初中数学竞赛基础知识专题系列讲座 第三节 完全平方数.pdf

考 试在线 竞 赛之 路 ，2 0 1 1年 第8 甥(中旬)中学盎学教 学参考 编者按为配合一线师生课外竞赛辅导学习，我刊特 以初中数学竞赛大纲为依据，策划、组编了“初中数学竞赛 基础知识专题 系列讲座”，自 2 0 1 1 年 第 7 期起，每期刊登 两个专题，每 个专题 内容 包括“内容精讲”“典例 简析”“针 对训 练”三部分，敬请读者关注 有意参与撰稿的老师可以电询编辑部预约 I 1 初 中 数 学 竞 赛 基 础 知 识 凰 骄鏖 第三节 完 一方 数 向 中军(河 南省 方城 县博 望二 中)一 内容糨讲 0 一、一 0，0 彤0 对于整数，如果 存 在另 一 个 整数，满 足 一，那么我们就说 是一个完全平方数，简称平方 数 平方数是一类 比较特殊的整数，也是数学竞赛的 常考内容，平方数有以下几条最简单、最基本、最重要 的性 质：1 完全平方数的个位数字只能是 0、1、4、5、6、9 2 完 全平方 数 的质 因数 的指数 都是 偶数 3 奇数的平方被 8除余 1，故易知奇数 的偶次幂 被 8除余 1，从而奇数 的奇次幂与该奇数被 8除余数 相同(即对模 8同余)4 偶数的平方被 8除余数为 4或 0，当且仅 当该 偶数能被 4整除时余数为 0，否则(被 4除余 2)余数 为 4 5 奇数的平方数的十位数字一定是偶数，若一个 数的平方数的十位数字是奇数，那么这个数一定是偶 数，且它的个位数字一定是 6 利用平方数的性 质虽 然不 能肯定一个数是平方 数，但却可以很方便地否定一个数是平方数，并且可 以解一些特殊的不定方程 一识 典例简析 0 0一 例 1 求 证：5 5 5 5 5 5 5 5(3)不是 平方 数 ”个 5 切入点分析：要证该数不是平方数，只需证 明它 被 8除所得 的余数不是 I即可，如何证明?因 1 0 0 0 能被 8整除，故该数被 8除所得的余数与它后三位数 被 8除所得的余数相同，从而只需证明 5 5 5 被 8除所 得 的余 数 不是 1即可；也 可 以证 明它 的某 个 质 因数 的 指数为 l，在通常情况下我们很难找到一个较大的数 的质 因数，但 该 数 比较 特 殊，很 明 显 5就 是 它 的一 个 质 因数，所 以只需 证 明它被 5除所 得 的商 不含 质 因数 5即可；对 于 比较特 殊 的数，还 可 以 利 用性 质 5，立 即 判别它不是平方数 证 法1：5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 0 0 0 4-5 5 5 、，、，一 个 5 (n一3)个 5 8 1 2 5 5 5 5 55 5 5 5+8 69+3 8 (1 2 5 、，一 (n一3)个 5 X 5 5 5 5 5 5 5 5+6 9)4-3，故 由 性 质3 可 知，、，一(n一3)个 5 5 5 5 5 5 5 5 5 不 是平 方数 证 法 2-l5 5 5 5 5 -55 5，一5 ，由性 质 2 n个 5 个 1 可 知，若 曼 三：是平方数，那么 必 含 n 个 5 个 1 有质因数 5，即它能被 5整除，这与能被 5整除的数的 个位数字只能是 0或 5 矛盾，故5 5 5 5 5 5 5 5 不是平 n 个 5 方数 证法 3：若5 5 5 5 5 5 5 5 是平 方数，那 么它一定是 。、，一 n 个 5 一个奇数的平方，故 由性质 5可知，它的十位数字应 为偶数，这 与 已知 矛盾，从而 可知 它不 是平 方数 示例小结：一般地，一个 问题 的解决方法决不只 是一 种，所 以解 题时，思维 一定 要 灵 活，可 以从不 同的 角度，以不 同的观点，用 不 同的思 路 和方 法 来思 考，这 嚣 既是巩固知识，积累经验，也是提高解题能力的切实 可行的有效途径 例 2 (1 9 9 0年 全 国初 中数 学联 赛试 题)1。