2014年北京高考数学理科试题及答案.pdf

绝密启封并使用完毕前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理）(北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分(选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1)已知集合2|20Ax xx，0,1,2B，若AB （A)0 （B)0,1 （C）0,2 (D)0,1,2 (2）下列函数中，在区间(0,上为增函数的是（A）1yx (B）2=(1)yx (C)2xy （D)0.5log(1)yx （3）曲线1cos2sinxy ,(为参数）的对称中心（A）在直线2yx上 （B）在直线2yx 上 （C)在直线1yx上 （D）在直线1yx上 （4)当7m,3n时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)7 （B)42 (C)210 （D)840 (5)设na是公比为 q 的等比数列，则“1q”是“na”为递增数列的（A)充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件(C）充分且必要条件 （D）既非充分也非必要条件(6)若,x y满足20200 xykxyy且zyx的最小值为4，则k的值是 (A）2 （B)2 (C)12 （D)12 否 开始 输出S,1km S SS k1k k 结束 是 1k m n 输入 m,n 的值 (7）在空间坐标系Oxyz中，已知(2,0,0)A,(2,2,0)B，(0,2,0)C，(1,1,2)D,若1S,2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)1S=2S=3S (B)1S=2S且31SS （C）1S=3S且32SS (D)2S=3S且13SS (8）有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格“不合格”三种若 A 同学每科成绩不低于 B 同学，且至少有一颗成绩比 B 高，则称“A 同学比 B 同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A）1 (B)3 （C）4 （D)5 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9)复数211ii_ （10)已知向量a、b满足|1a，(2,1)b 且0ab,则|_ （11)在设曲线 C 经过点(2,2),且2214yx具有相同渐近线,则 C 的方程是 (12)若等差数列na满足7890aaa，7100aa,则当n _时,na的前 n 项和最大 （13)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_ 种 （14）设函数()sin()f xAx（,A 是常数,0,0A），若()f x在区间,62 上具有单调性,且2()()-()236fff,则()f x的最小正周期为 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题 13 分）如图，在ABC中，3B，8AB，点 D 在 BC 边上，且 CD=2，1cos7ADC（）求sinBAD(）求BD，AC的长 (16）(本小题 13 分)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛相互独立）场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 22 12 客场 1 18 8 主场 2 15 12 客场 2 13 12 主场 3 12 8 客场 3 21 7 主场 4 23 8 客场 4 18 15 主场 5 24 20 客场 5 25 12(）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；（)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，另一场不超过 0。6的概率；（)记x是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比()E X和x的大小。BACD(17)（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM和MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H(）求证：/ABFG;（）若PA 平面ABCDE,且 PA=AE，求直线 BC 与平面 ABF 所成的角，并求线段 PH 的长 (18）（本小题 13 分）已知函数()cossinf xxxx，0,2x（）求证：()0f x；()若sin xabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值 E D C M F B A P H G (19)（本小题 14 分)已知椭圆C:2224xy（）求椭圆C的离心率；（）设 O 为原点，若点 A 在椭圆 G 上，点 B 在直线2y 上，且OAOB，求直线 AB 与圆222xy的位置关系，并证明你的结论 (20）（本小题 13 分)对于数对序列11(,)P a b，22(,)a b，(,)nna b，记111()T Pab，112()max(),kkkkT PbTPaaa(2)kn，其中 112max(),kkTP aaa表示1()kTP和12kaaa两个数中最大的数（）对于数对序列(2,5)P，(4,1)，求1()T P，2()T P；(）记 m 为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(,)a b，(,)c d组成的数对序列(,)P a b,(,)c d和(,)P c d，(,)a b,试分别对ma和mb时的情况比较2()T P和2()T P的大小;（)在由 5 个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P最小，并写出5()T P的值(只需写出结论）。