查数学归纳法证明不等式问题，本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力考查学生推理论证的能力 点击下图片点击下图片进入进入: