2022年高中数学第二节证明不等式的基本方法数学归纳法证明不等式课时提升作业新人教版选修.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【全程复习方略】（ 福建专用）2022 版高中数学其次节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提升作业新人教 A 版选修 4-51.已知 a>1,求证 :a1aaa1.xyz111 .2.已知 x,y,z 均为正数 ,求证 : yzzxxyxyz3.已知 a>2,求证 :logaa-1< loga+1a.4.2022·湖北高考 1 已知函数fx=rx-xr+1-rx>0,其中 r 为有理数 ,且 0<r<1. 求 fx 的最小值 .2 试用 1 的结果证明如下命题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a1 0,a20,b1,b2 为正有理数 ,如 b1+b2=1, 就b1b 2aa12 a1b1+a2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 请将 2 中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当 为正有理数时,有求导公式 x = x -1. 5.2022·苏州模拟 设 a b>0,求证 :3a3+2b3 3a2b+2ab2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.已知 a,b,c>0,且互不相等 ,abc=1,证明abc111 .abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22abababab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.已知 a>b>0,求证 :8a28b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.2022·无锡模拟 设 a,b,c 是不全相等的正实数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg ab求证 :2lg bc 2lg ca 2lgalgblgc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_59.已知 a,b,cR,fx=ax2+bx+c. 如 a+c=0,fx 在-1,1 上最大值为2,最小值为 - 2 ,b求证 :a 0 且| a |<2.10.2022 ·洛阳模拟 已知数列 an,bn满意 a1=2,an-1=anan+1-1,bn=an-1, 数列 bn 的前 n 项和为 Sn.1 求数列 bn 的通项公式 .2 设 Tn=S2n-Sn, 求证 :Tn+1>Tn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案解析1.【证明】方法一:a1aaa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11a1aaa1a1a1,a1aaa1 a>1, a-1>0,且 a-1<a+1,a1a1, a1a1 <0.a1aaa1又>0,a1aaa1<0,a1aaa1 .方法二 :要证原不等式成立.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证 :a1aaa1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证 :aa1a1a ,即证 :a1a1 ,上式明显成立.所以原不等式成立.2.【证明】 x,y,z 均为正数 ,xy1 xy 2 ; yzzxzyxzyz2 , zx2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得zxxyxxyyzy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当x=y=z 时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,xyz111 .得 yzzxxyxyz3.【证明】 a>2, a-1>1. logaa-1>0,loga+1a>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log aa1log aa1logaa1loga21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_alog由于a 1 a2=logaa-1 · logaa+1<22=22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aloga21log aalog aa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a>2, 0<logaa2-1<logaa2=2, loga+1a >0, logaa-1<loga+1a.22<22=1, 即loga 1 a<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4.【解析】 1f x=r-rxr-1=r1-xr-1,令 f x=0, 解得 x=1.当 0<x<1 时,f x<0, 所以 fx 在0,1内是减函数 ; 当 x>1 时,f x>0, 所以 fx 在1,+ 内是增函数 . 故函数 fx 在 x=1 处取得最小值 f1=0.2 由1知 ,当 x 0,+ 时 ,有 fx f1=0, 即 xr rx+1-r. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a2bb如 a1,a2 中至少有一个为0,就 a12 a1b1+a2b2 成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1,a2 均不为 0,又 b1+b2=1, 可得 b2=1-b1, 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1在中令x= a2,r=b1,可得 a1 b1 a 2a1b1· a2+1-b1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab11 b1即12 a1b1+a21-b1, 亦即b1b2aa12 a1b1+a2b2.ab1 ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上 ,对 a10,a2 0,b1,b2 为正有理数且b1+b2=1, 总有32 中命题的推广形式为:设 a1,a2,an 为非负实数 ,b1,b2,bn 为正有理数 .12 a1b1+a2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 b1+b2+bn=1, 就b1b2aa12bnan a1b1+a2b2+anbn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,b1=1,有 a1 a1,成立 . 假设当 n=k 时,成立 ,即如 a1,a2,ak 为非负实数 ,b1,b2,bk 为正有理数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a2bb且 b1+b2+bk=1, 就 a12bkak a1b1+a2b2+akbk.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=k+1 时,已知 a1,a2, ak,ak+1 为非负实数 ,b1,b2,bk,bk+1 为正有理数 ,且 b1+b2+bk+bk+1=1, 此时 0<bk+1<1, 即 1-bk+1>0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab1b 2于是12abk abk 1kk 1 =b1b2aa12bkak ·bk 1ak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b 2bk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 b k 1 a1 bk 1a1 bk 1 1 b k 1ab k 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=12kk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b2b k1,b1b2bkb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1b1b1ba1 bk 1 a1 bk 1a1 b k 11b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因k 1k 1k 1由归纳假设可得12k a1·k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2+a2· 