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二年级奥数讲义上：速算与巧算 二年级奥数讲义上：速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124 这样想：因为 44+56=100 是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为 53+47=100 是个整百的数，所以先把+47 带着符号搬家，搬到+36 前面；然后再把 53+47 的和算出来.2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把 15 分拆成 15=4+11，这是因为 96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为 69+31=100，所以把 52 分拆成 21 与 31 之和，再把 31+69=100 凑整先算.3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100 这样想：将 63 分拆成 63=60+2+1 就是因为 2+18 和 1+19 可以凑整先算.（2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为 28+2=30 可凑整，但最后要把多加的三个 2 减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19 带着符号搬家，搬到-18 的前面.然后先算 19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44 这样想：加 18 减 19 的结果就等于减 1.三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20 等等都是等差连续数.1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =59 中间数是 5 =45 共 9 个数 （2）计算：1+3+5+7+9 =55 中间数是 5 =25 共有 5 个数 （3）计算：2+4+6+8+10 =65 中间数是 6 =30 共有 5 个数 （4）计算：3+6+9+12+15 =95 中间数是 9 =45 共有 5 个数 （5）计算：4+8+12+16+20 =125 中间数是 12 =60 共有 5 个数 2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）5=115=55 共 10 个数，个数的一半是 5，首数是 1，末数是 10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）4=204=80 共 8 个数，个数的一半是 4，首数是 3，末数是 17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）5=110 共 10 个数，个数的一半是 5，首数是 2，末数是 20.四、基准数法 （1）计算：23+20+19+22+18+21 解：仔细观察，各个加数的大小都接近 20，所以可以把每个加数先按 20 相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21 =206+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6 个加数都按 20 相加，其和=206=120.23 按 20 计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19 按 20 计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98 解：方法 1：仔细观察，可知各个加数都接近 100，所以选 100 为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98 =1005+2+0-1+1-2=500 方法 2：仔细观察，可将 5 个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =1005=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是 100，个数是 5.二年级奥数讲义上：速算与巧算习题一 习题一 1.计算：（1）18+28+72 （2）87+15+13 （3）43+56+17+24 （4）28+44+39+62+56+21 2.计算：（1）98+67 （2）43+28 （3）75+26 3.计算：（1）82-49+18 （2）82-50+49 （3）41-64+29 4.计算：（1）99+98+97+96+95 （2）9+99+999 5.计算：（1）5+6+7+8+9 （2）5+10+15+20+25+30+35 （3）9+18+27+36+45+54 （4）12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算：（1）53+49+51+48+52+50 （2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84 7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 二年级奥数讲义上：数数与计数 二年级奥数讲义上：数数与计数习题与答案 二年级奥数讲义上：数数与计数（二）第一层 1 个 第二层 2 个 第三层 3 个 第四层 4 个 第五层 5 个 第六层 6 个 第七层 7 个 第八层 8 个 第九层 9 个 第十层 10 个 第十一层 9 个 第十二层 8 个 第十三层 7 个 第十四层 6 个 第十五层 5 个 第十六层 4 个 第十七层 3 个 第十八层 2 个 第十九层 1 个 总数 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）.第一层 1 个 第二层 3 个 第三层 5 个 第四层 7 个 第五层 9 个 第六层 11 个 第七层 13 个 第八层 15 个 第九层 17 个 第十层 19 个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：1=11 1+2+1=22 1+2+3+2+1=33 1+2+3+4+3+2+1=44 1+2+3+4+5+4+3+2+1=55 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=66 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=77 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=88 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=99 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010 这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.由方法 2 和方法 3 也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010.即从 1 开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：1+3=22 1+3+5=33 1+3+5+7=44 1+3+5+7+9=55 1+3+5+7+9+11=66 1+3+5+7+9+11+13=77 1+3+5+7+9+11+13+15=88 1+3+5+7+9+11+13+15+17=99 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010 还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以 A 点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5 条.