，2。，1 2 3 4 5 6 7 8 9。的和的个 位数 字是 切入点分析：如果能求出这个“和”，当然就可 以 求出它的个位数，但这是不可能的(假如你不知道相 关的计算公式)，也是不必要的，因为决定和的个位数 字的，是每个平方数 的个位数字，而平方数的个位数 只有 6种 可 能，所 以 1 ，2。，1 2 3 4 5 6 7 8 9 的个位 数 一定是周期性 出现的，利用这一规律，很容易就能求 出和 的个位 数字 解：个位 数字是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的数 的平 方数的个 位数 字分别是 1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，将 1。，2 ，1 2 3 4 5 6 7 8 9 每连 续 1 O个 数分 为一 组，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 组，还有一组只有 9个数，但每组所有数 的 和的 个位 数 都 是 5，故 1 ，2。，1 2 3 4 5 6 7 8 9。的和 的 个位数字为 5 1 2 3 4 5 6 7 9的个位数字，即 5 示例 小 结：这类 问题，要在 寻找 规律 上下 工夫，一 般 地，数 字越 多、越 大，结 果 往 往 越 简 单，因 为其 中蕴 涵周期性的规律，一旦找出规律，问题便能迎刃而解 例 3 求证：三边 长 都 是 正整数 的 直角 三 角形 必 有一直角边能被 4整除 切入点分析：直接证明有一直角边能被 4整除是 困难的，所 以我们可 以由简单到复杂来证明 一个数 如果能被 4整除，一定能被 2整除，故我们可以先证 明存在一条直角边，它的长为偶数，在此基础上，再利 用勾股定理，从分析平方数 的特征人手，得出最终要 证 明 的结 论 证 明：假 定 两 直 角 边 和 斜 边 的长 分 别 为 a、b、C，若 a、b 都 是 奇 数，则 a。、b 都 是 奇 数，且 a。兰 1 (roo d 8)，b。三1(mo d 8)，故 n。+b 必 为偶 数 且 口 +b -2(mo d 8)，又 a。+b 一C ，故 f必 为偶 数，从 而 C 兰 0(mo d 8)或 C。三4(mo d 8)，这 与 a +b。一2(mo d 8)矛盾，故 a、b必有一个为偶数，不妨令 b 为偶数 若 a为奇数，则 c 必为奇数，从而 a。兰1(mo d 8)，C。-1(mo d 8)，故 b。=O(mo d 8)，即 b能被 4整除；若 口 也是偶数，则 c 必为偶数，令 n 一2 a 1，b 一2 b 1，f 一2 c l，易知 a +一c ，由前 面 的证 明可 知，a 、b 必有 一 个 是偶 数，从 而 a、b必有 一个 能被 4整 除 示例小 结：把要解 决 的较 复杂 的 问题 转化 为 已解 决的问题或相对较简单 的问题化归，是一种非常 重要 的数学 思 想，严 格 说 来，解 题 的 过 程 就是 化 归 的 过程，当直 接证 明某 个 结 论 比较 困难 时，可 以先 证 明 一个相对较弱的结论作为过渡，然后再设法把要证的 结论 往 已经证 明 的较 弱 的结论 上转 化 例 4 求方程 3 一2 一1的正整数解 切入点分析：该方程不是我们 常见的代数方程，所以常规方法是难以奏效的，对于这些我们之前没有 喜 事 线 。j 一I 遇到过的问题，可以先 考虑 比较简单的情况，然后再 分类 讨论，各个击 破 解：显 然 z 一 1，一1是方程 的一 个解 一2时，不存在满足要求的 假定 Y 2，则 8 I 2 ，若 为 奇 数，则 3。三 3(mo d 8)；若 z 为偶 数，则 3。