吸波材料与微波暗室问题的数学建模8.pdf

12011 年全国研究生数学建模竞赛年全国研究生数学建模竞赛 B 题题 吸波材料与微波暗室问题的数学建模吸波材料与微波暗室问题的数学建模 新型隐身歼击机歼-20 最近试飞成功，标志着我国在隐身技术领域取得了重大进展。所谓飞机隐身，是指在飞机有关部位涂覆或粘贴吸波材料，合理设计飞机外形与布局等使敌方探测系统（如无线电雷达，红外雷达，激光雷达等）只接收到大大减弱后的飞机反射信号，从而降低被发现或跟踪的可能。隐身技术的基础研究包括探索不同频段上吸波的机理，研制高效吸波的特殊材料，将吸波材料设计成合理的形状使之发挥最大效能等，其成果不仅可以应用到飞机舰船坦克等军用装备，也可以应用到其他科技领域。例如，许多以电磁波，光波或声波的传播为信息载体的仪器设备，都需要功能与性能的测试，甚至还要对其工作过程进行尽可能真实的仿真。早期这类测试常选择在无电磁干扰的偏僻空旷山区进行。在近代各种干扰已无法全部避免，所以近三十多年来这样的测试与仿真（例如本题将要研究的导弹制导系统的仿真），放置在被称为“无回波暗室”的实验室中进行。无回波暗室能够屏蔽外界干扰信号，通过内墙（包括地面与天顶面）敷设的吸波体，吸收各类反射信号，使室内反射大为减弱，被测设备接收到的“似乎”只有测试信号源发出的实验所需信号。这样，它为测试设备提供了一个几乎没有反射信号的“自由空间”。图1 给出了二维示意。由物理学知道，除了真空，没有一种介质对于各频段的电磁辐射波（甚至包括声波）的传播是绝对透明的，波从一种介质辐射到另一种介质时，都将发生不同程度的反射、折射乃至散射，一部分波的能量被 图 1 无回波暗室工作示意图 吸收转化为介质的内能。定义反射率为反射波功率rP与入射波功率iP之比：/riP Pr=，显然1r。吸波材料一般制成平板形状和特殊形状两大类基本形状。平板形状吸波体的主要性能指标是电磁波从空间向材料表面垂直入射（入射角0iq=）时的反射率r，其值越小，吸波性能越高。当入射角0iq时称为斜入射，斜入射时将出现反射、折射情况，此时反射率的理论计算较复杂，与入射角、两种介质的电参数和波的极化方向等多种因素有关，本题将反射率简化为满足余弦法则，即()cosr ara=，其中a为入射角大小，其中r为垂直入射反射率。为了提高无回波暗室的吸波性能，一般使用锥体（正四棱锥或正圆锥体等）或尖劈形状的吸波体，大量锥体或尖劈有规律地排列组成的整体粘贴在墙上构成吸波体。采用这些形状的主要理由是它们能使得辐射波在尖形的几何空缺间形成多次反射和透射-反射，降低反射出去的能量，实现高效率吸波。图 2 示意了一条想象中的辐射线（实际上是在一个微小立体角内辐射）射入尖劈吸波体后，经过多次反射以及透射过尖劈后进入相邻尖劈空间形成反射的情况。2a为尖劈角，h为尖劈 被测设备天线信号源1信号源2直接信号反射信号二次反射信号暗室内壁 2的高，d为尖劈的底部宽度。理论上还应有多次透射后进入相邻空间的反射，但能量已极小，工程上可以不计。吸波体的吸波性能计算需要考虑多次反射，微波暗室的电磁特性分析应研究各个墙面间的相互影响（即一个墙面既接受其他墙面的辐射又同时反射给其他墙面）。尽管理论上可通过求解由 Maxwell 方程组和相应的边界条件构成的数学物理问题，来严格地分 析与计算，但模型复杂且计算繁杂量大。工程上处理此类复杂问题的常用思路是先采用简化模型进行理论分析，再用实验测试数据修正由简化模型得出的分析 结果。若模型较合理、测试数据准确，则这样的处理 图 2 尖劈形吸波体吸波功能的示意 对实际研究具有较高的指导价值。本题要求采用上述工程处理的思路本题要求采用上述工程处理的思路，用较简单直观的几何光学模型用较简单直观的几何光学模型，来来初步研究分析初步研究分析特殊吸波体和和微波暗室的性能这两类问题这两类问题，后续的实验测试与修正不包括在本题中后续的实验测试与修正不包括在本题中。问题问题 1 1：尖劈形状吸波体的性能分析尖劈形状吸波体的性能分析 设尖劈形状吸波体及其坐标系如图 3 所示，尖劈的长度沿x方向为无限长，其他尺寸记号同图 2。由射向角q（z轴正向与入射线负方向的夹角）和方位角j（x轴正向与射线在xOy平面上投影的夹角）确定入射波线的方向，只考虑波在两种不同介质界面处的反射，不考虑边缘处的绕射。假设尖劈材料的电性能参数各处均匀，垂直入射的反射率为r，斜入射时的反射率满足前述的余弦法则，设入射波线的辐射强度为 1 单位。试建立入射波线在一个尖劈几何空缺间反射过程 图 3 尖劈吸波体吸波示意 的数学模型，即分别刻画最终反射波线的方向，反射次数，反射波的辐射强度与已知反射率、诸几何参数之间的定量关系。