其他振动模式 17_070125102830.ppt

其它振动模式其它振动模式薄圆片压电振子的径向伸缩振动;其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动振动模式振动模式材料参数等效电路器件设计阻抗、导纳薄圆片压电振子的径向振动薄圆片压电振子的径向振动对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数s11=s22的压电晶体，例如钛酸钡、铌酸锂等晶体，可用它的z切割薄圆片的径向振动。用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直。因为是薄圆片，所以可以近似认为垂直于圆片面方向的应力Tz=0。薄圆片压电振子的压电方程组薄圆片压电振子的压电方程组因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r 方向和方向的Tr0，T0，而切应力Tr=Trz=Tz=0。因为电极面就在圆片面上，所以只有沿z方向的电场强度分量Ez0，而沿r和方向的电场强度分量Er=E=0。又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0。选E、T为自变量，并注意到弹性柔顺常数s11=s22以及压电常数d31=d32，于是薄圆片压电振子的压电方程组为：（5-37）第二类压电方程组第二类压电方程组若以（S、E）为自变量，有（5-37）式可得实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性柔 顺 常 数 sE11、sE12，将 Y=1/sE11，=-sE12/sE11关系代入上式得：（5-38）式就是以（S、E）为自变量，用柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中沿r方向的伸缩应变Sr=（ur/r），沿方向的伸缩应变S=ur/r+(u/)/r。因为薄圆片的径向伸缩振动具有圆对称性，所以(u/)=0。在此情况下，沿方向的伸缩应变简化为S=ur/r。薄圆片压电振子的振动方程若圆片密度为，则小的质量为（见图5-7）；若为小块bcde沿径向的位移rddr，则 小 块 沿 径 向 加 速 度 为2ur/t2。小块的运动方程为：图5-7 薄圆片压电振子的质量元由于dr和d都很小，故有忽略T与T的差别（即认为T=T）。将这些结果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，即：（5-39）将压电方程组（5-38）式代入上式，并注意到（Ez/r）=0，即得利用关系代入薄圆片压电振子的波动方程。（5-40）其中波速：波动方程式的解薄圆片压电振子的波动方程式的解为 （5-41）其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边界为机械自由，则在边界上的应力Tr等于零。即由（5-38）式的第一式若电场强度分量为:并注意到代入到上式得：（5-42）利用边界条件r=a时，Tr|a=0，即可确定任意常数A，由即得 （5-43）将（5-43）式代入到（5-41）式即得满足自由边界条件的解为 (5-44)由（5-44）式代表的波形，如图5-8所示。图图 5-8 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（自由圆片的径向伸缩振动（a a）自自由圆片中的波形（由圆片中的波形（b b）自由圆片的伸缩情况自由圆片的伸缩情况r r-a-a0 0a at=t=0 0u ur r(r,(r,0)0)0 0t=t=/r ru ur r(r,(r,/r r)0 将（5-43）式代入到（5-42）式即得沿r方向的伸缩应力为 （5-45）沿方向的伸缩应力为:（5-46）沿r方向和方向的伸缩应变及电位移为:（5-47）薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流I为而电极面上的电荷Q为积分时注意到：即得于是得到电流为 （5-48）薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗Z为将（5-48）式代入上式的因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为以及 将这些关系代入上式得(5-49)薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗k=/谐振频率和机电耦合系数谐振频率和机电耦合系数谐振时压电振子的等效阻抗Z=0，即G=1/Z=，这就要求即：或：（5-50）其中：r=2fr，fr=谐振频率。钛酸钡的泊松比约为=0.30，代入上式：查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为:（5-51）由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为 （5-52）同理可得：反谐振时，压电振子的等效阻抗Z=，即G=1/Z=0，这就要求，（5-53）因为反谐振频率fa稍大于谐振频率fr，故可假设将J0和J1在谐振频率处用泰勒级数展开得 （5-54）将（5-54）式代入（5-53）式后，(5-53）式分子为:（5-55）(5-53）式分母为由（5-50）式知或者将这些关系代入到（5-55）式得最后得到即：（5-56）由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为或者 （5-57）（5-58）谐振频率关系式（5-52）式以及机电耦合系数关系式（5-57）式对压电陶瓷也成立。