考研数学历年真题(1987-2004)年数学一-可直接打印(纯试题).pdf

文档-1-1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_时,函数2xyx取得极小值.(2)由曲线lnyx与两直线e1yx 及0y 所围成的平面图形的面积是_.1x (3)与两直线 1yt 及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_.2zt(4)设L为 取 正 向 的 圆 周229,xy则 曲 线 积 分2(22)(4)Lxyy dxxx dy=_.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2,0,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.三、(本题满分 7 分)(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),uf x xy vg xxy求,.uvxx (2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B 四、(本题满分8 分)求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a 五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)文档-2-(1)设2()()lim1,()xaf xf axa 则在xa处(A)()f x的导数存在,且()0fa (B)()f x取得极大值 (C)()f x取得极小值 (D)()f x的导数不存在(2)设()f x为已知连续函数0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k 则级数21(1)nnknn(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于(A)a (B)1a(C)1na (D)na 六、（本题满分 10 分）求幂级数1112nnnxn的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy 其中是由曲线113()0 zyyf xx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2 八、（本题满分 10 分）文档-3-设函数()f x在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,x函数()f x的值都在开区间(0,1)内,且()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得().f xx 九、（本题满分 8 分）问,a b为何值时,现线性方程组 123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为_;而事件A至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球,第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211()e,xxf x则X的数学期望为_,X的方差为_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量,X Y相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx 10 01x其它,()Yfy e0y 00yy,求2ZXY的概率密度函数.文档-4-1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.(2)设2()e,()1xf xfxx 且()0 x,求()x及其定义域.(3)设为 曲 面2221xyz的 外 侧,计 算 曲 面 积 分333.Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim(1),txxf ttx则()f t=_.(2)设()f x连续且310(),xf t dtx则(7)f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间(1,1上定义为()f x 22x 1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x 处收敛于_.(4)设4阶 矩 阵234234,A B 其 中234,均为 4 维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_ 三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x可导且01(),2fx则0 x 时,()f x在0 x处的微分dy是(A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是 方 程240yyy的 一 个 解 且00()0,()0,f xfx则函数()f x在点0 x处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv (B)124ydvydv (C)124zdvzdv (D)124xyzdvxyzdv (4)设幂级数1(1)nnnax在1x 处收敛,则此级数在2x 处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,sk kk使11220sskkk 文档-5-(B)12,s 中任意两个向量均线性无关 (C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分 6 分)设()(),xyuyfxgyx其 中 函 数f、g具 有 二 阶 连 续 导 数,求222.uuxyxx y 五、(本题满分 8 分)设函数()yy x满足微分方程322e,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数().yy x 六、（本题满分 9 分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分 6 分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.A A 文档-6-八、（本题满分 8 分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1P APB的可逆阵.P 九、（本题满分 9 分）设函数()f x在区间,a b上连续,且在(,)a b内有()0,fx证明:在(,)a b内存在唯一的,使曲线()yf x与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yf x与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为_.(3)设随机变量X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 221()e,(2.5)0.9938,2uxxdu 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)Xfxx求随机变量31YX 的概率密度函数().Yfy 文档-7-1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知(3)2,f 则0(3)(3)lim2hfhfh=_.(2)设()f x是 连 续 函 数,且10()2(),f xxf t dt则()f x=_.(3)设 平 面 曲 线L为 下 半 圆 周21,yx 则 曲 线 积 分22()Lxyds=_.(4)向量场divu在点(1,1,0)P处的散度divu=_.