1bk 1b k+ak · 1b k 1 =a1b1a2 b21b k 1a k bk,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab1b 2从而12bkbk 1aakk 1 a1b1a2 b21bk 1a k b k 1 bk 1 abk 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1又因 1-bk+1+bk+1=1, 由得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2ak bka1 bba1b1a2 b2ak b k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1b k 1k 1k 1k 11 bk 1· 1-bk+1+ak+1bk+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab1b 2从而12bk 1ak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当 n=k+1 时,成立 ,由 可知 ,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明 :3 中假如推广中指出式对n 2 成立 ,就后续证明中不需讨论 n =1 的情形 . 5.【证明】 3a3+2b3-3a2b+2ab2=3a2a-b+2b2b-a=3a2-2b2a-b.由于 a b>0,故 a-b 0,3a2-2b2>2a2-2b2=2a+ba-b 0,所以 3a2-2b2a-b 0,即 3a3+2b3 3a2b+2ab2.6.【证明】方法一: a,b,c>0,且互不相等 ,abc=1.111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc111bcacab111 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc即bcacab222abc111 .abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11212c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二 :abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11212a 11212b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,bcbccaac111以上三式相加,得abcabc.又 a,b,c 互不相等 ,等号不成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc即111 .abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.【证明】要证原不等式组成立,22abab2ab,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证4a<a+b-4b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 22ab2ab ,即证2a2bababab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证2 a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab1ab ,即证2a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b即a <1<ab ,只需证baa <1< b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a>b>0, ba <1<ab 成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原不等式组成立.8.【证明】方法一:要证 :lg ab 2lg bc 2lg ca 2>lga+lgb+lgc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证 :lgabbcca222>lgabc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证 :abbcca222>abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abbccaab0,bc0,ca0,222abbcca222 abc>0 成立 . a,b,c 为不全相等的正数,上式中等号不成立. 原不等式成立 .方法二 : a,b,c 正实数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab0, bc22bc0, ca 2ca0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a,b,c 为不全相等的实数,abbcca222>abc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ lgabbcca222>lgabc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg ab即2lg bc 2lg ca 2>lga+lgb+lgc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.【证明】由a+c=0 得 c=-a, fx=ax2+bx-a.b假设 a=0 或| a | 2.1 由 a=0,得 fx=bx, 依题意知b 0,又 fx 在-1,1 上是单调函数, fx 的最大值为 |b|,最小值为 -|b|.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 |b|=2,-|b|=-2 ,明显冲突 ,故 a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2 由| a |2,得|-b2a |1 且 a 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 fx 在-1,1 上单 调,故其最大值为|b|,最小值为 -|b|,b由1 知这是不行能的,所以 | a | 2 不成立 .b综合 12 可知 ,假设不成立 ,故 a0 且| a |<2.10.【解析】 1 由 bn=an-1 得 an=bn+1 代入 an-1=anan+1-1 得 bn=bn+1bn+1整理得 bn-bn+1=bnbn+1, bn 0,否就 an=1,与 a1=2 冲突 ,111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得b n 1bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b1=a1-1=1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 1bn 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b n=n, 即 bn= n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 Sn=1+2 + 3 + n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Tn=S2n-Sn=1+2 + 3 +n + n1 +2n -1+2 + 3 + n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1= n1 +1n2 +12n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一 : Tn+1-Tn=1n2 +1n3 +11112n2n1n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112n12n2n112n112n210,2n12n2 Tn+1>Tn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二 : Tn+1-Tn=111111n2n32n2n1n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111.2n12n2n111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n+1<2n+2, 2n12n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Tn+1-Tn> Tn+1>Tn.1112n22n2n1 =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - 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