建议：可先从二维问题着手研究起。问题问题 2 2：导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究 自主寻的式导弹的制导系统的核心设备之一是安置在头部、能自动寻找和跟踪目标的导引导引头头。在导弹的研制过程中需要在地面条件下模拟导引头跟踪目标的性能。设导引头的工作波段在微波段（指频率为 0.3-300GHz(波长 1m-1mm)）。一种已经研究成功的仿真系统主要由目标模拟器系统，作为导引头支架的三轴转台和微波暗室组成。目标模拟器用来模拟目标运动，它由天线阵列子系统及其控制子系统组成。天线阵列是安置在微波暗室靠近一面墙、有规律排列在同一球面的若干个微波天线，各天线的中心轴线对准球心，按某种规律依次发射模拟目标回波的微波信号，模拟自由空间中目标相对于导弹的运动。需要测试的导引头安装在三轴转台上，转台根据导引头跟踪目标时发出的制导指令作三自由度 角度的转动，带动导引头模拟导弹在空间的三自由度运动。微波暗室提供一个微波“自由空间”。xyzO入射波 入射波反射波1墙壁吸收体基体2aiqrqhdrq 3图 4 中只画出一面墙上的吸波材料，实际上所有 6个墙面均铺设吸波材料。本题研究一个简化问题。目标模拟器是圆弧形 线阵列，而非球面阵列，它安装在靠近一面墙的中心水平面内，圆弧线对两边的墙处于对称位置，圆弧半径R，各天线轴线对准圆心（即导引头位置）。设目标模拟器对导引头的总张角45b=，每3安装一个天线，共 16 个天线。设天线属于余弦辐射体余弦辐射体 （见附录 2），辐射强度cosiNIIi=，NI为天线轴线 图 4 导引仿真实验室示意 方向辐射强度，iI为与法线成i角方向的辐射强度。目标模拟器的工作基于所谓“等价重心原理”：如果两个相邻天线,A B对导引头O的张角 AOB小于某个阈值（见图 5），,A B同时发射同频率同相位且相同极化方向、但功率不同的微波信号时，根据导引头的功能，它将对准,A B中间的“重心”P，它满足：BAPAOPBOPP=，（1）图 5 模拟目标运动的原理 其中,ABP P分别为,A B发射的微波功率，角度均以弧度计。OP就是导引头“感觉”到的目标方向，这个方向称为导引头的视在方向。这等价于,A B不工作，代之以在P点存在着一个辐射,A B两者功率之和的“视在天线”。于是，连续地改变天线,A B的功率之比，且两者之和为常值时，导引头就“感觉”到视在目标在,A B之间运动，距离不变。又因为视在目标功率的大小模拟了导弹与目标之间距离的远近，故若两者功率之和变化，功率之比不变，则模拟了目标与导弹间的距离变化，但方向不变。这样，控制两相邻天线的功率比及它们的功率之和，并连续地控制相邻的两两一组的天线的开关，使之时间上前后衔接，对导引头相当于在目标阵列上有一个运动的视在天线，模拟了导弹与目标之间的相对连续的运动。（注：上述原理是产生视在目标的背景介绍，本题的重点宜放在微波暗室的性能分析上）图 6 问题 2 的诸参数示意图 现在回到问题本身。设暗室的宽B=18，高H=14，长L=15，1b=，线阵列的圆弧半径14R=，单位均为米。所有墙面铺设同一规格的吸波体（上述数据均从吸波体的顶端平面算起）。图 6 所示暗室右端中心的ss的小方块面积处是安置导引头的部位，称为“静区”。静区小方PABO三轴转台Lb导引头吸波材料目标模拟器bB 4块的中心点与目标模拟阵列圆弧的圆心重合。静区接收到的电磁能量直接对导弹的导引仿真有重要影响，根据导引仿真要求，静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比g，始终满足g0.03。设0.3s=m。目标模拟器对导引头的视在目标运动从左端开始，以匀角速运动到右端，前后共 4 秒，视在天线中心轴线对准静区中心，中心轴线处的发射功率强度随时间线性增大，结束时比初始时增大了一倍。并假设：（1）视在天线发射功率强度分布满足余弦辐射体（见附录 2）；（2）只考虑所有墙面对辐射的反射，不计入墙面的散射；（3）不计入模拟器的天线及其安装支架，以及导引头本身对辐射的影响；若暗室铺设平板形吸波材料，其垂直反射率r=0.50。试建立合适的数学模型，在上述假设下，根据提供的数据，通过对模型的分析与数值计算，判断这样的微波暗室能否能满足仿真技术要求？在此弹目相对运动过程中，何时的g值最小？进一步，若暗室改为铺设尖劈形吸波材料，由于沿尖劈形吸波体各平面处的吸波效果不是常数，所以常用统计的方法求出其平均值，称此平均值为平均反射率。