高考数学一文搞定函数概念性质及基本初等函数(精编Word)---..pdf

专题一 集合的概念与运算 1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)集合的分类:按元素个数分：有限集、无限集、空集；按元素特征分：数集、点集 (5)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或 N)Z Q R 2集合间的关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 aA 则 aB)AB(或 BA)真子集 如果 AB，并且 AB AB(或 BA)集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即 A 中的元素都是 B 的元素，B中的元素也都是 A 的元素)AB 3集合的运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合 ABx|xA，且 xB 并集 由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素构成的集合 ABx|xA，或 xB 补集 设 AS，由S中不属于 A 的所有元素组成的集合称为S的子集 A 的补集 SAx|xS，且 xA 说明:以下几个个结论，在解决集合的有关问题时，有较为广泛的应用，要邓以及足够的重视(1)若有限集 A 中有n个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n1(2)ABABAABB(3)AUA；AUAU；U(UA)A 必考点1 集合的基本概念【例】(1)已知集合 Ax|xZ，且32xZ，则集合 A 中的元素个数为_ (2)设 a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba_ _【解析】(1)32xZ，2x 的取值有3，1，1，3，又xZ，x 值分别为 5，3，1，1，故集合 A 中的元素个数为 4(2)1，ab，a0，ba，b，a0，ab0，得ba1，a1，b1 ba2 巩固 1.已知集合，若，则实数 m 的值为_【解析】，或；当时，根据集合中元素的互异性，不合题意；当时，或，时，符合题意 综上 巩固 2.集合，则集合 A 中所有元素之和为_【解析】集合0，集合 A 中所有元素之和为，巩固 3.集合其中均为整数，则集合 【解析】其中均为整数，则，当，可得，当，可得，当，可得，当，可得，可得1，3，巩固 4.已知非空集合 M 满足：若，则则当时，集合 M 的所有元素之积为_【解析】若，则；，则；，则；，则；故集合 M 的所有元素之积为 巩固 5.设集合2，则 M 中元素的个数为_【解析】集合2，6，7，则 M 中元素的个数为 4 个，必考点2 集合与集合之间的关系【例】(1)已知集合 AxR|x2x60，BxR|ax10，若 BA，则实数 a 的值为_ （2）已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_ (3)已知集合 22,234Px yxy，221,1,4Qx yxym PQQ且，求实数 m 的取值范围【解析】(1)由题意知 A2，3 当 a0 时，B，满足 BA；当 a0 时，ax10 的解为 x1a，由 BA，可得1a3 或1a2，a13或 a12 综上，a 的值为13或12或 0（2）当 B时，有 m12m1，则 m2；当 B时，若 BA，如图，则 m12，2m17，m12m1，解得 2m4 综上，m 的取值范围为(，4 (3)集合、都表示点集，且分别对应着圆面，故可利用平面几何知识与数形结合思想求解 点集P表示平面上以（-2，3）为圆心，2 为半径的圆面，记为1C，点集 Q 表示以（1，m）为圆心，12为半径的圆面（不含圆周），记为2C，由PQQ得QP，此表明2C在1C的内部，故有22112322m，即2424310mm，得553322m，所以，所求实数 m 的范围是553322m 巩固 1.已知集合3，集合，若，则实数_【解析】因为，所以，解得，经检验，符合题意 巩固 2.已知集合，1，且，则实数 a 的值是_【解析】当不满足题意，当符合题意，不符合题意，故答案为 1 巩固 3.已知集合，若，则实数 a 的值为 【解析】集合，且 舍 或，或 当时不满足集合中元素互异性舍 巩固 4.已知集合1，2，3，集合且，则集合 B 的子集的个数为_【解析】根据题意，若，则，不满足题意；若，则，不满足题意；若，则，满足题意；若，则，满足题意；若，则，满足题意 综上，3，因为集合 B 中含有 3 个元素，所以集合 B 的子集的个数为 巩固 5.已知集合 若，求集合 A；若集合，求实数 a 的取值范围【解析】由可知，解得，所以 若，当时，满足题意；当时，解得 故当时，若集合 A 中仅有一个元素，则且，解得，此时集合，不满足题意 若集合 A 中有两个元素，则，无解 综上可知，实数 a 的取值范围为 必考点3 集合的基本运算【例】(1)已知集合0，1，则_（2）已知 A，B 均为集合U1，3，5，7，9的子集，且 AB3，(UB)A9，则 A_ 1，3 3，7，9 3，5，9 3，9(3)已知集合 AxR|x2|3，集合 BxR|(xm)(x2)0，且 AB(1，n)，则 m_，n_【解析】(1)0，1，0，1，(2)方法 1：因为 AB3，所以 3A，又因为(UB)A9，所以 9A，故选 方法 2：如图所示，得 A3，9，故选 （3）AxR|x2|3xR|5x1，由 AB(1，n)可知 m1，则 Bx|mxy2，则 xy”的逆否命题是_【解析】根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是“若 xy，则 x2y2”巩固 3.