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11.5 11.5 单位荷载法单位荷载法(unit load method)unit load method)1.1.原理原理 P P*MMQ Q P P*MM*Q Q*1 1Q QMM 外力外力 P P 的虚余功的虚余功=PWce=PWced0=LciMWd0=LciMW位移是真实位移位移是真实位移EIMxv=ddEIMxv=ddxEIMdd=xEIMdd=内力的总虚余功内力的总虚余功=LcixEIMMW0d=LcixEIMMW0d故内力的总虚余功故内力的总虚余功=ceciWW=ceciWWxEIMMPLd0=xEIMMPLd0=xEIMMLd0=xEIMMLd0=1=P1=P取取由虚力由虚力原理原理上述结论的推广上述结论的推广EANLNxEANNL=0dEANLNxEANNL=0dEANLNxEANNL=0dEANLNxEANNL=0d杆件拉压杆件拉压=iiiiiEAlNN)(=iiiiiEAlNN)(桁架桁架pLpGITLTxGITT=d0pLpGITLTxGITT=d0pLpGITLTxGITT=d0pLpGITLTxGITT=d0圆轴圆轴扭转扭转在拉在拉压、扭转和弯曲组合变形情况下压、扭转和弯曲组合变形情况下xEIMMxGITTxEANNpddd+=xEIMMxGITTxEANNpddd+=是是对应于单位荷载的内力。对应于单位荷载的内力。其中，其中，N N、T T、MM 2.2.在桁架中的应用在桁架中的应用=iiiiiEAlNN)(=iiiiiEAlNN)(EAPavC)(212+=EAPavC)(212+=a aa aP PA AB BC CD DP PA AB BC CD DP PP P0 0 2 2 P P 1 1A AB BC CD D1 1A AB BC CD D1 11 10 0 2 2 a aa aP PA AB BC CD DA AB BC CD D1 1A AB BC CD D1 11 10 00 00 01000021102PPPNNNNBCDBDCADa aa aP PA AB BC CD D0=Cu0=CuEAaP)()()(222+EAaP)()()(222+EAaPvC=12EAaPvC=12EAaPvC=12EAaPvC=12例例图示桁架各杆件的抗拉刚度均为图示桁架各杆件的抗拉刚度均为EA EA，求结点求结点C C 的竖向位移和横向位移。的竖向位移和横向位移。3.3.在梁中的应用在梁中的应用设想自由端有一向下作用的设想自由端有一向下作用的单位荷载单位荷载，则梁的弯矩则梁的弯矩xEIMMld0=xEIMMld0=xM=xM=EIqlxxEIqxvlA8d2402=EIqlxxEIqxvlA8d2402=例例求承受均布荷载的悬求承受均布荷载的悬臂梁自由端的竖向位移和臂梁自由端的竖向位移和转角。转角。设想自由端有一逆时针作用设想自由端有一逆时针作用的单位力偶矩的单位力偶矩，则梁的弯矩l lq qA A则梁的弯矩1=M1=MEIqlxEIqxlA6d12302=EIqlxEIqxlA6d12302=221qxxM=)(221qxxM=)(梁的弯矩梁的弯矩4.4.在曲梁中的应用在曲梁中的应用dcos112202RPREIuA=)(dcos112202RPREIuA=)(R RP PA A EIEIEIPR3243=EIPR3243=sinRM=sinRM=求求A A 点竖向位移点竖向位移)(cos1=PRM)(cos1=PRMEIPRRPEIvA2dsincos113320=)(EIPRRPEIvA2dsincos113320=)(=SAsEIMMud=SAsEIMMud求求A A 点转角1=M1=M点转角求求A A 点横向位移点横向位移EIPRRPEIA222012dcos11=)(EIPRRPEIA222012dcos11=)()(cos1=RM)(cos1=RM5.5.单位荷载法注意点单位荷载法注意点1)单位荷载所加的位置，就是所求位移的位置。1)1)单位荷载所加的位置，就是所求位移的位置。单位荷载所加的位置，就是所求位移的位置。2)求线位移时，加单位力；求角位移时，加单位力偶矩。2)2)求线位移时，加单位力；求角位移时，加单位求线位移时，加单位力；求角位移时，加单位力偶矩。力偶矩。3)结果为正（负），表明实际位移方向与单位荷载方向相同（反）。3)3)结果为正（负），表明实际位移方向与单位荷结果为正（负），表明实际位移方向与单位荷载方向相同（反）。载方向相同（反）。4)组合结构中，应考虑所有构件。4)4)组合结构中，应考虑所有构件。组合结构中，应考虑所有构件。