圆心角与圆周角的关系(3).ppt
http:/回顾与思考如图如图1,1,AOBAOB是是 角。角。O OAB如如图图2 2,AB=CD AB=CD,则则AOBAOB与与CODCOD的的大大小小关系是：关系是：。B BA AO OC CD D圆心圆心相等相等http:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成在在射射门门游游戏戏中中，球球员员射射中中球球门门的的难难易易与与他他所所处处的的位位置置B B对球门对球门ACAC的张角（的张角（ABCABC）有关。有关。http:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成如如图图，当当他他站站在在B B，D D，E E的的位位置置射射球球时时,对对球球门门ACAC的的张角的大小相等吗？张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么共同特征吗你能观察到这三个角有什么共同特征吗?http:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成为解决这个问题我们先来研究一种角。为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的观察图中的ABCABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？顶点在什么位置？角的两边有什么特点？A AB BC Chttp:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成观观察察图图中中的的ABCABC，可可以以发发现现，它它的的顶顶点点在在圆圆上上，它它的的两两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。A AB BC C请请同学们考虑两个问题：同学们考虑两个问题：（1 1）顶点在圆上的角是圆周角吗？）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2 2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？为为解决这个问题，我们先回答下面的问题。解决这个问题，我们先回答下面的问题。http:/下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。A AB BC CD DE E由由圆周角的定义可知，只有圆周角的定义可知，只有C C是圆周角，其它都不是。是圆周角，其它都不是。你能你能总结出圆周角的特征吗？总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦。两边在圆内的部分是圆的两条弦。http:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成我们再来研究圆周角的性质。我们再来研究圆周角的性质。为为了了解解决决这这个个问问题题，我我们们先先研研究究一一条条弧弧所所对对的的圆圆周周角角与与它它所所对对的圆心角之间的关系。的圆心角之间的关系。请请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。角。A AC Chttp:/用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。ABCABC的一边的一边BCBC经过圆心经过圆心O O。ABCABC的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心O O。ABCABC的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心O O。请请 问问 ABCABC与与 AOCAOC它它们们的的大大小小有有什什么么关关系系？说说说说你你的的想想法法，并与同伴进行交流。并与同伴进行交流。B BA AO OC CA AB BC CO OB BA AC CO Ohttp:/下下面面我我们们首首先先考考虑虑同同学学们们列列举举的的一一种种特特殊殊情情况况，即即ABCABC的的一一边边BCBC经过圆心经过圆心O O。B BA AO OC C AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=AOC=ABO+ABO+BAOBAO。OA=OBOA=OB，ABO=ABO=BAOBAO。AOC=2AOC=2ABOABO，ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2如如图图,我我们们可可以以观观察察到到AOCAOC是是ABOABO的的外外角角，ABCABC是是 ABOABO的的一一个个内内角角，它它们们两两者存在一定关系者存在一定关系.http:/下下面面我我们们首首先先考考虑虑同同学学们们列列举举的的一一种种特特殊殊情情况况，即即ABCABC的的一一边边BCBC经过圆心经过圆心O O。B BA AO OC C AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=AOC=ABO+ABO+BAOBAO。OA=OBOA=OB，ABO=ABO=BAOBAO。AOC=2AOC=2ABOABO，ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2那那么么当当ABCABC的的两两边边都都不不经经过过圆圆心心O O时时，ABCABC与与AOCAOC又又有怎样的大小关系呢？有怎样的大小关系呢？A AB BC CO OB BA AC CO Ohttp:/我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。A AB BC CO O也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接BOBO并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点D D。D D（此时我们得到与图此时我们得到与图同样的情形）同样的情形）1 13 32 2B BA AO OC C 1 1是是ABOABO的外角，的外角，1=1=2+2+3 3。