给出以下四个命题：“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则 x2xq0 有实数根”的逆否命题；若 ab 是偶数，则整数 a，b 都是偶数 其中真命题是 (填序号)【解析】显然正确；不全等的三角形的面积不相等，故不正确；原命题正确，所以它的逆否命题也正确；若 ab 是偶数，则整数 a，b 都是偶数或都是奇数，故不正确真命题是 巩固 4.有三个命题：“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 ab，则 a2b2”的逆否命题；“若 x3，则 x2x60”的否命题 其中真命题的序号为_【解析】命题为“若 x，y 互为相反数，则 xy0”是真命题；因为命题“若 ab，则 a2b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若 x3，则 x2x60”，因为 x2x603x2，故命题是假命题 综上知只有命题是真命题 必考点6 充要条件、必要条件的判定【例】给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cos b”是“3a3b”的充要条件，故错；由余弦函数的性质可知“”是“cos cos”的既不充分又不必要条件，故错；当 a0 时，f(x)x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(1)f(1)得 a0，所以真，正确命题的序号是 巩固 1.“”是“”的_条件【解析】时，若，则“不能得到“”；时，且，则“”能得到“”，则“”是“”的必要不充分条件故答案为必要不充分 巩固 2.“x1”是“12log(x2)0”的_条件【解析】一方面，由 x1x2312log(x2)0，另一方面，由 12log(x2)0 x21x1，故“x1”是“12log(x2)0”的充分不必要条件 巩固 3.已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的_条件【解析】若直线 a 和直线 b 相交，则平面和平面相交；反过来，若平面和平面相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交 故应填充分不必要 必考点7 充分必要条件的应用【例】已知集合 Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|5x8的充要条件；(2)求实数 a 的一个值，使它成为 MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|5x8的一个必要不充分条件【解析】(1)由 MPx|5x8，得3a5因此 MPx|5x8的充要条件是3a5(2)即在集合a|3a5中取一个值，如取 a0，此时必有 MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有 a0故 a0 是所求的一个充分不必要条件(3)即求一个集合Q，使a|3a5是集合Q的一个真子集如果a|a5，那么未必有 MPx|5x8，但是 MPx|5x8时，必有 a5 故 a5 是所求的一个必要不充分条件 巩固 1.已知p：1x10，如果p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 【解析】不等式1x11 等价于1x110，解得 x2 或 x0 可以化为(x1)(xa)0，当a1 时，解得 x1 或 x1 时，不等式(x1)(xa)0 的解集是(，1)(a，)，此时a2，即2a1综上可知 a 的取值范围为(2，1 巩固 2.已知集合 AxR|122x8，BxR|1xm1，若 xB 成立的一个充分不必要条件是 xA，则实数 m 的取值范围是_【解析】AxR|122x8x|1x3，即 m2 巩固 3.（拔高题）若 xm1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_ 【解析】由已知易得x|x22x30 x|xm1，又x|x22x30 x|x3，1m1，m13，或 1m1，m13，0m2 巩固 4.已知命题 p：“方程有两个不相等的实根”，命题 p 是真命题。求实数 m 的取值集合 M；设不等式的解集为 N，若是的充分条件，求 a 的取值范围【解析】命题 p：方程有两个不相等的实根，解得或，或 是的充分条件，解得，综上，或，的取值范围为 巩固 5.已知集合，；设 p：，q：，若 P 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【解析】因为，所以，所以，所以 因为，所以，又因为，所以 所以 因为 p 是 q 的充分不必要条件 所以，中等号不同时成立，可得：巩固 6.