现设此平均反射率已经求出，为r=0.05（相当于尖劈形吸波体被换成另一种吸波性能更好材料的平板形吸波体的垂直反射率），请你再次用模型进行计算，根据结果判断，这样的暗室是否能满足仿真技术要求？何时的g值最小？【附录附录 1 1】立体角的基本概念立体角的基本概念 辐射能在立体锥角范围内传播，需要一个描述立体锥角“大小”的数学量立体角。平面角的大小是用过一个顶点的两条射线所夹的范围来衡量，以弧度或度为单位，弧长等于半径的圆弧所对的平面角的大小定义为一弧度（rad）。圆的平面角为2prad。三维空间里立体角定义：以立体锥角的顶点为球心，作一半径为R的球面，用此锥角在球面上所截微元面积dS，除以半径R的平方，来表示此立体角元的大小：附图 1 立体角定义 2ddSRw=。（f1.1）若微元面积的法向量与辐射方向单位向量nr成a角，则 22dcosddnSSRRaw=r uur，(f1.2)立体角的单位为立体弧度或球面度（sr），当截出的球面积等于半径平方时，该立体角的大小为 1 球面度。在球坐标系中立体角的计算如下。设辐射源O位于球坐标的原点，在球坐标系里辐射方向由方位角j和高低角i给出。球面上的一微元面积dS 对原点O构成的立体角为 附图 2 球坐标系中的立体角元 dw，由于 2d(sin d)(di)sin d dSRiRRi ijj=，故立体角微元为 2ddsin d dSi iRwj=。（f1.3）原点周围的全部空间的立体角大小为：OdSAR 5200sin d d4i ippwjp=。(f1.4)【附录附录 2 2】关于辐射的几个描述参量关于辐射的几个描述参量 1.辐射通量辐射通量 本身发射辐射能的物体，称为一次辐射源。受到别的辐射源照射后透射或反射辐射能的物体称为二次辐射源。这两种辐射源统称为辐射体。辐射体向周围空间发出辐射能，用辐射功率来描述这些辐射能。以辐射形式发射、传播或接收的辐射功率，定义为辐射通量辐射通量，记之为F，单位是瓦特（W）。点源辐射在立体角内传播，故这里的辐射通量指在某一个立体角范围内传播的能量。2.辐射强度辐射强度 大多数辐射源在不同方向上的辐射通量是不相同的，有的方向强，有的弱。以光辐射为例，若对普通照明灯泡罩上灯罩，光照功率在各个方向是不同的，灯头向上方向很小，而沿灯泡轴线向下为最强，与轴线成一角度方向则随角度增大而减小。容易知道，一定大小的辐射通量，通过给定立体角内辐射时的强度，肯定比在另一个更小的立体角内通过时的强度要小。这就需要引入辐射强度的概念。辐射强度指在某个指定方向上辐射通量的大小。由于单一方向（一根线内）无法谈论传输的能量，故辐射强度定义为指定方向上的一个微小立体角内所包含的辐射通量，除以这个立体角的大小，所得的商即为辐射源在此方向上的辐射强度。它只刻画指定方向上一个很小空间范围内辐射的强弱。数学上，若在某给定方向上的一个微小立体角dw内的辐射通量为dF，则该方向上的辐射强度I为 ddIwF=。（f2.1）因此，辐射强度表示为辐射通量关于球面角的导数。辐射强度的单位为瓦特每球面度，（瓦/sr），定量地表示为单位立体角内的辐射通量，它是辐射的基本单位，其他概念的单位均由这个基本单位导出（如辐射通量，以及下面将要引入的辐射照度，辐射出射度等）。在球坐标系中，一个方向可由方位角j和高低角i两个角确定（见附图 1），若已知点辐射源或微元dS在给定方向上的辐射强度I为方位角j和高低角i的某个函数(,)I ij，那么可计算 出此辐射源发出的总辐射通量：02:0ijpp：，；立体角2ddsin d dSi iRwj=，则 220000=(,)d(,)d(,)sin d dI iI iI ii ippppjwjwjjF=。当辐射强度(,)I ij轴对称时，(,)=()I iI ij，只是角i的函数，附图 3 余弦辐射体示意 计算可以容易些 0=2()sin dI ii ippF。有时，()I i与空间方向的关系按下列较简单的规律变化：cosiNIIi=，22ipp-。（f2.2）其中dS为辐射微元，NI为dS法线方向的辐射强度，iI为与法线成i角方向的辐射强度。若用矢径表示辐射强度，则各方向辐射强度矢径的终点轨迹在一球面上。符合这一规律的辐射体称为余弦辐射体余弦辐射体。本题的问题本题的问题 2 2 就采用这样的辐射简化模型就采用这样的辐射简化模型。dSiiI 6 3.辐射照度辐射照度 当一定量的辐射通量到达一个接受面时，称此面被辐射“照明”了，辐射照明程度的大小，用辐射照度（简称照度）这个量来描述。