实验上常用（5-52）式确定材料的杨氏模量Y，（5-57）式确定材料的机电耦合系数kp，通过低频电容Clow的测量，确定介电常数:以及压电常数:至于泊松比，则可通过下式确定：（5-59）其中：fr0=薄圆片压电振子的基频，fr1=薄圆片压电振子的一次谐波频率。（确切的说法是fr0为薄圆片的基音频率，fr1为薄圆片的一次泛音频率，对于压电陶瓷fr02.61 fr1左右）。（5-59）式的适用范围是：（5-60）薄圆片压电振子的径向伸缩薄圆片压电振子的径向伸缩振动（小结）振动（小结）介电常数半径a；厚度lt；低频电容Clowfr0:薄圆片压电振子的基频，fr1:薄圆片压电振子的一次谐波频率。杨氏模量压电常数平面机电耦合系数其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振动 薄圆环压电振子的径向振动薄圆环压电振子的径向振动 如图5-9所示，薄圆环的极化方向与z轴平行（即轴向极化），平均半径为r，厚度为lt，宽度为lw，并有rlt以及rlw.设圆环的方向为2方向，极化方向为3方向，增加的方向为1方向。因为圆环的半径远大于圆环的宽度和厚度,所以圆环在外加电场的作用下，可以认为只产生轴对称的径向振动.除了沿圆周（即切向）的应力T1（即T）外,其余的应力、切应力皆等于零。图图 5-9 5-9 薄圆环的径向振动薄圆环的径向振动又与3方向垂直的电极面是等位面，所以可以认为E1=E2=0。选（T、E）为独立变量，即得薄圆环的压电方程组为，（5-61）考虑薄圆环上的一小块（如图5-9所示），作用在小块上的径向力分量为：（5-62）由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：（5-63）其中为薄圆片的密度，ur为环的径向位移。将（5-61）式中第一式代入（5-63）式，并注意到Sr=ur/r，即得，(5-64)若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用下，薄圆环产生受迫振动，这时（5-64）式的解为：（5-65）其中:将（5-65）式代入（5-61）式得电位移为：（5-66）其中:自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：通过电极面的电流为：因为电压V=E3lt，故得薄圆环压电振子的导纳为:（5-67）当G=时，薄圆环产生谐振，谐振频率fr为；（5-68）或当G=0时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为:（5-69）或由此得到机电耦合系数k31与fr、fa的关系为:（5-70）薄球壳的球径向振动薄球壳的球径向振动薄球壳的极化方向与径向平行，球壳内外表面为电极面，球壳厚度为lt，平均半径为r，并有r lt，选球的径向为3方向，、的增加方向为1、2方向，其边界条件为:E1=E2=0,E30；T3=T4=T5=T6=0，T10,T20。图图 5-10 5-10 薄球壳的径向振动薄球壳的径向振动选（T、E）为独立变量，即得薄球壳的径向振动的压电方程组为:（5-71）对于压电陶瓷的弹性性质和压电性质在与极化垂直的面上是各向异性的，故有T1=T2、sE11=sE22、d31=d32。令代入到（5-71）式即得:（5-72）球壳中的情况与圆环相似，Sc与径向位移ur之间的关系为：波动方程式为:（5-73）若外加电场为E3=E0ejt，在此电场作用下，上式的解为：（5-74）其中:（5-75）球壳的导纳为:（5-76）其中平面机电耦合系数 kp为当G=和G=0时可得,谐振频率：反谐振频率为：由此得到平面机电耦合系数为：薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动薄片的极化方向与厚度方向平行，片面为电极面，片的长度为l、宽度为lw、厚度为lt，并有llt，lwlt。因为只考虑沿厚度方向传播的平面波，频率很高，故可以认为片的侧面被刚性夹住，即可认为:S1=S2=S4=S5=S6=0，S图图 5-5-1111 薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动设片的绝缘性能良好，没有漏电电流，故可认为D1=D2=0，D3/z=0，选S、D为独立常数，可得压电方程组为：（5-78）波动方程为:（5-79）其中uz为沿z方向的位移（5-79）式的解为：（5-80）利用自由表面边界条件:确定系数A、B的大小由（5-78）式以及（5-80）式可得:其中:薄片的导纳为:（5-81）厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为:其中为薄片的静态电容。（5-82）由（5-81）式可得反谐振频率和谐振频率为:（5-83）小结小结较为详细地求解了薄圆片压电振子的径向伸缩振动;得到机电耦合系数与谐振和反谐振频率之间的关系;简单地介绍了几种其它压电振子的振动模式:薄圆环的径向振动,薄球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动。