（拔高题）已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件【解析】mx24x40 是一元二次方程，m0 又另一方程为 x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，122216(1)0164(445)0mmmm ，解得 m54，1 两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，4mZ，4mZ，4m24m5Z.m 为 4 的约数又m54，1，m1 或 1 当 m1 时，第一个方程 x24x40 的根为非整数；而当 m1 时，两方程的根均为整数，两方程的根均为整数的充要条件是 m1 专题三 常用逻辑用语 1简单的逻辑联结词(1)“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词(2)“p或q”可记作“pq”、“p且q”可记作“pq”、“非p”可记作“p”(3)复合命题“p且q”、“p或q”、“非p”的真假判断：p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2全称量词与存在量词(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示 含有全称量词的命题，称为全称命题如“对任意实数 xM，都有p(x)成立”简记成“xp(x)”(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示 含有存在性量词的命题称为存在性命题如“存在实数 xM，使p(x)成立”简记成“xM，p(x)”3含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM，p(x),()xMp x xM，p(x),()xMp x 必考点8 复合命题及其真假的判断【例】已知命题 p：，使；命题 q：，都有，给出下列结论：命题“”是真命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是假命题 其中正确的是_【解析】命题p：，因此不存在，使，故是假命题；命题q：，因此，都有，是真命题 给出下列结论：命题“”是真命题，不正确；命题“”是假命题，不正确；命题“”是真命题，正确；命题“”是假命题，正确 故答案为 巩固 1.已知命题 p：对任意的，总有；命题 q：“”是“”的充分不必要条件，则下列判断中正确的是_ 填序号 “”为真命题，“为真命题，“”为假命题；“”为真命题，“”为假命题，“”为真命题；“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题；“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题【解析】因为，所以命题 p 为真命题；因为是的必要不充分条件，所以命题 q 为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题 故答案为 巩固 2.已知命题 p：，q：，则在命题“”；“”；中，真命题的个数为 【解析】由指数函数知，命题，是真命题 因为，所以 q：，是假命题，则 为真命题；为假命题；是假命题；是真命题 故答案为 2 巩固 3.已知命题p：存在 xR，使 tanx1；命题q：x23x20 的解集是x|1x2，给出下列复合命题：pq p(q)(p)q (p)(q)其中真命题是_(填序号)【解析】命题p：存在 xR，使 tanx1 是真命题，命题q：x23x20 的解集是x|1x 1，x2 x 2 0190”的 否 定 是_【解析】含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，故得命题“x1，x2x2 0190”的否定是“x1，x2x2 0190”巩固 1.命题：“，”的否定为_【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“，”的否定是：，；巩固 2.（易错题）已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是_ x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 【解析】题目中命题的意思是“对任意的 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 都成立”，要否定它，只要找到至少一组 x1，x2，使得(f(x2)f(x1)(x2x1)0 即可，故命题“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0”的否定是“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，a1)与 y3x3；y1x1与 yx1x21【解析】与中的两个函数，其定义域不同，中的两个函数，其值域不同，它们都要不是同一函数；而中的两个函数，定义域和值均为 R，其函数都可以等价转化为yx，它们是同一函数，故填 巩固 3.（易错题）下列所给图形中是函数图象的个数为_ 【解析】中的图形，直线(0)xa a与其有两个交点，不符合函数的定义，从而不是函数的图象，中的图形，当0 xx时，对应的y值有两个，不符合函数的定义，也不是函数的图象，中的图形都是函数的图象，故是函数图象的个数为 2 必考点12 函数的解析式【例】根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x3；(2)已知 f(x1)x2 x；(3)若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)f(x)3x1；(4)已知 f(0)1，对任意的实数 x，y 都有 f(xy)f(x)y(2xy1)【解析】(1)(待定系数法)设 f(x)axb，则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3 a24，abb3，解得a2b3或a2b1故 f(x)2x3 或 f(x)2x1(2)解法 1(换元法)：设 t x1，则 x(t1)2(t1)代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21f(x)x21(x1)解法 2(配凑法)：x2 x(x)22 x11(x1)21，f(x1)(x1)21(x11)，即 f(x)x21(x1)(3)用x 换 x 得 2f(x)f(x)3x1，与原式联立消去 f(x)得 f(x)x1(4)令 x0，得 f(y)f(0)y(y1)1y2y，f(y)y2y1，即 f(x)x2x1 巩固 1.