概率论与数理统计第10讲.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计第第10讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论子目录)1连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。这就是今天要讲的“概率密度函数”2例8 在区间4,10上任意抛掷一个质点,用表示这个质点和原点的距离,则是一随机变量,如果这个质点落在4,10上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比,求的分布函数.410 x3解 可以取4,10上的一切实数,即410是一个必然事件,P410=1,若c,d4,10,有Pcd=(d-c),为比例常数,特别地,取c=4,d=10,P410=(10-4)=6=1,因此=1/6.4F(x)的图形如下所示0F(x)410 x5在这里，分布函数F(x)是(-,+)上的一个非降有界的连续函数，在整个数轴上没有一个跳跃点(可见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概率都是零).这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因.描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表.但是使用分布函数F(x)同样也是不很方便.因此,用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布.6定义 对于连续型随机变量,如果存在一定义在(-,+)上的非负函数(x),对于任意实数x都有(x)0,且满足,落在任意区间内的概率为(x)在此区间的积分,即则称(x)为的概率密度函数,.7用概率密度函数计算落在任何区间内的概率如下图所示意.abx0(x)P(ab)8因此,概率密度函数的两个性质一个是(x)0,另一个则是x0(x)9概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为x0(x)x10进一步剖析可得x0(x)x x+x这表明(x)不是取值x的概率,而是它在x点概率分布的密集程度.11在例1中的概率密度函数(x)为0410 x(x)12例9 若有概率密度则称服从区间a,b上的均匀分布,试求F(x).解 因为13(x)的图形为求分布函数F(x)则是根据公式0abx(x)14当xa时0abx(x)x15当axb时0abx(x)x17综上所述,最后得分布函数为18F(x)与(x)的图形对照如下:0abx(x)0abxF(x)119例10 已知连续型随机变量有概率密度求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.52.5)解 因20则(x)及其图形如下120 x(x)21x当x0时,120 x(x)22x当0 x2时,x120 x(x)24综合前面最后得120 xF(x)25120 x(x)120 xF(x)将概率密度函数(x)与分布函数F(x)对照26现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.52.5根据分布函数计算:P1.52.5=P1.52.5-P(=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0=1-(1.52/4)+1.5=1-0.9375=0.0625根据概率密度函数进行计算则是27用两种方法计算P1.52.5的示意图120 x(x)120 xF(x)1.51.50.06252.52.50.062528定义 2.4(数学上随机变量的严格定义)如果每次试验的结果,也就是每一个样本点,都对应着一个确定的实数,并且对于任何实数x,x有确定的概率,称为随机变量.(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论,可测集理论.但简而言之,这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的在实数轴上的事件都存在着概率.)29实际上,连续型随机变量的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为,当任意两个实数a,b不相同时,即当ab,事件=a和事件=b是互不相容的,而且连续型随机变量取任何单个的实数的概率为0.可是落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并,这样就出现了无限多个概率为0的事件的并的事件的概率却不为0,即加法法则不成立.因此数学家们就只好宣布可列可加性,而不可列可加性则不成立.30在创建概率论体系之初,人们是认为概率为0的事件就是不可能事件.但连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是0,却是可能事件.这也逼得数学家们不得不宣布概率为0的事件并不一定是不可能事件.31作业 习题二第55页开始 12,14,17,19题D组交作业32请提问33