一定辐射通量的辐射照射到两个大小不同面积的表面，两者的单位面积上接收的辐射通量显然不同。设被照平面垂直于辐射方向，则 照度（E）定义为落到某微元上的辐射通量dF与此元面积dS之比，刻画单位面积上所接收到的辐射通量的密度。数学上有 ddESF=。（f2.3）照度的单位为瓦特每平方米。若较大面积的表面被均匀照射，则平均辐射照度为0/ES=F。用点辐射源与假想球面的方法，容易推出照度的“距离平方反比定律”。记点源的均匀辐射强度为0I，它在空间发出的总通量为04 Ip；半径为R的球面面积为24 Rp，故辐射源在距离R处产生的照度为 002244IIERRpp=。（f2.4）若被照平面与辐射方向不垂直（斜交），则辐射照度计算公式要作调整。如附图 4 所示，点 辐射源O的发光强度为0I，被照微元面积为dS，距离源O为r，对点O所张的微立体角为dw，其法线方向与dw的轴线的夹角为q。由立体角的定义，2cosddSrqw=；通过dw的辐射通量为 002cos dddSIIrqwF=；故面积dS上的辐射照度为 02cosIdEdSrqF=。（f2.5）附图 4 斜交时的照度定律 （f2.5）称为辐射照度的距离平方反比余弦定律距离平方反比余弦定律。4.辐射出射度辐射出射度 从一辐射表面（比如反射面）的单位面积上辐射出的辐射通量，表征其辐射能力的大小，称为辐射出射度，记为M。辐射出射度与辐射照度是一对相同意义的物理量，只是前者是发出，后者是接收，两者的单位相同。对于非均匀辐射面，有 ddMSF=。（f2.6）若本身不主动辐射，受外来辐照后所得照度为E。入射能量中一部分被吸收，另一部分被反射，设表面反射率为r，那么显然有 MEr=。主要参考文献主要参考文献 1.刘顺华等，电磁波屏蔽及吸波材料，化学工业出版社，2007.8 2.Bhag Singh Gurn,Huseyin R.Hiziroglu,Electromagnetic Field Theory Foundamentals,周克定，张肃文等译，机械工业出版社，2000 3.张以漠，应用光学，机械工业出版社，1988 nrdSdwOq 1 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写）全全全全国国国国第第第第八八八八届届届届研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 题 目 吸波材料与微波暗室问题的数学建模 摘 要：微波暗室提供了一个几乎没有反射的“自由空间”，是设备测试的良好平台。本文分别对尖劈形状吸波体和微波暗室吸波性能进行了分析建模，主要内容为：问题一：针对二维空间首先根据几何光学原理，得到射向角余角为半尖劈角整数倍时反射次数与入射位置无关，由此定义了特征波线；利用任意波线反射过程与特征波线之间的关系，推导了其反射次数的解析解，建立了反射次数与射向角、入射位置及尖劈角的定量关系模型；进一步刻画了最终反射波线方向和反射波辐射强度与反射次数、反射率等参数的定量关系。通过对三维空间入射波线的分解，将二维反射模型扩展到三维，仿真结果验证了模型的正确性。问题二：由于微波暗室各墙面之间相互辐射，组成了一个复杂系统，然而电磁波传播速度很快，该系统可以很快达到稳态。基于此，墙面各处均在稳定辐射能量，而且其辐射出射度恒定。利用微元分析 2 法做稳态分析，推导了六个墙面各微元辐射出射度之间的相互作用关系式，以及天线信号源位置与各墙面之间的影响机制，建立了各墙面微元辐射出射度耦合模型。求解该模型，得到六个墙面辐射出射度分布，利用余弦辐射特性，将诸墙面各处微元辐射至静区的功率积分求和，从而得到静区从墙面接收的总反射功率。最后，根据导引仿真要求，计算了静区从诸墙面得到的反射信号功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比，得到当0.5时，视在天线在圆弧上的任何位置，值均大于 0.03，不能满足仿真技术要求；当0.05时，值均小于 0.03，满足仿真要求。在上述两种反射率下，值均在天线处于圆弧中间的位置时达到最小，此时的暗室吸波性能最好。