2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】.pdf

2014 年江苏高考数学试题 数学试题 参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高。一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上。1已知集合 21 3 4A ，1 2 3B ，则AB 【答案】1 3，2已知复数2(52)zi(i 为虚数单位），则 z 的实部为 【答案】21 3右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 【答案】5 4从1 2 3 6，这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的 概率是 【答案】13 5已知函数cosyx与sin(2)(0)yx,它们的图象有一个横坐标为 3的交点，则的值是 【答案】6 6为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm)，所得数据均在区间80 130，上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 株 树木的底部周长小于 100 cm【答案】24 7在各项均为正数的等比数列 na中，若21a，8642aaa，则6a的值是 【答案】4 8设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12SS，体积分别为12V V，若它们的侧面积相等，且1294SS，则12VV的值是 【答案】32 9在平面直角坐标系 xOy 中,直线230 xy被圆22(2)(1)4xy截得的弦长为 【答案】2 555 10已知函数2()1f xxmx,若对任意1xm m，都有()0f x 成立，则实数 m 的取值范围是 【答案】202，11在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线2byaxx(a b，为常数)过点(25)P，且该曲线在点P 处的切线与直线7230 xy平行，则ab的值是 【答案】3 12 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知，85ABAD，32CPPDAP BP，则AB AD的 值是 【答案】22 13已知()f x是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当0 3)x，时，21()22f xxx若函数()yf xa在区间 3 4，上有 10 个零点（互不相同)，则实数 a 的取值范围是 【答案】102，14若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是 【答案】624 二、解答题：本大题共6小题,共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分 14 分）已知 2，5sin5（1）求sin4的值；(2)求cos26的值【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力.满分 14 分.（1）5sin25，,22 5cos1sin5 210sinsincoscossin(cossin)444210;(2）2243sin22sincoscos2cossin55，33143 34cos2coscos2sinsin2666252510 16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥PABC中，D E F，分别为棱PCACAB，的中点已知6PAAC PA，8BC ，5DF (1）求证：直线 PA平面 DEF;（2）平面 BDE平面 ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。（1）D E，为PCAC，中点 DEPA PA 平面 DEF，DE平面 DEF PA平面 DEF（2）D E，为PCAC，中点 132DEPA E F，为ACAB，中点 142EFBC 222DEEFDF 90DEF,DEEF/DE PA PAAC，DEAC ACEFE DE平面 ABC DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC 17 (本 小 题 满 分 14 分)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中，12FF，分 别 是 椭 圆22221(0)yxabab的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0)b，,连结2BF并延长交椭圆于点A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结1FC(1)若点 C 的坐标为 4 133，且22BF，求椭圆的方程；（2）若1FCAB,求椭圆离心率 e 的值 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力.满分 14 分。（1)4 133C，22161999ab 22222BFbca，22(2)2a，21b 椭圆方程为2212xy(2)设焦点12(0)(0)()FcF cC x y，A C，关于 x 轴对称，()A xy，2B FA，三点共线，bybcx，即0bxcybc 1FCAB,1ybxcc，即20 xcbyc 联立方程组，解得2222222caxbcbcybc 2222222a cbcCbcbc，C 在椭圆上，222222222221a cbcbcbcab，化简得225ca，55ca,故离心率为55 18（本小题满分 16 分）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)，4tan3BCO（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大?解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力。满分 16 分.解法一：(1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy。由条件知 A（0,60)，C（170,0）,直线 BC 的斜率 k BC=tanBCO=43.又因为 ABBC，所以直线 AB 的斜率 k AB=34.设点 B 的坐标为（a，b)，则 k BC=04,1703ba k AB=603,04ba 解得 a=80,b=120。所以 BC=22(17080)(0 120)150.因此新桥 BC 的长是 150 m。（2）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60）。由条件知，直线 BC 的方程为4(170)3yx，即436800 xy 由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M（0,d）到直线 BC 的距离是 r,即|3680|680355ddr。因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d 故当 d=10 时，68035dr最大,即圆面积最大.所以当 OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二：（1)如图,延长 OA,CB 交于点 F。因为 tanBCO=43.所以 sinFCO=45，cosFCO=35。因为 OA=60，OC=170，所以 OF=OC tanFCO=6803.CF=850cos3OCFCO,从而5003AFOFOA.因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO=45，又因为 ABBC,所以 BF=AF cosAFB=4003，从而 BC=CFBF=150.因此新桥 BC 的长是 150 m.（2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半 径，并设 MD=r m，OM=d m(0d60）.因为 OAOC，所以 sinCFO=cosFCO,故由（1）知,sinCFO=3,68053MDMDrMFOFOMd所以68035dr.因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d 故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大。所以当 OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大。