《应用多元分析》第三版PPT(第一章).ppt

第一章 矩阵代数v1.1 定义v1.2 矩阵的运算v1.3 行列式v1.4 矩阵的逆v1.5 矩阵的秩v1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹v1.7 正定矩阵和非负定矩阵v1.8 特征值的极值问题1.1 定义pq矩阵：p维列向量：q维行向量：a=(a1,a2,aq)向量a的长度：单位向量：v若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。v若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。v若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。v若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。正定矩阵和非负定矩阵的基本性质v(1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。v(2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。v(3)若A0，则A10。v(4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。v(5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。v(6)BB0，对一切矩阵B成立。v(7)若A0(或0)，则存在 0(或0)，使得 称为A的平方根矩阵。v(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。1.8 特征值的极值问题v(1)若A是p阶对称矩阵，其特征值依次为12p，则v(2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，12p是B1A的p个特征值，则v(3)柯西许瓦兹不等式(CauchySchwarz)若B0，则(xy)2(xBx)(yB1y)