关键字：几何光学 余弦辐射体 微元分析法 辐射出射度 目录1问题的重述41.1研究背景.41.2问题一：尖劈形状吸波体的性能分析.41.3问题二：导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究.42问题的分析53模型的假设及符号说明63.1模型假设.63.2符号说明.74入射波线在尖劈空缺间反射过程的数学模型74.1模型准备.74.2二维反射模型.104.2.1入射波线反射次数.104.2.2反射次数模型验证.134.2.3反射波线方向.144.2.4反射波线辐射强度.144.3三维模型的建立.155微波暗室的性能研究185.1模型准备.185.1.1模型假设.185.1.2余弦散射体的性质.185.2微元辐射出射度耦合模型.195.2.1墙面微元之间的辐射出射度关系分析.195.2.2天线与墙面微元辐射出射度的关系.205.2.3墙面微元辐射出射度方程.215.3静区接收功率的计算.225.3.1反射功率计算.225.3.2直射功率计算.225.4暗室吸波效果分析.226模型的扩展247模型的评价2431问题的重述1.1 研究背景隐身技术的基础研究包括探索不同频段上吸波的机理，研制高效吸波的特殊材料，将吸波材料设计成合理的形状使之发挥最大效能。许多以电磁波，光波或声波的传播为信息载体的仪器设备，都需要功能与性能的测试，这些测试被放置在被称为”无回波暗室”的实验室中进行。吸波材料一般制成平板形状和特殊形状两大类基本形状。定义反射率为反射波功率 Pr与入射波功率 Pi之比:=Pr/Pi，显然 1。平板形状吸波体的主要性能指标是电磁波从空间向材料表面垂直入射（入射角 i=0）时的反射率，其值越小，吸波性能越高。当入射角i=0 时称为斜入射，斜入射时将出现反射、折射情况，此时反射率的理论计算较复杂。本题将反射率简化为满足余弦法则，即()=cos，其中为入射角大小，其中 为垂直入射反射率。?1?2irhdr图 1 尖劈形吸波体吸波功能的示意图图1示意了一条想象中的辐射线（实际上是在一个微小立体角内辐射）射入尖劈吸波体后，经过多次反射以及透射过尖劈后进入相邻尖劈空间形成反射的情况。2 为尖劈角，h 为尖劈的高，d 为尖劈的底部宽度。1.2 问题一：尖劈形状吸波体的性能分析设尖劈形状吸波体及其坐标系如图2所示，尖劈的长度沿x 方向为无限长，其他尺寸记号同图1。由射向角 和方位角 确定入射波线的方向，只考虑波在两种不同介质界面处的反射，不考虑边缘处的绕射。假设尖劈材料的电性能参数各处均匀，垂直入射的反射率为，斜入射时的反射率满足前述的余弦法则，设入射波线的辐射强度为1单位。试建立入射波线在一个尖劈几何空缺间反射过程，即分别刻画最终反射波线的方向，反射次数，反射波的辐射强度与已知反射率、诸几何参数之间的定量关系。1.3 问题二：导弹导引仿真实验用的微波暗室的性能研究设暗室的宽B=18，高H=14，长L=15，b=1，线阵列的圆弧半径R，单位均为米。所有墙面铺设同一规格的吸波体（上述数据均从吸波体的顶端平面算起）。图3所示暗室右端中心的s s的小方块面积处是安置导引头的部位，称为”静区”。静区小方块的中心4xyzO?图 2 尖劈吸波体吸波示意点与目标模拟阵列圆弧的圆心重合。根据导引仿真要求，静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比，始终满足 0.03。设s=0.3m。图 3 问题二的诸参数示意图目标模拟器对导引头的视在目标运动从左端开始，以匀角速运动到右端，前后共4秒，视在天线中心轴线对准静区中心，中心轴线处的发射功率强度随时间线性增大，结束时比初始时增大了一倍。并假设：（1）视在天线发射功率强度分布满足余弦辐射体；（2）墙面为余弦反射体；（3）不计入模拟器的天线及其安装支架，以及导引头本身对辐射的影响；若暗室铺设平板形吸波材料，其垂直反射率=0.50。试建立合适的数学模型，在上述假设下，根据提供的数据，通过对模型的分析与数值计算，判断这样的微波暗室能否能满足仿真技术要求？在此弹目相对运动过程中，何时的值最小？进一步，若暗室改为铺设尖劈形吸波材料，由于沿尖劈形吸波体各平面处的吸波效果不是常数，所以常用统计的方法求出其平均值，称此平均值为平均反射率。现设此平均反射率已经求出，为=0.05，请你再次用模型进行计算，根据结果判断，这样的暗室是否能满足仿真技术要求？何时的值最小？2问题的分析入射波线在一个尖劈几何空缺间的反射过程非常复杂。在反射次数已知的条件下，反射波线的方向和反射波的辐射强度都可以由反射次数求得，所以问题1的关键在于反射次数的求解。首先考虑二维情况，在尖劈角一定时，任意入射角度和入射位置的波线射出5尖劈可能在以下两种情况下发生：一是其射出角小于等于半尖劈角，这时反射次数可以通过求解角度变化得到，二是其射出角虽然大于半尖劈角，但由于尖劈高度有限，波线射出尖劈，此时反射次数求解较困难。