已知，则 _ 【解析】令，则，所以，所以，巩固 2.函数满足，则_【解析】由题意知 解得 巩固 3.（易错题）已知函数()yf x满足1()f xx=x3+31x+1，求 f（x）【解 析】令1txx，则 当0 x 时，12txx，当 且 仅 当1x 时 取 等 号；当0 x 时，11()2txxxx ，当且仅当1x 时取等号，所以(,22,)t ，又2211111fxxxxxx 21131xxxx ，2()(3)1f tt t331tt，即3()31f xxx 3()31f xxx，(,22,)x 必考点13 分段函数【例】(1)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1，若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_；(2)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是_；(3)已知函数 f(x)x21，x0，1，xf(2x)的 x 的取值范围是_【解析】(1)当 a0 时，1a1，由 f(1a)f(1a)，可得 2(1a)a(1a)2a，解得 a32，不合题意 当 a1，1a1，由 f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得 a34，符合 a 的值为34(2)由 f(f(a)2f(a)，得 f(a)1 当 a1 时，有 3a11，a23，23a1；当 a1 时，有 2a1，a0，a1 综上，a 的取值范围是 a23(3)当 x1，无解 当1x1，x1，1x(2x)21，0 x1 时，有 1(2x)21，无解 综上：x 的取值范围是1x 21 巩固 1.函数，则_【解析】函数，则 巩固 2.已知函数，若，则实数 m的值等于_【解析】函数，当时，解得，不成立；当时，解得或舍 综上，实数 m 的值为 巩固 3.已知函数，则的值是_【解析】函数，巩固 4.已知函数 f(x)2x，x2，若 f(2m)f(2m)，则 m 的值为_【解析】当 m0 时，2m2，所以 3(2m)m(2m)2m，所以 m8；当 m2，2m0 2 函数的值域(1)在函数 yf(x)中，与自变量 x 的值对应的 y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域(2)基本初等函数的值域：ykxb(k0)的值域是 R yax2bxc(a0)的值域：当 a0 时，值域为24,)4acba；当 a0 且 a1)的值域是(0，)ylogax(a0 且 a1)的值域是 R ysinx，ycosx 的值域是1，1 ytanx 的值域是 R 3 最大(小)值 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 xI，都有 f(x)M(f(x)M)；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M 那么称 M 是函数 yf(x)的最大(小)必考点15 函数的定义域 【例 1】求下列函数的定义域：（1）f(x)x1042x；（2）31 2log(1)xf xx；（3）已知函数 f(2x)的定义域是1，1，求 f(x)的定义域【解析】（1）为使函数有意义，自变量x需满足 x10，x0，42x0，即 x1，x0，x2.即01x，或12x 函数 f(x)的定义域为0，1)(1，2)（2）为使函数有意义，必须且只须自变量x满足1 011xx，即1x且2x 故原函数的定义域为(1,2)(2,)（3）f(2x)的定义域为1，1，即1x1，122x2，故 f(x)的定义域为12，2 巩固 1.（2019江苏卷）函数的定义域是_【解析】由，得，解得：函数的定义域是 巩固 2已知函数lg(1)yfx的定义域为0,9，则()yf x的定义域为_.【解析】函数lg(1)yfx的定义域为0,9，09x，得11 10 x，0lg(1)1x故()yf x的定义域为0,1.巩固 3.已知函数 f（x）的定义域是1(,82，则(2)xf的定义域是 【解析】f（x）的定义域是1(,82，1282x，解得1x3 f（2x）的定义域是（1，3【例 2】(1)若函数 f(x)2221xax a的定义域为 R，则 a 的取值范围为_；(2)若函数 yax1ax22ax3的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_【解析】(1)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以222xax a10 对 xR 恒成立，即222xax a20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0 所以实数 a 的取值范围是 1,0(2)因为函数 yax1ax22ax3的定义域为 R，所以方程 ax22ax30 无实数解，即函数 tax22ax3 的图象与 x 轴无交点 当 a0 时，函数 y3 的图象与 x 轴无交点；当 a0 时，则(2a)243a0，解得 0a1)【解析】(1)解法 1（函数单调性法）任取 