(5)设矩阵300100140,010,003001AI则矩阵1(2)AI=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0 x 时,曲线1sinyxx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已 知 曲 面224zxy上 点P处 的 切 平 面 平 行 于 平 面2210,xyz 则点的坐标是(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c yc yy (B)1122123()c yc yccy (C)1122123(1)c yc yccy (D)1122123(1)c yc yccy (4)设函数2(),01,f xxx而1()sin,nnS xbn xx 其中 102()sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S 等于(A)12 (B)14 (C)14 (D)12 (5)设A是n阶矩阵,且A的行列式0,A则A中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对文档-8-应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设(2)(,),zfxyg x xy其中函数()f t二阶可导,(,)g u v具有连续二阶偏导数,求2.zx y (2)设曲线积分2()cxy dxyx dy与路径无关,其中()x具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xy dxyx dy的值.(3)计算三重积分(),xz dv其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)将函数1()arctan1xf xx展为x的幂级数.五、(本题满分 7 分)设0()sin()(),xf xxxt f t dt其中f为连续函数,求().f x 文档-9-六、（本题满分 7 分）证明方程0ln1 cos2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分 6 分）问为何值时,线性方程组 13xx 123422xxx 1236423xxx 有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分 8 分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A的特征值.(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值.九、（本题满分 9 分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?文档-10-十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率()0.5,P A 随机事件B的概率()0.6P B 及条件概率(|)0.8,P B A 则和事件AB的概率()P AB=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210 xx 有实根的概率是_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为 1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数.文档-11-1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt (1)过点(1,21)M且与直线 34yt垂 直 的 平 面 方 程 是_.1zt (2)设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_.(3)设函数()f x 10 11xx,则()f f x=_.(4)积分2220eyxdxdy的值等于_.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x是连续函数,且e()(),xxF xf t dt则()F x等于(A)e(e)()xxff x (B)e(e)()xxff x(C)e(e)()xxff x (D)e(e)()xxff x (2)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()(),fxf x则当n为大于 2的正整数时,()f x的n阶导数()()nfx是(A)1!()nnf x (B)1()nn f x (C)2()nf x (D)2!()nnf x (3)设a为常数,则级数21sin()1nnann(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知()f x在0 x 的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1 cosxf xfx则在点0 x 处()f x(A)不可导 (B)可导,且(0)0f (C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是(A)1211212()2kk 文档-12-(B)1211212()2kk (C)1211212()2kk (D)1211212()2kk 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求120ln(1).(2)xdxx (2)设(2,sin),zfxy yx其中(,)f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y (3)求微分方程244exyyy的通解(一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdzdxdxdy 其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分.文档-13-六、（本题满分 7 分）设不恒为常数的函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间(,)a b内可导,且()().f af b证明在(,)a b内至少存在一点,使得()0.f 七、（本题满分 6 分）设四阶矩阵 1100213401100213,0011002100010002BC 且矩阵A满足关系式 1()A EC B CE 其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxx xx xx x成标准型.九、（本题满分 8 分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)文档-14-(1)已知随机变量X的概率密度函数 1()e,2xf xx 则X的概率分布函数()F x=_.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率()P AB=_.(3)已知离散型随机变量X服从参数为 2 的泊松()Poisson分布,即22 e,0,1,2,!kP Xkkk则 随 机 变 量32ZX的 数 学 期 望()E Z=_.十一、（本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z 文档-15-1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cosxtyt,则22d ydx=_.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分dz=_.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是_.(4)已知当0 x 时123,(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221 e1 exxy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x满足关系式20()()ln2,2tf xfdt则()f x等于(A)e ln2x (B)2eln2x (C)eln2x (D)2eln 2x (3)已知级数12111(1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cos sin)Dxyxy dxdy等于(A)12cos sinDxydxdy (B)12Dxydxdy (C)14(cos sin)Dxyxy dxdy (D)0 (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE (B)CBAE (C)BACE (D)BCAE 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)文档-16-(1)求20lim(cos).xx (2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22(),xyz dv其中是由曲线 220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分 3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数()2(11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数211nn的和.