OA=OBOA=OB，2=2=3 3。1=21=22 2，2=2=1 1。1 12 25 54 41 12 2同理同理,4=4=5 5。1 12 2 2+2+4=4=（1+1+5 5）。ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2http:/B BA AC CO OB BA AO OC C如如图图，连连接接BOBO并并延延长长，与与圆圆相相交交于于点点D D。（此此时时我我们们得得到到与与图图同样的情形）同样的情形）D D AODAOD是是ABOABO的外角，的外角，AOD=AOD=A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2ABDABD，ABD=ABD=AODAOD。1 12 2http:/B BA AC CO OB BA AO OC C如如图图，连连接接BOBO并并延延长长，与与相相交交于于点点D D。（此此时时我我们们得得到到与与图图同同样的情形）样的情形）D D AODAOD是是ABOABO的外角，的外角，ABD=ABD=A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2ABDABD，ABD=ABD=AODAOD。1 12 2同理同理 ,CBD=CBD=CODCOD。1 12 2http:/B BA AC CO OB BA AO OC C如如图图，连连接接BOBO并并延延长长，与与相相交交于于点点D D。（此此时时我我们们得得到到与与图图同同样的情形）样的情形）D D AODAOD是是ABOABO的外角，的外角，ABD=ABD=A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2ABDABD，ABD=ABD=AODAOD。1 12 2同理同理 ,CBD=CBD=CODCOD。1 12 2 ABDABDCBD=CBD=AODAOD CODCOD=（AODAODCODCOD）。）。ABC=ABC=AOCAOC1 12 21 12 21 12 21 12 2http:/认真观察，探求结果通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？果？B BA AO OC CA AB BC CO OB BA AC CO O一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。一半一半一半一半http:/A AO OC CB B如图，在如图，在 O O中，中，BOC=50BOC=50，则则BAC=BAC=。点点拨拨：此此题题要要选择选择关关键键点：点：BOCBOC与与BACBAC对着对着BCBC，因此，因此BOCBOC等于等于BACBAC的的2 2倍。倍。2525 http:/A AO OC CB B如图，在如图，在如图，在如图，在 OO中，中，中，中，BOC=50BOC=50，则则则则BAC=BAC=。变化题变化题变化题变化题2 2：如图，：如图，：如图，：如图，BAC=40BAC=40，则，则，则，则OBC=OBC=。A AB BC CO O变化题变化题变化题变化题1 1：如图，点：如图，点：如图，点：如图，点A A，B B，C C是是是是 OO上的三点，上的三点，上的三点，上的三点，BAC=40BAC=40，则，则，则，则BOC=BOC=。2525 5050 8080 由由BAC=40BAC=40 可可得得BOC=80BOC=80，再再由由BOCBOC是是等等腰腰三三角角形形可可求得求得OBCOBC。http:/如图，如图，OAOA，OBOB，OCOC都是都是 O O的半径，的半径，AOB=2AOB=2 BOC BOC，ACBACB与与 BACBAC的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？A AB BC CO O请同学们认真观察请同学们认真观察AOBAOB与与ACBACB，BOCBOC与与BACBAC的关的关系。系。答：答：答：答：ACB=2ACB=2BAC.BAC.理由是理由是理由是理由是:AOB=2AOB=2ACBACBBOC=2BOC=2BACBACAOB=2AOB=2BOCBOC2 2ACB=2ACB=2（2 2BACBAC）ACB=2ACB=2BACBAChttp:/A AB BC CD DO O如如图，图，A A，B B，C C，D D是是 O O上的四点，且上的四点，且BCD=100BCD=100 ，求求BODBOD（BCDBCD所对的圆心角）和所对的圆心角）和BADBAD的大小。的大小。由由BCD=100BCD=100，我们，我们可求出对应的圆心可求出对应的圆心角角1 1是是200200 ，则，则BODBOD就可求。就可求。解：解：BCD=100BCD=100 1=2001=200 BOD=360BOD=360 200200=160=160 1 1http:/A AB BC CD DO O如如图，图，A A，B B，C C，D D是是 O O上的四点，且上的四点，且BCD=100BCD=100 ，求求BODBOD（BCDBCD所对的圆心角）和所对的圆心角）和BADBAD的大小。的大小。解：解：BCD=100BCD=100 1=2001=200 BOD=360BOD=360 200200=160=160 1 1观察观察BODBOD与与BADBAD的关系就可的关系就可以求以求BADBAD的大小。的大小。BAD=BAD=BOD=BOD=160160=80=80 1 12 21 12 2http:/课内拓展延伸课内拓展延伸1.1.到目前为止到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特它们各有什么特点点?相互之间有什么关系相互之间有什么关系?答答:和圆有关的角有圆心角和圆周角和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心圆心角顶点在圆心;圆周角顶圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角的一半。2.2.课后思考课后思考如如图图，当当他他站站在在B B，D D，E E的的位位置置射射 球球 时时 对对 球球 门门ACAC的的 张张 角角 的的 大大小小相相等等吗吗？为为什什么？么？http:/http:/