由于出射次数是离散值，所以存在波线入射角度、入射位置和尖劈角的临界关系，当其中某一变量在其临界位置变大或变小时，反射次数相差1，本问的关键即求解临界关系。在尖劈角一定时，当入射波线射向角的余角等于m倍的半尖劈角时(m为整数)，其反射次数与入射位置无关，仅与m有关，且这些波线的向上射出尖劈路径与向下射入路径或者重合或者关于尖劈空缺中心线轴对称，称这些入射波线为特征波线。由于任意射向角均是介于两相邻特征波线射向角之间，所以利用特征波线可以建立上述的临界关系，从而得到反射次数的解析解。三维情况下，尖劈在x轴方向上无限延长，将入射线看做矢量，并分解为沿x方向的矢量和在Oyz平面内的矢量之和，则沿x方向的矢量不发生反射，而在Oyz平面内的矢量的反射过程与二维情况相同，所以反射次数可以直接由二维推广得到，但反射率应考虑x方向矢量的影响，所以辐射强度应做相应变化。对于问题二，微波暗室静区接收到的反射波能量与直达能量之比对导引头仿真有重要影响，静区从信号源直接得到的微波功率容易求得，难点在于求解静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和。由于电磁波传播速度非常快，所以在每个目标模拟器位置处，暗室墙面的相互影响将瞬间达到稳态，即每个墙面微元辐射功率恒定。若每个墙面微元辐射功率可以求得，则静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和等于由所有墙面微元辐射至静区功率之和。本题转化为在稳态条件下，求解墙面微元辐射功率的问题。每个墙面微元接收来自其余墙面微元辐射的能量以及目标辐射的能量，并将部分能量按照余弦辐射规律辐射，根据能量守恒，每个墙面微元接收的功率应等于损耗功率与辐射功率之和。达到稳态时，墙面微元辐射的功率恒定且是未知量，在每个墙面微元处建立上述的能量守恒等式，则可以得到阶数与微元个数相等的线性方程组。求解该方程组，得到每个墙面微元在稳态时辐射的功率。利用余弦辐射特性，将诸墙面各处微元辐射至静区的功率积分求和，从而得到静区从墙面接收的总反射功率，最后计算静区从诸墙面得到的反射信号功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比。3模型的假设及符号说明3.1 模型假设假设1：本文中反射率简化为满足余弦法则，即(i)=cos(i)，其中 i 为入射角大小，为垂直入射反射率。假设2：本文采用简单直观的几何光学模型来初步分析研究特殊吸波体和微波暗室的性能这两类问题。假设3：本文中只考虑在两种不同介质界面处的反射，不考虑透射及边缘处的绕射。理论上入射波有多次透射后进入相邻空间的反射，但能量已很小，工程上可以不计。假设4：在公式推导过程中仅考虑入射线的射向角大于半尖劈角的情况，小角度入射近似于垂直入射情况，在尖劈吸波体实际性能研究中意义不大，但在文中的模型的扩6展中给出了分析。3.2 符号说明表 1 符号说明表符号定义in第n次反射的入射角，入射波线与介质界面法线的夹角in第n次反射的反射角，反射波线与介质界面法线的夹角Pi入射波功率Pr反射波功率电磁波垂直入射反射率，=PrPi(1)Oxyz尖劈形吸波体的三维坐标系，如图2所示i射向角，坐标系Oxyz的z轴正向与入射线负方向的夹角r出射角，坐标系Oxyz的z轴正向与反射波正向的夹角方位角，坐标系Oxyz的x轴正向与射线在xOy平面上投影的夹角半尖劈角，如图1所示d尖劈的底部宽度，如图1所示h尖劈的高度，如图1所示R目标模拟器的圆弧半径目标模拟器对导引头的总张角静区从诸墙面得到的反射信号的功率之和与从信号源直接得到的微波功率之比4入射波线在尖劈空缺间反射过程的数学模型4.1 模型准备定义 1 一条入射线射入两相邻尖劈空缺间，定义这条射线与这两个相邻尖劈顶点的连线的交点为它的入射位置。示例如图8中的P点。为了建立入射波线在尖劈吸波体几何空缺间反射过程的数学模型，首先以引理的形式给出入射波线在尖劈空缺间反射的基本规律。引理 1 入射线在尖劈空缺间多次反射过程，入射角i1依次递减尖劈角2。21i2i1i2ACBO2D12M图 4 入射波的入射角变化示意图7证明：图4示意了一条想象中的辐射线射入尖劈吸波体，首次到达界面A点，一次反射后到达界面B点，A点和B点处界面法线相交与点C。i1和i2分别表示第一次反射和第二次反射的入射角。定义入射线在界面法线之上（入射线在尖劈顶端与法线之间）入射角为正，在界面法线之下（入射线在界面法线与尖劈底面之间）入射角为负。