文档-17-六、（本题满分 7 分）设函数()f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dxf证明在(0,1)内存在一点,c使()0.fc 七、（本题满分 8 分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b (1)a、b为何值时,不能表示成1234,的线性组合?(2)a、b为何值时,有1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式 .八、（本题满分 6 分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九、（本题满分 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.文档-18-十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)若 随 机 变 量X服 从 均 值 为 2、方 差 为2的 正 态 分 布,且240.3,PX则0P X=_.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一、（本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,)f x y (2)2e0,00 xyxy其它 求随机变量2ZXY的分布函数.文档-19-1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 函 数()yy x由 方 程ecos()0 x yxy确 定,则dydx=_.(2)函 数222ln()uxyz在 点(1,2,2)M处 的 梯 度gradMu=_.(3)设()f x 211x 00 xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_.(5)设1 11 212 12 1212,nnnnnnabababa ba ba ba ba ba bA其中0,0,(1,2,).iiabin则矩阵A的秩()r A=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x 时,函数1211e1xxx的极限(A)等于 2 (B)等于 0(C)为 (D)不存在但不为(2)级数1(1)(1cos)(nnan常数0)a (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关 (3)在曲线23,xt ytzt 的所有切线中,与平面24xyz平行的切线(A)只有 1 条 (B)只有 2 条(C)至少有 3 条 (D)不存在(4)设32()3,f xxx x则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使12100,121 都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)2 12 (B)201011 (C)102011 (D)011422011 文档-20-三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求20esin1lim.11xxxx (2)设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y (3)设()f x 21exx 00 xx,求31(2).f xdx 四、(本题满分 6 分)求微分方程323exyyy的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧.六、（本题满分 7 分）设()0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x 文档-21-七、（本题满分 8 分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,),M 问当、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分 7 分）设向量组123,线性相关,向量组234,线性无关,问:(1)1能否由23,线性表出?证明你的结论.(2)4能否由123,线性表出?证明你的结论.九、（本题满分 7 分）设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为 1231111,2,3,149 又向量12.3 (1)将用123,线性表出.(2)求(nnA 为自然数).文档-22-十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2)设 随 机 变 量X服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布,则 数 学 期 望2eXE X=_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2(,),NY 服从,上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中221()e)2txxdt.文档-23-1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)函数11()(2)(0)xF xdt xt的单调减少区间为_.(2)由曲线 2232120 xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设 函 数2()()f xxxx的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为01(cossin),2nnnaanxbnx则其中系数3b的值为_.(4)设数量场222ln,uxyz则div(grad)u=_.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin2340()sin(),(),xf xtdt g xxx则 当0 x 时,()f x是()g x的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小 (2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos2 d (B)404cos2 d (C)402cos2 d (D)2401(cos2)2d(3)设有直线1158:121xyzl与2:l 623xyyz则1l与2l的夹角为(A)6 (B)4(C)3 (D)2(4)设曲线积分()e sin()cosxLf tydxf xydy与路径无关,其中()f x具有一阶连续导数,且(0)0,f则()f x等于(A)ee2xx (B)ee2xx (C)ee12xx (D)ee12xx (5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则 文档-24-(A)6t 时P的秩必为 1 (B)6t 时P的秩必为 2 (C)6t 时P的秩必为 1 (D)6t 时P的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求21lim(sincos).xxxx (2)求e.e1xxxdx (3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解.四、(本题满分 6 分)计算22,xzdydzyzdzdxz dxdy 其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、(本题满分 7 分)求级数20(1)(1)2nnnnn的和.文档-25-六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)设在0,)上函数()f x有连续导数,且()0,(0)0,fxkf证明()f x在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae证明.baab 七、（本题满分 8 分）已知二次型22212312323(,)2332(0)f x xxxxxax x a通过正交变换化成标准形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分 6 分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中,nmI是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分 6 分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.