11.6 11.6 图形相乘图形相乘法法(method of graph multiplication)method of graph multiplication)xxMxMEIld10)()(=xxMxMEIld10)()(=xxMxMEIld10)()(=xxMxMEIld10)()(=适用范围：适用范围：等截面直梁等截面直梁xxMxMbad)()(xxMxMbad)()(xxMxMba=d)()(xxMxMba=d)()(1.1.原理原理11a ab bMM(x x)MM(x x)11xxMxMbad)()(xxMxMbad)()(xxxMbad)(xxxMbad)(Cx=Cx=tandCbaxxxMxM=)()(tandCbaxxxMxM=)()(CM=CM=()xxxMbadtan)(=()xxxMbadtan)(=xxMxbadtan)(=xxMxbadtan)(=baAx d=baAx dyS=yS=MM C C=lxMMEI0d1=lxMMEI0d1MM 1 1 2 23 1 121 1MM C C1 1MM C C2 2MM C C3 3MM CnnCCMMMEI+=L22111CnnCCMMMEI+=L22111CnnCCMMMEI+=L22111CnnCCMMMEI+=L22111分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论在在M M 是常数时是常数时上述结论仍然有效吗？上述结论仍然有效吗？例例求图中求图中外伸梁中外伸梁中A A 点的点的挠度挠度和和 转角。转角。=aaqaEIvA322212112=aaqaEIvA322212112=aaqaEIvA322212112=aaqaEIvA322212112a aEIEI2 2a aa aA Aq qqa qa/2 22 2+aaqa4321312+aaqa4321312+aaqa4321312+aaqa4321312()=EIqa24114()=EIqa24114()=EIqa24114()=EIqa24114=322212112aqaEIA=322212112aqaEIAEIqa23=EIqa23=+121312aqa+121312aqa()1()1图图乘法步骤乘法步骤1)1)画出实际荷载的弯矩图画出实际荷载的弯矩图 MM。2)2)画出单位荷载的弯矩图画出单位荷载的弯矩图 MM，并根据该弯矩图的折并根据该弯矩图的折线段分区。线段分区。3)3)分别算出各区中分别算出各区中 MM 的面积的面积 ，找出其形心位置，找出其形心位置，确定相应的确定相应的 MM 值，计算值，计算 M M 。C C C C4)4)将各区的将各区的 M M 值相加，再除以抗弯刚度值相加，再除以抗弯刚度，即可得即可得所求位移。所求位移。C C动脑又动脑又动脑又动脑又动手动手动手动手求图中求图中A A 点的点的挠度挠度。求求图中图中B B 点的转角。点的转角。P PEIEIA AL/L/2 2L/L/2 2B BP PEIEIA AL/L/2 2L/L/2 2B B2 2EIEIL LB Bq qqLqL/8 82 2PL/PL/4 4L/L/4 4PL/PL/4 4L/L/4 41 1EIqLEIqLEIqL324824444EIqLEIqLEIqL324824444EIPLEIPLEIPL484832333EIPLEIPLEIPL4848323332.2.弯矩图的拆分xMMMd21+)(xMMMd21+)(xMMxMMdd21+=xMMxMMdd21+=弯矩图的拆分l ll/l/4 4EIEIq qA A例例求如图外伸梁求如图外伸梁A A 点的挠度。点的挠度。1 1ql ql/32322 2l/l/4 4ql ql/8 82 2+=4323212188132122llqlllqlEIvA+=4323212188132122llqlllqlEIvA+=4323212188132122llqlllqlEIvA+=4323212188132122llqlllqlEIvA?+=4323212188132122llqlllqlEIvA+=4323212188132122llqlllqlEIvA EIql2048154=EIql2048154=+4434321312llql+4434321312llql()()注意注意在用图乘法计算时，实际荷载弯矩图与单位荷载弯矩在用图乘法计算时，实际荷载弯矩图与单位荷载弯矩图在横轴同侧时取正，在横轴异侧时取负。图在横轴同侧时取正，在横轴异侧时取负。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论xMMdxMMd注意注意当实际荷载弯矩图当实际荷载弯矩图M M 为直线时，也可以先计算单位荷载为直线时，也可以先计算单位荷载弯矩图弯矩图M M 的面积，再与对应的的面积，再与对应的MMC C 值相乘。