由图可知相邻两尖劈之间的夹角ADB=2，则由相似三角形原理得ACM BDM因此ACB=ADB=2则i2=i1 ACB=i1 2引理 2 当入射角为i=2m时(其中m是大于等于零的整数)，入射线将沿原路返回，且反射次数为2m+1。证明：根据引理1知，射入尖劈吸波体几何空缺间的入射线在每次反射后入射角减小2。当入射角为i=2m 时，经过m次反射，入射角变为零，即垂直入射。此次反射的入射线与反射线重合。然后这条辐射线将按原路线再经过m次反射从入射方向射出尖劈空缺间。可知整个过程入射线经过了2m+1次反射。示例如图8点划所示。引理 3 当入射角为i=(2m+1)时（其中m是大于等于零的整数），入射过程与出射过程关于两相邻尖劈的中轴线对称，反射次数为2(m+1)。证明：由图4可知，尖劈界面的法线BC与水平线间的夹角为，满足2+=1+=90则=。同理根据引理1可知，经过m次反射后，第m+1次反射的入射角变为(2m+1)2m=则m+1次反射的反射角也为，即反射线将沿水平射出到达相邻尖劈。所以出射过程将与入射过程关于尖劈的中轴线规程，经过m+1次反射后射出尖劈空缺间。所以总的反射次数为2(m+1)，示例如图8虚线所示。引理 4 假设同一点源发射的两条电磁波的入射线之间的夹角为i，在尖劈空缺间经过相同次数反射后的射出线之间的夹角为o，则有i=o。证明：如图5由同一点源发出的两条射线 OA和 OB之间的夹角为i，经过一次反射后，两条辐射线反向延长线之间的夹角为i。图中O为点源关于尖劈界面对称的虚源。由对称几何关系知i=i1 i2,i=i1 i282AO2D1iO2iiiBDC图 5 由同一点源发射的辐射线的入射关系因此，可得i=i。在这里可将经过一次反射后的辐射线 AB和 CD看作由同一点源O（虚源）发射的两条射线，两条入射线的夹角为i。依次类推，若经过相同次数的反射，这两条反射线在射出时，夹角依然是i1 i2，则i=o，即引理得证。引理 5 平行入射的波束经过相同次数的反射，不发生能量会聚及发散，即波束间的间距保持不变。ABCDOO1i2i2d1d图 6 平行入射辐射线之间的关系证明：图6示意了两条平行入射的电磁波OA和OB之间的关系，用|.|表示线段的长度，由几何关系知入射角满足i1=i2考虑到d=|AB|cosi因此得到d1=d2=|AB|cosi1同理，当经过相同次数反射后，两条辐射线之间的距离仍保持不变。9OABCa12图 7 三余弦定理示意图引理 6 如图7所示，设A为面上一点，过A的直线AO在a面上的投影为AB，AC为该面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦关系为：cosOAC=cosBAC cosOAB称为三余弦定理。定义 2 满足引理2和引理3的入射波线分别称为反向特征波线和对称特征波线，两种波线统称为特征波线，其入射角满足m(m 0)，其反射次数为m+1。4.2 二维反射模型4.2.1 入射波线反射次数如图1，本节只考虑当波线从左侧入射的情况，从右侧入射的情况与左侧入射对称。（1）当射向角i满足条件i2 ，此时入射到尖劈上的辐射线直接反射出尖劈，反射次数为1。（2）当射向角满足条件i ，某些入射位置的波线将在左侧尖劈面发生第一次反射，不易求解，且在实际研究中意义不大，文中将在模型扩展中予以讨论。（3）当 i2并且 sin(i1 m)sin(m+1)i1)sin(m+2)sin(m+1)(7)辐射线的反射次数为m+1次。其中，OP如图8所示。证明：在此仅考虑m为偶数的情况，当m为奇数时同理可证。如图8将LR1的出射线反向延长，同时将LR2在第m+1次反射后的辐射波线段双向延长，再将LR3在第m+1次反射后的辐射线反向延长。则由引理4，三条延长线必相交于一点，记为Q，且PQE=1，EQF=2，1、2分别由式(4)和式(5)给出，将LR3在第m+1次反射后辐射线的延长线与OP的交点记为E。则确定LR3反射次数的问题转化为判断PE与PO相对长短的问题。若PE PO，则LR3反射的次数为m+2次，否则LR3的反射次数为m+1次。该问题的临界条件为PE=PO(8)求解过程如下：过O点作线段BOC垂直于OF，交FA于B，交FD于C。则因为OF是CFB的角平分线，所以OB=OC(9)在三角形OCD中，由正弦定理得sin(ODC)OC=sin(OCD)OD(10)其中，ODC=(m+2)，OCD=(m+1)，为半锥角。在三角形OAB中，由正弦定理得sin(ABO)OA=sin(BAO)OB(11)其中，ABO=(m+1)，BAO=m。