文档-26-十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度()Yfy=_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X的概率分布密度为1()e,.2xf xx (1)求X的数学期望EX和方差.DX (2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么?文档-27-1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)011limcot()sinxxx=_.(2)曲面e23xzxy在点(1,2,0)处的切平面方程为_.(3)设esin,xxuy则2ux y 在点1(2,)处的值为_.(4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_.(5)已知1 11,2,3,1,2 3设,A 其中是的转置,则nA=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM (B)MPN (C)NMP (D)PMN (2)二元函数(,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)f x y在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,且级数21nna收敛,则级数21(1)nnnan(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关 (4)20tan(1 cos)lim2,ln(1 2)(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd (B)4bd (C)4ac (D)4ac (5)已知向量组1234,线性无关,则向量组(A)12233441,线性无关 (B)12233441,线性无关 (C)12233441,线性无关 (D)12233441,线性无关 文档-28-三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 2221cos()1cos()cos2txtyttuduu,求dydx、22d ydx在2t的值.(2)将函数111()lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数.(3)求.sin(2)2sindxxx 四、(本题满分 6 分)计算曲面积分2222,Sxdydzz dxdyxyz其中S是由曲面222xyR及,(0)zR zR R 两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分)设()f x具有二阶 连 续函数,(0)0,(0)1,ff 且2()()()0 xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求()f x及此全微分方程的通解.文档-29-六、(本题满分 8 分)设()f x在点0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,xf xx证明级数11()nfn绝对收敛.七、（本题满分 6 分）已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八、（本题满分 8 分）设四元线性齐次方程组()为 122400 xxxx,又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).kk (1)求线性方程组()的基础解析.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分 6 分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线文档-30-上)(1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB且(),P Ap则()P B=_.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X的分布率为 X 0 1 P 12 12 则随机变量max,ZX Y的分布率为_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X和Y分别服从正态分布2(1,3)N和2(0,4),N且X与Y的相关系数1,2xy 设,32XYZ (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立?为什么?文档-31-1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)2sin0lim(13)xxx=_.(2)202cosxdxt dtdx=_.(3)设()2,a b c则()()()abbcca=_.(4)幂级数2112(3)nnnnnx 的收敛半径R=_.(5)设 三 阶 方 阵,A B满 足 关 系 式16,A BAABA且1003100,41007A则B=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030 xyzxyz,及平面:4220,xyz则直线L(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于 (D)与斜交 (2)设在0,1上()0,fx则(0),(1),(1)(0)ffff或(0)(1)ff的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)ffff (B)(1)(1)(0)(0)ffff (C)(1)(0)(1)(0)ffff (D)(1)(0)(1)(0)ffff (3)设()f x可导,()()(1sin),F xf xx则(0)0f是()F x在0 x 处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设1(1)ln(1),nnun 则级数(A)1nnu与21nnu都收敛 (B)1nnu与21nnu都发散 (C)1nnu收敛,而21nnu发散 (D)1nnu收 敛,而21nnu发散(5)设文档-32-11121311121321222321222312313233313233010100,100,010,001101aaaaaaaaaaaaaaaaaaABPP则必有(A)12APP=B (B)21AP P=B (C)12PP A=B (D)21P PA=B 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)设2(,),(,e,)0,sin,yuf x y zxzyx其中,f都具有一阶连续偏导数,且0.z求.dudx (2)设 函 数()f x在 区 间0,1上 连 续,并 设10(),f x dxA求110()().xdxf x f y dy 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)(1)计 算 曲 面 积 分,zdS其 中为 锥 面22zxy在 柱 体222xyx内的部分.(2)将函数()1(02)f xxx展开成周期为 4 的余弦函数.五、(本题满分 7 分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为.A已知,MAOA且L过点3 3(,),2 2求L的方程.文档-33-六、(本题满分 8 分)设 函数(,)Q x y在 平 面xOy上 具有一 阶连 续偏 导数,曲 线积 分2(,)LxydxQ x y dy与 路 径 无 关,并 且 对 任 意t恒 有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy求(,).Q x y 七、（本题满分 8 分）假 设 函 数()f x和()g x在,a b上 存 在 二 阶 导 数,并 且()0,()()()()0,gxf af bg ag b试证:(1)在开区间(,)a b内()0.g x (2)在开区间(,)a b内至少存在一点,使()().()()ffgg 八、（本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵A的特征值为1231,1,对应于1的特征向量为101,1 求.A 九、（本题满分6 分）设A为n阶矩阵,满足(