19（本小题满分 16 分)已知函数()eexxf x其中 e 是自然对数的底数（1）证明：()f x是R上的偶函数；(2）若关于 x 的不等式()e1xmf xm在(0)，上恒成立,求实数 m 的取值范围;(3）已知正数 a 满足：存在01)x ，使得3000()(3)f xaxx成立试比较1ea与e 1a的大小，并证明你的结论【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分.（1）x R,()ee()xxfxf x，()f x是R上的偶函数（2）由题意,(ee)e1xxxmm，即(ee1)e1xxxm(0)x，ee10 xx,即e1ee1xxxm对(0)x，恒成立 令e(1)xtt,则211tmtt 对任意(1)t，恒成立 2211111(1)(1)113111tttttttt ，当且仅当2t 时等号成立 13m（3）()eexxfx，当1x 时()0fx，()f x在(1)，上单调增 令3()(3)h xaxx,()3(1)h xax x 01ax，()0h x，即()h x在(1)x，上单调减 存在01)x ，使得3000()(3)f xaxx,1(1)e2efa，即 11e2ea e-1e 111lnlnlne(e1)ln1eaaaaaa 设()(e1)ln1m aaa,则 e1e111()1e2eam aaaa ，当 11ee12ea时，()0m a，()m a单调增；当e1a 时，()0m a,()m a单调减 因此()m a至多有两个零点，而(1)(e)0mm 当ea 时,()0m a，e 11eaa;当 11ee2ea时，()0m a，e 11eaa；当ea 时，()0m a,e 11eaa 20（本小题满分 16 分）设数列 na的前 n 项和为nS若对任意的正整数 n,总存在正整数m,使得nmSa，则称 na是“H 数列（1）若数列 na的前 n 项和2()nnSnN,证明：na是“H 数列”；(2）设 na是等差数列，其首项11a，公差0d 若 na是“H 数列,求 d 的值；（3）证明:对任意的等差数列 na,总存在两个“H 数列”nb和 nc,使得()nnnabc nN成立【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力，满分 16 分.(1）当2n时,111222nnnnnnaSS 当1n 时，112aS 1n 时，11Sa，当2n时，1nnSa na是“H 数列”（2)1(1)(1)22nn nn nSnadnd 对n N，mN使nmSa，即(1)1(1)2n nndmd 取2n 得1(1)dmd，12md 0d，2m，又mN,1m,1d （3）设 na的公差为 d 令111(1)(2)nbanan a，对n N，11nnbba 1(1)()ncnad，对n N,11nnccad 则1(1)nnnbcanda，且 nnbc，为等差数列 nb的前 n 项和11(1)()2nn nTnaa,令1(2)nTm a，则(3)22n nm 当1n 时1m；当2n 时1m；当3n时,由于 n 与3n奇偶性不同，即(3)n n 非负偶数，mN 因此对n,都可找到mN,使nmTb成立,即 nb为“H 数列”nc的前项和1(1)()2nn nRad，令1(1)()nmcmadR,则(1)12n nm 对n N，(1)n n是非负偶数,mN 即对n N，都可找到mN，使得nmRc成立，即 nc为“H 数列”因此命题得证。数学(附加题）21。【选做题】本题包括 A，B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A。【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明：OCB=D。本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 B,C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC.故OCB=B。又因为 C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故B，D 为同弧所对的两个圆周角,所以B=D.因此OCB=D。B.【选修 42：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）已知矩阵1 21xA，1121B,向量2y ，x y，为实数，若A=B,求x y，的值 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分。222yxyA,24yyB，由A=B得22224yyxyy，解得142xy，C。【选修 44:坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为212222xtyt，(t 为参数)，直线 l 与抛物线24yx交于A B，两点,求线段 AB 的长【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.直线 l：3xy代入抛物线方程24yx并整理得21090 xx 交点(1 2)A，,(96)B，故|8 2AB D。【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分）已知 x0，y0,证明：（1+x+y2)(1+x2+y）9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式。考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 x0，y0，所以 1+x+y22330 xy，1+x2+y2330 x y，所以（1+x+y2)(1+x2+y）223333xyx y=9xy.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22（本小题满分 10 分)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123xxx，随机变量 X 表示123xxx，中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望()E X 22。【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.（1）一次取 2 个球共有29C36种可能情况,2 个球颜色相同共有222432CCC10种可能情况 取出的 2 个球颜色相同的概率1053618P （2）X 的所有可能取值为4 3 2，则 4449C1(4)C126P X 3131453639C CC C13(3)C63P X 11(2)1(3)(4)14P XP XP X X 的概率分布列为 X 2 3 4 P 1114 1363 1126 故 X 的数学期望1113120()23414631269E X 23(本小题满分 10 分）已知函数0sin()(0)xf xxx，设()nf x为1()nfx的导数,nN(1）求122222ff的值；（2）证明：对任意的nN，等式124442nnnff成立 23。【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分 10 分。(1）解：由已知，得102sincossin()(),xxxf xfxxxx 于是21223cossinsin2cos2sin()(),xxxxxfxf xxxxxx 所以12234216(),(),22ff 故122()()1.222ff （2）证明：由已知，得0()sin,xfxx等式两边分别对 x 求导,得00()()cosf xxfxx，即01()()cossin()2f xxf xxx,类似可得 122()()sinsin()f xxfxxx，2333()()cossin()2fxxf xxx,344()()sinsin(2)f xxfxxx.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立.（i)当 n=1 时，由上可知等式成立。（ii）假设当 n=k 时等式成立，即1()()sin()2kkkkfxxfxx.因为111()()()()()(1)()(),kkkkkkkkfxxfxkfxfxxfxkfxfx(1)sin()cos()()sin2222kkkkxxxx,所以1(1)()()kkkfxfx(1)sin2kx.所以当 n=k+1 时,等式也成立.综合（i),(ii）可知等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立。令4x，可得1()()sin()44442nnnnff(n*N)。所以12()()4442nnnff(n*N）.