联立式(9)、(10)和(11)可得OA=sin(m+2)sin(m)OD(12)根据LR2的对称性得OD=1 OP，代入式(12)，得OA=sin(m+2)sin(m)(1 OP)(13)在三角形AQE和三角形EQP中，根据正弦定理得sinQAEQE=sin2AE(14)12sinQPEQE=sin1PE(15)其中，QAE=m，QAE=m。联立式(14)和(15)得PEAE=sin1sin2sin(m)sin(m+1)(16)式(8)的临界条件等价于下式PEAE=POOA(17)联立式(15)、(16)和(17)得临界条件为OP1 OP=sin1sin2sin(m+2)sin(m+1)(18)当PEAEPOOA，LR3的反射次数为m+2次，此时OP1 OPsin1sin2sin(m+2)sin(m+1)(19)当PEAEPOOA，LR3的反射次数为m+1次，此时OP1 OPsin1sin2sin(m+2)sin(m+1)(20)将1和2的表达式代入即可得式(6)和式(7)。证毕。4.2.2 反射次数模型验证为验证上述定理的正确，将反射次数模型求解的结果与仿真结果进行比较。假定尖劈半锥角为5，令射向角i由0变化至90，OP由0变化至1（OD长度为1），结果如图9和10所示，图中灰度值代表反射次数的大小。模型仅考虑了i 的情况，所以图10中当i 时的情况，由反射次数模型，给定射向角i，第一次入射到尖劈面的入射角i1由式(1)求得，则由式(19)和式(20)可以判定其反射次数，记为N。由引理1，该入射波线在第N次反射时，其入射角为iN，大小为2(N 1)i1。若N为偶数，则最后一次反射在第一次入射面的对称面，如图11，则由角度关系解得射出角r满足r=2N i(22)其中i表示射入角。当N为奇数时，同理可求得射出角为r=(2N i)(23)假定射出角向右为正，向左为负，所以式(22)与式(23)符号相反。最后可求得出射角为r=(1)N(2N i)(24)4.2.4 反射波线辐射强度由引理1，第 n 次反射的入射角in为in=i1 2(n 1)，则第n次反射，反射波辐射强度Irn与入射波辐射强度Iin之比n为n=IrnIin=cos(i1 2(n 1)(25)14其中，为垂直入射反射率。由引理4，易得第n次反射的入射波辐射强度与第n1次反射的反射波辐射强度相同，即Iin=Ir(n1)(26)假设辐射线的反射次数为N，入射波线的辐射强度为1，则出射波线辐射强度为IrN=NIiN=NIr(N1)=NN1Ii(N1)=.=(Nn=1n)Ii1=(Nn=1cos(i1 2(n 1)(27)式中反射次数N由反射次数模型一节给出。4.3 三维模型的建立模型准备入射波线在尖劈空缺间的三维反射模型可通过二维模型的扩展得到。首先用几何光学模型研究电磁波在三维空间的反射规律。图 12 入射波线在三维空间的反射示意图在尖劈斜面上建立坐标系Ox1y1z1，如图12所示，坐标原点建立在反射点O，Ox1正向与图2中x轴正向相同；Oy1轴位于尖劈斜面且垂直于Ox1，Oy1指向尖劈顶端为正，Oz1轴垂直于尖劈斜面，三轴构成右手坐标系。假设一条辐射线AO射入尖劈O点，然后沿OB反射出。在此为了便于研究反射转换，将图12沿着x1轴正向看入的示意图画出，如图13。为了便于推导，假设入射波线为向量 AO，反射波线为向量 OB。将向量 AO分解为平行于Ox1轴的 FB 和y1Oz1平面内的向量 EO。同理将向量 OB 分解为与Ox1轴平行的 FB和y1Oz1平面内的向量 OF。即存在如下关系：AO=AE+EO,OB=OF+FB(28)假设向量 AO 的长度为1，向量 AO 与y1Oz1平面的夹角为，向量 AO 在y1Oz1平面的投影 EO 与z1轴正向的夹角为。向量 OB 与y1Oz1平面的夹角为，向量 OB 在y1Oz1平面的投影 OF 与z1轴正向的夹角为（90,0）。根据反射原理知，=，=，则根据几何关系，向量 AO 和 OB 在坐标系Ox1y1z1中可分别表示为：AO=(sin,cossin,coscos)(29)15图 13 视角沿x1轴方向的反射示意图 OB=(sin,cossin,coscos)(30)向量 AE、EO、FB 和 OF 在坐标系Ox1y1z1中可分别表示为：AE=(sin,0,0)EO=(0,cossin,coscos)(31)FB=(sin,0,0)OF=(0,cossin,coscos)(32)假设在y1Oz1平面内的向量 EO一次