以 B 点为共同左端点的线段有：BC BD BE BF 4 条.以 C 点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3 条.以 D 点为共同左端点的线段有：DE DF 2 条.以 E 点为共同左端点的线段有：EF1 条.总数 5+4+3+2+1=15 条.二年级奥数讲义上：数数与计数（二）习题 二年级奥数讲义上：数数与计数（二）习题解答 二年级奥数讲义上：认识简单数列 二年级奥数讲义上：认识简单数列习题 二年级奥数讲义上：认识简单数列习题解答 二年级奥数讲义上：自然数列趣题 第五讲 自然数列趣题 本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法与分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例 1 小明从 1 写到 100，他共写了多少个数字“1”？解：分类计算：“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91 共 10 个；“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 共 10 个；“1”出现在百位上的数有：100 共 1 个；共计 10+10+1=21 个.例 2 一本小人书共 100 页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？解：分类计算：从第 1 页到第 9 页，共 9 页，每页用 1 个铅字，共用 19=9（个）；从第 10 页到第 99 页，共 90 页，每页用 2 个铅字，共用 290=180（个）；第 100 页，只 1 页共用 3 个铅字，所以排 100 页书的页码共用铅字的总数是：9+180+3=192（个）.解：（见图 51）先按题要求，把 1 到 100 的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：如图 51 所示，宽竖条带中都是个位数字，共有 10 条，数字之和是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）10 =4510 =450.窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有 9 条，数字之和是：110+210+310+410+510+610+710 +810+910 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9）10 =4510 450.另外 100 这个数的数字和是 1+0+0=1.所以，这一百个自然数的数字总和是：450+450+1=901.顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？二年级奥数讲义上：自然数列趣题习题 1.有一本书共 200 页，页码依次为 1、2、3、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？2.在 1 至 100 的奇数中，数字“3”共出现了多少次？3.在 10 至 100 的自然数中，个位数字是 2 或是 7 的数共有多少个？4.一本书共 200 页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从 1 至 100 的所有自然数中有多少个这样的两位数？6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从 100 至 200 之间有多少个这样的三位数？7.像 11、12、13 这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前 20 个数的数字之和是多少？8.把 1 到 100 的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？9.从 1 到 1000 的一千个自然数的所有数字的和是多少？二年级奥数讲义上：自然数列趣题习题解答 1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共 20 个；“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共 20 个；“1”出现在百位上的数有：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199 共 100 个；数字“1”在 1 至 200 中出现的总次数是：20+20+100=140（次）.2.解：采用枚举法，并分类计算：“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93 共 10 个；“3”在十位上：31，33，35，37，39 共 5 个；数字“3”在 1 至 100 的奇数中出现的总次数：10+5=15（次）.3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97 共 18 个.4.解：分段统计，再总计.页数 铅字个数 19 共 9 页 19=9（个）（每个页码用 1 个铅字）1090 共 90 页 290=180（个）（每个页码用 2 个铅字）100199 共 100 页 3100=300（个）（每个页码用 3 个铅字）第 200 页共 1 页 31=3（个）（这页用 3 个铅字）总数：9+180+300+3=492（个）.5.解：列表枚举，分类统计：10 1 个 20 21 2 个 30 31 32 3 个 40 41 42 43 4 个 50 51 52 53 54 5 个 60 61 62 63 64 65 6 个 70 71 72 73 74 75 76 7 个 80 81 82 83 84 85 86 87 8 个 90 91 92 93 94 95 96 97 98 9 个 总数 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.6.解：枚举法，再总计：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共 10 个.二年级奥数讲义上：找规律（一）二年级奥数讲义上：找规律（一）习题 二年级奥数讲义上：找规律（一）习题解答 二年级奥数讲义上：找规律（二）二年级奥数讲义上：找规律（二）习题 二年级奥数讲义上：找规律（二）习题 二年级奥数讲义上：找规律（三）习题 二年级奥数讲义上：找规律（三）习题解答 二年级奥数讲义上：填图与拆数 二年级奥数讲义上：填图与拆数习题 二年级奥数讲义上：填图与拆数习题解答 二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（一）二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（一）习题 二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（一）习题解答 二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（二）二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（二）习题 二年级奥数讲义上：考虑所有可能的情况（二）习题解答 二年级奥数讲义上：仔细审题 二年级奥数讲义上：仔细审题习题 二年级奥数讲义上：仔细审题习题解答 二年级奥数讲义上：猜猜凑凑 二年级奥数讲义上：猜猜凑凑习题 二年级奥数讲义上：猜猜凑凑习题解答 二年级奥数讲义上：列表尝试法 二年级奥数讲义上：列表尝试法习题 二年级奥数讲义上：列表尝试法习题解答 二年级奥数讲义上：画图凑数法 二年级奥数讲义上：画图凑数法习题 二年级奥数讲义上：画图凑数法习题解答