值相乘。动脑又动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔求图中求图中A A 点的点的挠度挠度。A AEIEIL/L/2 2P PL/L/2 2P P=LLPLEIvA32211=LLPLEIvA32211EIPLLLPL1676522213=+EIPLLLPL1676522213=+EIPLLLPL1676522213=+EIPLLLPL1676522213=+PLPL()()PL/PL/2 2L L动脑又动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔求图中求图中A A 点的点的挠度挠度。=LLPLEIvA65222121=LLPLEIvA652221212 2EIEIL/L/2 2P PL/L/2 2EIEIA A+LLPL4322+LLPL4322PLPLPLPLPLPL+23222211LLPLEI+23222211LLPLEIL L L LEIPL1633=EIPL1633=()()注意注意若存在着不同的抗弯刚度，则必须分段计算。若存在着不同的抗弯刚度，则必须分段计算。A AP Pq qA Aq qA AA A1 12 2qaqa2 2qa qa/2 22 2PaPa2 2a a+=346524551PaqaEIvA+=346524551PaqaEIvA()=mm333.Av()=mm333.Av例例若若EI=EI=1.51.5 10 10 kNmkNm，求图示悬臂求图示悬臂梁梁A A 点的竖向位移。点的竖向位移。52A Aa=a=2m2mq=q=10kN10kN/mmP=P=20kN20kNa=a=2m2m2 2q=q=20kN20kN/mm4222432231qaaaqa=4222432231qaaaqa=4222432231qaaaqa=4222432231qaaaqa=247287213142qaaaqa=247287213142qaaaqa=247287213142qaaaqa=247287213142qaaaqa=36526521PaaaPa=36526521PaaaPa=36526521PaaaPa=36526521PaaaPa=3.在组合结构中的应用例例求图示刚架中求图示刚架中A A 点的横向位移。点的横向位移。=aaPaEIuA65221211=aaPaEIuA65221211+aaPaaPEI22121+aaPaaPEI22121a/a/2 2a/a/2 2a aP PA AEIEIEIEI2 2EIEIP P1 1P/P/2 2P/P/2 21 1+aaPaEI32211+aaPaEI32211PaPaPa/Pa/2a aa a2EIPa48393=EIPa48393=()()例例求图示刚架中求图示刚架中A A 点的转角。点的转角。a/a/2 2a/a/2 2a aP PA AEIEIEIEI2 2EIEIP/P/2 2P/P/2 2P P1 1/a a1 1/a a1 1=1221211aPaEIA=1221211aPaEIA+212121aPaEI+212121aPaEI+312121Paa+312121Paa1 1Pa/Pa/2 2PaPa2247PaEI=2247PaEI=()1()1动脑又动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔求求图示结构中图示结构中A A 点的横向位移和竖向位移。点的横向位移和竖向位移。1 1EIEI2 2EIEIP Pa aa aa aA A1 1PaPaa aa aEIPaaaPaEIvA2213=EIPaaaPaEIvA2213=EIPaaaPaEIvA2213=EIPaaaPaEIvA2213=EIPaPaaaEIuA42213=EIPaPaaaEIuA42213=()()()()动脑又动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔求图示结求图示结构中构中A A 点的横点的横向位移和竖向向位移和竖向位移。位移。