绝密考试结束前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分）(1）C (2)A （3)B (4）C(5）D (6)D (7）D （8）B 二、填空题（共 6 小题,每小题 5 分，共 30 分)（9）1 （10)5（11）221312xy 2yx (12）8（13）36 （14）三、解答题(共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（I）在ADC中，因为17COSADC，所以4 3sin7ADC.所以sinsin()BADADCB sincoscossin4 31133 3727214ADCBADCB（)在ABD中，由正弦定理得 3 38sin143sin4 37ABBADBDADB，在ABC中,由余弦定理得 2222cosACABBCAB BCB 221852 8 5492 所以7AC （16）(共 13 分)解：(I）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0。6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场3,主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0。5。（）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0。6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过0.6”。则 C=ABAB,A，B 独立。根据投篮统计数据，32(),()55P AP B。()()()P CP ABP AB 33225555 1325 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为1325.（）EXx。（17）(共 14 分)解：（I）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以ABDE。又因为AB 平面 PDE，所以AB平面 PDE，因为AB平面 ABF，且平面ABF平面PDFFG，所以ABFG。（）因为PA底面 ABCDE,所以PAAB,PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz,则(0,0,0)A,(1,0,0)B,(2,1,0)C，(0,0,2)P,(0,1,1)F，BC(1,1,0)。设平面 ABF 的法向量为(,)nx y z,则 0,0,n ABn AF即0,0.xyz 令1,z,则1y .所 以(0,1,1)n，设 直 线BC与 平 面ABF所 成 角 为a,则1sincos,2n BCan BCn BC。设点 H 的坐标为(,).u v w。因为点 H 在棱 PC 上,所以可设(01),PHPC，即(,2)(2,1,2).u v w.所以2,22uvw。因为n是平面 ABF 的法向量，所以0n AH,即(0,1,1)(2,22)0。解得23,所以点 H 的坐标为4 2 2(,).3 3 3。所以222424()()()2333PH zyxABCDEFGPMH (18)（共 13 分）解：（I)由()cossinf xxxx得 ()cossincossinfxxxxxxx。因为在区间(0,)2上()fxsin0 xx，所以()f x在区间0,2上单调递减。从而()f x(0)0f。（)当0 x 时，“sin xax”等价于“sin0 xax”“sin xbx等价于“sin0 xbx。令()g xsin xcx，则()g xcos xc，当0c 时，()0g x 对任意(0,)2x恒成立.当1c 时，因为对任意(0,)2x,()g xcos xc0，所以()g x在区间0,2 上单调递减。从而()g x(0)0g对任意(0,)2x恒成立.当01c时，存在唯一的0(0,)2x使得0()g x0cos xc0.()g x与()g x在区间(0,)2上的情况如下：x 0(0,)x 0 x 0(,)2x()g x+0 ()g x 因为()g x在区间00,x上是增函数，所以0()(0)0g xg.进一步，“()0g x 对 任意(0,)2x恒成立当且仅当()1022gc，即20c，综上所述，当且仅当2c时，()0g x 对任意(0,)2x恒成立；当且仅当1c 时，()0g x 对任意(0,)2x恒成立。所以，若sin xabx对任意(0,)2x恒成立,则 a 最大值为2，b 的最小值为 1.(19）（共 14 分）解：（I)由题意,椭圆 C 的标准方程为22142xy.所以224,2ab，从而2222cab。因此2,2ac。故椭圆 C 的离心率22cea。（)直线 AB 与圆222xy相切。证明如下:设点 A，B 的坐标分别为00(,)xy，(,2)t，其中00 x。因为OAOB，所以0OA OB,即0020txy,解得002ytx。当0 xt时，202ty，代入椭圆 C 的方程，得2t ，故直线 AB 的方程为2x .圆心 O 到直线 AB 的距离2d。此时直线 AB 与圆222xy相切。当0 xt时，直线 AB 的方程为0022()yyxtxt，即0000(2)()20yxxt yxty,圆心 0 到直线 AB 的距离 0022002(2)()xtydyxt 又220024xy，002ytx 故 2000222000202244yxxdyxyx00420020428162xxxxx 此时直线 AB 与圆222xy相切。(20）(共 13 分）解：（I)1()257T P 11()1 max(),24T PT P 1max 7,6=8（）2()T Pmax,abd acd 2()T Pmax,cdb cab.当 m=a 时，2()T P=max,cdb cab=cdb 因为cdbcbd，且acdcbd，所以2()T P2()T P 当 m=d 时，2()T Pmax,cdb cabcab 因为abdcab，且acdcab 所以2()T P2()T P.所以无论 m=a 还是 m=d，2()T P2()T P都成立.(）数对序列:P（4,6），（11,11），（16，11），（11,8），（5，2）的5()T P值最小，1()T P=10，2()T P=26，3()T P=42，4()T P=50，5()T P=52