三 1(mo d 8)，因 3 一 2，一1，故 必为偶数，令 z一2 m(m 为正整数)，则必存 在非负整数 P、q(Pq)，满足 3 一1 一(3 +1)(3 一1)：2 一2 2 ，且 2 一3 +1，2 q 一3 一 1，即 2 p 一2 =2，故 2 一 2 一 1，从 而必 有 g 一 1：0，即 q 一1，否则左 端为偶 数，右端 为奇 数，矛盾，故 P 一2，故 一3，从 而 一2，故方 程 3 一2 一 1只有 两个 正整 数 解 I x =2,示例小 结：分类 同设 未知 数列 方程 解应 用题 的道 理一样，相当于加强 了已知条件，可 以把一个 比较复 杂的问题分解为几个相对较为简单 的问题，使思路更 加 清 晰、流 畅，更有 针对性 例 5(1 9 9 1年英国数学竞赛试题)求证：当 为 非负整数时，3 +2 1 7 不是完全平方数 切入点分 析：显然 对于任 意的 自然数，l，3”+2 1 7”都是奇数，由平方数的性质可知，要确定它不是 完全平方数，有四种方法：证明 3 +2 1 7,的正约 数 的个数是偶数；证明 3 +2 1 7”的十位数是奇 数；证 明3 +2 1 7 的个 位 数 不 是 0、1、4、5、_6、9；证明 3 +2l 7 被 8除的余数不是 1 但 由于 n是 任意的，所以我们无法确定 3 +2 1 7”的正约数的 个 数，也 不 太可 能确 定 3 +2 1 7 的十位 数字，所 以 这两种方法就不宜再考虑了，那 么我们能确定 3 +2 1 7 的个位数字吗?这是可以办到的，因为任意 自 然数的 n次幂的个位数都是周期性的，所 以我们有可 能通 过 个 位 数 的确 定 来 证 明 3 +21 7 不 是 平 方 数 能不能通过证明 3 +2 1 7 被 8除的余数不是 1 来确 定它不 是平 方数 呢?也 是有可 能 的，因为 3 被 8 除的余数只有 1和 3，而 1 7 被 8除的余数是 1，所以 我们应把注意力集中在后两种方法上 证法 1：3”的个位数以 3、9、7、1为周期，1 7 的个 位数 以 7、9、3、1为周 期，故 2 1 7 的个 位数 以 4、8、6、2为周期，从而 3”+2 x1 7 的个位数 以 7、7、3、3为 周期，故 由性质 1 可知 3 +2 1 7 不是平方数 证 法 2：易 证 当 n为偶 数 时，3 三 1(mo d 8)；若，l 为奇数，则 3 3(mo d 8)又 1 7-1(mo d 8)，故对任意 的正整 数 n，1 7 三 1(mo d 8)，从 而 2 1 7 -2(mo d 8)，故 3“+2 1 7”三3(mo d 8)(7 2 为偶数)或 3 +2 1 7 -5(mo d 8)(7 2 为奇数)另一方 面，3 +2 1 7”为奇 数，故必有 3 +2 1 7 三1(mo d 8)，产生矛盾，故命题 成 立 示例小结：一般说来，证明一个结论有多种思路，考试在 线 竞 赛之 路一，、但 不是 每种思 路都 有实 现 的可能，解 题 的过 程 就是 不 断试错，不 断排除(不可 能 的方法)，不 断 筛 选，最后 找 到最适合的方法的过程 例 6 (1 9 9 4年 斯 洛 文 尼 亚数 学 奥林 匹克试 题)已知 是正整数，如果 2，2 十1 和 3 +1 都是完全平方 数，求证：是 4 0的倍 数 切入点分析：要证明 是 4 0的倍数，只需证明它 既是 5的倍 数，也 是 8的倍 数 即可，要 证 明 它 是 5的 倍 数，只需证 明它 的 个位 数 字 是 0或 5就 可 以 了，所 以我们就 从分 析 n的 个 位数 字 人 手，然后，再 设 法 证 明它能被 8整 除 证明：2 +1和 3 +1都是完全平方数，故 它们 的个 位数 只能 是 0，l，4，5，6，9 故 7 2 的个 位数 只 能是 0或 5，从 而 是 5的倍 数 又 2 +1是 奇数，故 必存 在整 数 k，使 2 +1 8 k+1，故 一4 k，从 而 3 +1也是奇数，故必存在整数，使 3 n+1 8 p+1，即 3 n 一8 p (3，8)=：l，故 