qaqa2 23 3qa /qa /2 22 2EIEI2 2EIEIqaqaa aa aq qA A1 11 1a aa aEIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=EIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=()()EIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=EIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=EIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=EIqaaaqaEIaaqaaqaEIvA1211322112131214222=+=()EIqaaaqaaaqaEIuA1652143213121422=+=()EIqaaaqaaaqaEIuA1652143213121422=+=()EIqaaaqaaaqaEIuA1652143213121422=+=()EIqaaaqaaaqaEIuA1652143213121422=+=()()a/a/4 4qa qa/8 82 21 1/4 41 1/4 4q qa/a/2 2a/a/2 2a aA AB Bqaqa/8 8qaqa/8 81 1qaqa/2 2qaqa/2 2例例图示刚架中各部份的抗弯刚度均为图示刚架中各部份的抗弯刚度均为EIEI，求求B B 点的竖向位移。点的竖向位移。EIqa384114=EIqa384114=()()1 1/2 21 1/2 2=43282112aaqaEIvB=43282112aaqaEIvB24143281312+aaqa24143281312+aaqa24143281312+aaqa24143281312+aaqa1 11 1/2 21 1/2 21 11 1例例图示刚架中各部份的抗弯刚度均为图示刚架中各部份的抗弯刚度均为EIEI，求求A A 点的横向位移。点的横向位移。qa qa/8 82 2q qa/a/2 2a/a/2 2a aA AB Bqaqa/8 8qaqa/8 8qaqa/2 2qaqa/2 2a/a/2 20=Au0=Au例例图示刚架中各部份的抗弯刚度均为图示刚架中各部份的抗弯刚度均为EIEI，求求A A 点的竖向位移。点的竖向位移。q qa aa aa aA AB B1 1qa qa/2 22 2qaqa2 2a/a/2 2a/a/2 2EIqa834=EIqa834=+=2322122852132122aaqaaaqaEIvA+=2322122852132122aaqaaaqaEIvA+=2322122852132122aaqaaaqaEIvA+=2322122852132122aaqaaaqaEIvA()()例例图示刚架中各部份的抗弯刚度均为图示刚架中各部份的抗弯刚度均为EIEI，求求B B 点的竖向位移。点的竖向位移。1 1q qa aa aa aA AB Bqa qa/2 22 2qaqa2 2a aEIqaaaqaEIvB33221142=EIqaaaqaEIvB33221142=()()4.4.求相对位移求相对位移A AB BP PP Pa a2 2a a2 2a a2 2a aPaPaPaPa1 1a aa a例例图示刚架中各部份的抗弯图示刚架中各部份的抗弯刚度均为刚度均为EIEI，求求AB AB 两点的相两点的相对位移。对位移。=aPaaEIvAB32211=aPaaEIvAB32211()432+aaPaa()432+aaPaa()432+aaPaa()432+aaPaaEIPa3163=EIPa3163=例例图示刚架中各部份的抗弯刚度均为图示刚架中各部份的抗弯刚度均为EIEI，求求B B 点点的的相对转角相对转角。q qa aa aa aA AB B1 11 11 1qa qa/2 22 2qaqa2 21 11 1/2 21 11 1EIqa33=EIqa33=+=21321212122132122aqaaqaEI+=21321212122132122aqaaqaEI+=21321212122132122aqaaqaEI+=21321212122132122aqaaqaEI虚力原理虚力原理=ceciWW=ceciWW虚力是真实力的增量虚力是真实力的增量虚力是真实力的增量虚力是真实力的增量=cceW=cceW卡氏第二定理卡氏第二定理iiP=iiP=虚力取单位虚力取单位 1虚力取单位虚力取单位 1图形相乘法图形相乘法单位荷载法单位荷载法xEIMMLd0=xEIMMLd0=直梁直梁直梁直梁本本 章章 内内 容容 小小 结结应变能应变能外力的功外力的功杆件拉杆件拉压、扭转、弯曲时的应变能压、扭转、弯曲时的应变能xEIMGITEANpld212220+=xEIMGITEANpld212220+=应变余能应变余能外力的余功外力的余功虚力虚力原理原理=ceciWW位移协调=ceciWW位移协调用用卡氏定理求结构中指定点的广义位移卡氏定理求结构中指定点的广义位移iiP=iiP=用用单位荷载法求结构中指定点的广义位移单位荷载法求结构中指定点的广义位移=iiiiiEAlNN)(=iiiiiEAlNN)(xEIMMLd0=xEIMMLd0=桁架桁架用图乘法求结构中指定点的广义位移用图乘法求结构中指定点的广义位移