x1，x2(x1x20)，且 x1x2，f(x1)f(x2)x14x1(x24x2)(x1x2)(x1x24)x1x2，当 x1x22 或 2x1x2时，f(x)递增；当2x1x20 或 0 x1x22 时，f(x)递减故 x2 时，f(x)极大f(2)4；x2 时，f(x)极小f(2)4 所求函数的值域为(，44，)解法 2（基本不等式法）当 x0 时，x4x2 x4x4，当且仅当 x2 时，“”成立；当 x0 时，x4x(x4x)4，当且仅当 x2 时“”成立 y(，44，)，即所求函数的值域为(，44，)(2)解法 1（配方法）12x52，y242 4x212x5424（x32）24，4y28，2y2 2 函数的值域为2,2 2 解法2（换元法）令 2x12cos，52x2sin，0,2，y2cos2sin2 2sin(4)，44，34，y2，2 2 函数的值域为2,2 2（3）解法1 （单调性法）由 y2x1x123x1，结合函数的图象可知，函数在3，5上是单调递增函数，所以 ymax32，ymin54，故所求函数的值域是54，32 解法 2 （反表示法）由 y2x1x1，得 x1y2y 因为 x3，5，所以 31y2y5，解得54y32，即所求函数的值域是54，32(4)(基本不等式法)令 tx1，则 xt1(t0)，所以 y（t1）24（t1）5tt22t2tt2t2(t0)因为 t2t2t2t2 2，当且仅当 t 2，即 x 21 时，等号成立，故所求函数的值域为2 22，)巩固 1.函数的值域是_ 【解析】令，即，函数在区间上是减函数，故 ，故函数的值域是 巩固 2.函数的值域为_【解析】因为函数，得对称轴，开口向下，所以当时，当时，所以值域为 3.函数的值域是_【解析】，即函数的值域是 4.函数的值域为_ 【解析】，由，则，函数的值域为，必考点17 函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数 f(x)x22ax5(a1)(1)若 f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数 a 的值；(2)若 f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的 x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数 a 的取值范围【解析】(1)f(x)(xa)25a2(a1)，f(x)在1，a上是减函数 又定义域和值域均为1，a，f1a，fa1，即 12a5a，a22a251，解得 a2 实数 a 的值为 2(2)f(x)在区间(，2上是减函数，a2 又 xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2 对任意的 x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3，又 a2，2a3实数 a 的取值范围是2,3 巩固 1.已知函数 y x22xa的定义域为 R，值域为0，)，则实数 a 的取值集合为_ 【解析】函数 y x22xa的定义域为 R，值域为0，)，x22xa0 恒成立，且最小值为 0，则满足 0，即 44a0，则 a1 即实数 a 的取值集合为1 巩固 2.已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则 ab_【解析】当 a1 时a1b1，a0b0，无解；当 0a2，即 b1 又函数 yf(x)12x22x4 的定义域、值域都是闭区间2，2b，所以有 f(2b)2b，即12(2b)222b42b，b23b20，b1(舍去)，b2 实数b的值为 2 巩固 4.（拔高题）已知函数 f(x)4|x|21 的定义域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个【解析】由 04|x|211，即 14|x|22，解之，得 0|x|2，满足整数数对的有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)共 5 个 专题六 函数的单调性 1 函数单调性的定义（1）一般地，对于给定区间上的函数 f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当12xx时，都有12()()f xf x（或都有12()()f xf x，那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）（2）如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说 f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做 f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间 2 函数单调性的图象特征 对于给定区间上的函数 f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减 3 复合函数的单调性 对于函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果当 x（a，b）时，u（m，n），且 u=g(x)在区间(a，b)上和 y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 y=f(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减 