必是 8的倍数，(5，8)一1，故 必是 4 O的倍数 示例小结：判断数 的整除性时，常常需要分析个 位数 的特 征，抓 住个 位 数 的特 征，是解 决 本 题 的关 键 步骤 例 7 设、是 正整数，试 判 断 3 +3 +1是 不 是 平方数 切入 点分 析：结 论 不 明 确，使 我们 难 以确 定 思 考 方 向，因为证 明或否 定它 是平 方数 的 方法 是 完全 不 同 的，所 以我们 必须 先大体 上对 它是 不 是一 个 平方 数 作 出判断，然后根 据 不 同的 情 况设 法 证 明我 们 的判 断 如何判断呢?先取一些比较简单、特殊的数来试一试(如 令 m一1，”一1；一 1，n 一2)，试 验几 次 就会 发现，3 +3”+1不是平 方 数 的 可能 性 较 大，这 提 示 我们 按 照判 断一个 数不 是平方 数 的方法 来 解决，由于 对 于任 意的 自然数 m，3 被 8除余数只有 1和 3，所 以我们 可以考 虑从余 数人 手 解：若、都 是 奇 数，则 3 三 3(mo d 8)，3“；3(mo d 8)，故(3 +3”+1)三7(mo d 8)，故 3 +3 +1 不 是平 方数 若 m、都 是 偶 数，则3 三 1(mo d 8)，3 ；1(mo d 8)，故(3 +3 +1)3(roo d 8)，从而 3 +3 +1 不是 平方 数 若 J,n、7 一 奇一 偶，不妨 令 为 奇数，1 为 偶 数，则 3 三 3(mo d 8)，3 三 1(mo d 8)，从 而(3 +3 +1)兰5(mo d 8)，故 3 +3 +1不是 平方数 综 上所 述，对 任意 的正 整数 m、，3 +3 +1都不 是 平方 数 示 例小 结：本 题 的关 键是 确定 3 +3”+1 是 不 是 平方数，这就需要先对要求解的问题做出一个符合常 理的猜想(合情猜想)，就本题 而言，为什 么认 为 3 +3”+1不是平方数就是合情猜想 呢?这是因为：。喜 萎 5 1 中 学 毅 学 嫩 学 参 考 通过简单的试验，3 +3 +1都不是平方数；根据平 方 数 的基本 性质，要 肯定一 个数 是 平方 数 是非 常 困难 的(“如果一个正整数的正约数的个数为奇数，那么这 个 数是 平方 数”据 此来 判 断平方 数 几乎 是 不可 能 的)，但要否定它是平方数相对较为简单，所以我们有理 由 认 为该数 不 是平方 数 例 8 证 明方程+2 一8 x 没有 非零 整 数 解 切 入点 分析：一 般地，我 们 可 以根 据 系数 特征，判 断 一个一 元二 次方 程有 无整 数解，但 要 判 断一 个 高次 不定 方程 有无 整数 解是很 困难 的，所 以我们 必 须从 分 析方 程 的形式 特征 人手 由于三个 未 知 数 的指数 都 是 偶数，故若方程有非零整数解，则必存在正整数解，这 是 因为，若 某个 未 知 数 为 负 整 数，那 么 把 它 换 成 它 的 相反数 后，方程 仍 成 立，故 我 们 只 需 证 明 方 程 的 任 一 未知数都不可能是正整数即可 解：显然、Y 、z 中的奇数的个数必为偶数，即 z、Y、2中没有 奇数或恰有 两个 奇数 若恰 有两个 奇 数，无 妨令、Y为 奇 数，为偶 数，则 z 兰 1(mo d 8)，三 1(roo d 8)，兰 0(mo d 8)，从 而(+y +)-g(mo d 8)，这 与 已知 等式 矛盾，故、Y、z必 都是 偶数 无妨 令 取某 些正 整数 时，方 程有 整 数解，那 么，在 所有 z能 取 到 的 正 整 数 里 面 必 有 一 个 最 小 的，设(z o，Y。，0)是 方程 的一个 解，则。一 2 x l，Y。一2 y l，。