4函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，f（x1）f（x2）x1x20f(x)在 D 上是增函数；f()x1f()x2x1x20)的增区间为(，a和 a，)，减区间为(,0)a和(0,)a(3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数(4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减”必考点18 函数单调性的判断与证明【例】判断函数 f(x)x1x2在区间1，)上的单调性并证明你的结论【解析】函数 f(x)x1x2在区间1，)上是单调减函数，证明如下：设 x1、x2 1，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x11x21x21x22x1（1x22）x2（1x21）（1x21）（1x22）（x1x2）（1x1x2）（1x21）（1x22）x1、x21，)，且 x1x2，x1x20，1x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x1x2在1，)上为减函数 巩固 1.下列函数中：f(x)1x f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1)满足“对任意 x1，x2(0，)，当 x1f(x2)的函数的序号是_【解析】满足当 x1f(x2)说明函数 f(x)在(0，)上是减函数，的减区间是(，0)和(0，)；的减区间是(，1；，在定义域上都是增函数故填 巩固 2.试讨论函数 f(x)21axx (a0)在(0,)上的单调性，并证明你的结论【解析】设12,(0,)x x 且 x1x2，则221212211222221212(1)(1)()11(1)(1)axaxax xaxxf(xf xxxxx 22121212211222221212()(1)(1)(1)(1)(1)a x xxx xxa xxx xxxxx x1x2，210 xx，又0a，2212(1)(1)0 xx 当12,(0,1)x x 时，1210 x x ，从而211 22212()(1)0(1)(1)a xxx xxx，即1212)()0)()f(xf xf(xf x，此时 f(x)21axx (a0)单调递增；当12,(1,)x x 时，1210 x x ，从而211 22212()(1)0(1)(1)a xxx xxx，即1212)()0)()f(xf xf(xf x，此时 f(x)21axx (a0)单调递减 函数 f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,)上为减函数 必考点19 求函数的单调区间【例】函数的单调增区间为_【解析】,或 当时,t递减,递减；当时,t递增,递增 为单调增函数,当时,是减函数；当时,是增函数 故答案为 巩固 1.函数 yx，x0，x2，x0的单调增区间为_；单调减区间为_【解析】当 x0 时，yx 为增函数；当 x0 时，yx2为减函数 单调增区间为(0,)；单调减区间为(,0)巩固 2.求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)y212log(32)xx【解析】(1)由于 y x22x1x0，x22x1x0，即 y x122x0，x122x0.画出函数图象如图所示，单调增区间为(，1和0，1，单调减区间为1，0和1，)(2)令 ux23x2，则原函数可以看成12logyu与 ux23x2 的复合函数 由 x23x20，解得 x1 或 x2函数 y212log(32)xx的定义域为(，1)(2，)又 ux23x2 对称轴 x32，且开口向上ux23x2 在(，1)上减函数，在(2，)上增函数 而12logyu在(0，)上减函数，y212log(32)xx减区间为(2，)，增区间为(，1)巩固 3.（易错题）求函数2()ln(23)f xxx的单调递增区间【解析】由2230 xx，得223013xxx ，定义域为(1,3)令223uxx，则()lnyf xu 2223(1)4uxxx ，在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又lnyu是单调递增函数，根据复合函数的单调性，得所求的单调递增区间为(1,1)必考点20 函数单调性的应用【例】已知满足对任意,都有成立,那么 a的取值范围是_【解析】对任意,都有成立,函数在 R 上单调递增,巩固 1.已知函数 f(x)3xa，x1xa2，x1，若 f(x)在 R 上为增函数，则实数 a 的取值范围是_【解析】f(x)3xa，x1xa2，x1，当 x1 时，函数 f(x)3xa 为增函数，aR 当 x1 时，函数 f(x)xa2为增函数，aR 为使 f(x)在 R 上为增函数，必须且只须 3a1a2，解得1a2，综上所述，实数 a 的取值范围是1a2 巩固 2.（易错题）若函数2()2(1)2f xxax的单调递减区间是(,4，则实数a的取值集合是_【解析】函数2()2(1)2f xxax的图象的对称轴是1xa 函数2()2(1)2f xxax的单调递减区间是(,4，由图象可得：14a，解得3a 实数a的取值集合是 3 巩固 3.已知函数 f(x)exaex(aR)在区间0，1上单调递增，则实数 a 的取值范围是_【解析】当 a0，且 exaex0 时，必须且只需满足 e0ae00 即可，则1a0 时，f(x)exaex，则必须且只需满足 f(x)exaex0 在 x0，1上恒成立，只需满足a(e2x)min成立即可，故 a1 综上，1a1 巩固巩固 4.函数 f(x)1x1在区间a，b上的最大值是 1，最小值是13，则 ab_【解析】易知 f(x)在a，b上为减函数，fa1，fb13，即 1a11，1b113，a2，b4.ab6 巩固 5.（拔高题）使函数 y2xkx2与 ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，实数 k 的取值范围是_【解析】由于 ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数 故若使函数 y2xkx22x24kx224kx2在(3，)上是增函数，则有 4k0，得 k4 实数 k 的取值范围是(，4)巩固 6.（拔高题）函数 f(x)ax1x2在区间(2，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_【解析】f(x)ax1x2ax212ax212ax2a 任取 x1，x2(2，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)12ax1212ax2212ax2x1x12x22 函数 f(x)ax1x2在区间(2，)上是增函数，f(x1)f(x2)0 x2x10，x120，x220，12a0，a12，即实数 a 的取值范围是12，必考点21 抽象函数的单调性及其应用【例】函数 f(x)对任意的 m，nR，都有 f(mn)f(m)f(n)1，并且 x0 时，恒有 f(x)1(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2【解析】(1)证明：设 x1，x2R 且 x10，当 x0 时，f(x)1，f(x2x1)1f(x2)211()fxxxf(x2x1)f(x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为增函数(2)m，nR，不妨设 mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，f(x)在 R 上为增函数，a2a513a2，故不等式 f(a2a5)2 的解集为(3，2)巩固 1.已知为 R上增函数,且对任意,都有,则_【解析】根据题意得,为常数,设,则,；,易知该方程有唯一解,；巩固 2.已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R，m、n 都是实数如果不等式 f(m)f(n)f(m)f(n)成立，那么下列不等式成立的是_ mn0 mn0 mn0 mn0【解析】设 F(x)f(x)f(x)，由于 f(x)是 R 上的减函数，f(x)是 R 上的增函数，f(x)是 R 上的减函数，F(x)为 R 上的减函数，当 mn 时，有 F(m)F(n)，即 f(m)f(m)f(n)f(n)成立，因此当 f(m)f(n)f(m)f(n)成立时，不等式 mn0 一定成立，故选 巩固 3.设 f(x)是定义在(0，)上的增函数，f(2)1，且 f(xy)f(x)f(y)，求满足不等式 f(x)f(x3)2 的 x 的取值范围【解析】由题意可知 f(x)f(x3)f(x23x)，又 22f(2)f(2)f(2)f(4)，于是不等式 f(x)f(x3)2 可化为 f(x23x)f(4)，因为函数在(0，)上为增函数，所以不等式可转化为x23x4，x0，x30，解得 30)(2)若f(xa)1f（x），则 T2a(a0)(3)若f(xa)1f（x），则 T2a(a0)必考点22 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)9x2x29；(2)f(x)(x1)1x1x；(3)f(x)4x2|x3|3；(4)f(x)x2x（x0）x2x（x0）；(5)f(x)x2|xa|2【解析】(1)由9x20，x290，得 x3所以f(x)的定义域为3，3，此时f(x)0又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0即f(x)f(x)所以f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由1x1x0，1x0，得1x1因为f(x)的定义域(1，1不关于原点对称非奇非偶(3)由4x20，|x3 30，得2x2 且 x0所以f(x)的定义域为 2,0)(0,2，关于原点对称此时，有f(x)4x2()x3 34x2x，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(4)函数定义域为(，0)(0，)当 x0 时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当 x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对任意 x(，0)(0，)都有f(x)f(x)故f(x)为奇函数(5)函数f(x)的定义域为 R 当 a0 时，f(x)f(x)，f(x)是偶函数；当 a0 时，f(a)a22，f(a)a22|a|2f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2)2(|a|12)2720，f(x)是非奇非偶函数 综上，当 a0 时，f(x)为偶函数；当 a0 时，f(x)为非奇非偶函数 巩固 1.下列函数中为偶函数的是_ y1x ylg|x|y(x1)2 y2x【解析】中的函数是奇函数；中，函数 ylg|x|的定义域为x|x0且lg|x|lg|x|，函数 y