一2 z (为正 整数，Y ，为 整数)，故 易知(，z )也是 方程 的解，-z Y，若 Y 0，则 2 m：3(3 一+3 y )，故 3能整 除 2 m，又(2，3)一1，故 3整除 m，从 而 3整 除 m，即 3整除 2 +3 ，故 3必能 整 除 2 ，从而 3必 能整 除 2，矛盾，故 只能为 0，从而 m一2 +1，3 一3 一2 +1 显然 一1时，2 一+3 一不 是平 方 数，故若 2 一+3 一是 平方 数，则必有 1，从 而 3 3 一3 3 32 一(2+1)2 一2 +2 2 +1，与矛盾，故 2 +3 不是平方数 内容精讲-。o 0 ，黧搴 黧 线 5 假 定方程 X +z：+z 一1 5 9 9有整数解，因奇数 的 任意次幂都是奇数，偶数 的任 意次幂都 是偶数，故 z ，i，z 不全是偶数，且奇数的个数必 为奇数，从而。，z：，z 。中 至多有 1 3个奇数 对任 意的奇数 z。，由于 z 被 8除余 i，故必 有 z 被 1 6除余 1；对任意 的偶 数，都有 一1 6 k(五为非负 1 4 整数)一方面，z 被 1 6除所 得 的余 数 为不大 于 1 3的奇 l=1 数；另一方面，1 5 9 9 被 1 6除所得 的余 数为 1 5，矛盾，故 方程没 有整 数解 参考文献 1 南秀全，余石 奇数、偶数、完全平方数 M 上海：上海教育 出 版 社，1 9 9 8 2 黄宣国 数学 奥林 匹克 大集 M 上海：上 海教育 出版 社，1 99 7 3 常庚哲 初 中数学妙题巧解 M 上 海：上海科学技术 出版 社，1 9 8 7 4 杜锡 录，严镇军，余红兵 初 中数 学竞赛教 程 M 南京。江 苏 教育 出版社，1 9 9 0 5 冯 克勤，余红兵 初 等数论 E MJ 北 京：中国科学 技术大 学 出版社，1 9 8 9 6 冯 克勤 从整数谈起 M 长沙：湖南教育 出版社，1 9 9 8 7 冯 克勤，余红兵 整数 与多 项式 E M 北 京：高等 教育 出版 社，1 9 9 9 8 阿尔伯 特 H 贝勒著，谈祥柏 译 M 上 海：上海 教育 出版 社，1 9 9 8 9 黄国勋，李炯生 计数I-M 上海：上海教育出版社，1 9 8 3 第四节 辫 豢 辫 童浩军(浙江省慈溪市育才中学初中部)1 基 本 概念 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫 做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解 1 ，1、2 一 一 一 因式 如口 一2+一(口 一二)，口 一b 一(n+4 b)(n 口、一 )(n、b 都是正数)等变形，由于不在整式范围内，因此 不 叫因式分 解，可 以称 之 为“类似 于 因式 分解”(2)因式分 解 系数通 常限定 在 有理 数 范 围特 别 是 整数 范 围 内，当然 也 可 以 限定 在 实 数 范 围、甚 至 更 广 的数的范围内 不同的系数范围，有时情况不一样 例 如 a +6 ，在整系数范围 内不能进行 因式分解，但在 实系数 范 围内，口 +b 一(口 +b。)一(2 a b)一(口 +6+6 z)(日 一 6+6 )本文若无特别说明，约 定系数都在有理数范围内 (3)因式 分解 必 须 彻底，即 进 行 到 每一 个 多 项式 因式都 不能 再分解 为止 例如 1 一 一(1 一z)(1+X +z。+一 +z 一)，整数 n(n 2)取素数时才叫 因式 分 解，否 则 是“不 彻 底 的 分 解”如1一 一 一(1 一 z)(1+X。)一(1 一 z)(1+z)(1 +z )(4)有 些重要 的变形，如 a。+6 z+c 一n 6 一 一n c 1 1 1=：寺(a-b)+寺(6 一c)+(c-a)，虽然不是因式 厶 厶 厶 分解，只是对局部进行分解，但是其 中包含着 因式分 解 的成分 2 常 用方法 教材中介绍的因式分解方法有提取公 因式法和 公式法(限于平方差、完全平方)本文将在此基础上 介绍其他的公式 法、分组分解法、十字相乘法、拆项、添项、配方、待定 系数法