2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅲ卷)数学试题(文科)解析版.pdf

绝密启封并使用完毕前 注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷3 至 5 页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合0,2,4,6,8,10,4,8AB，则AB（）（A）48,（B）0 2 6，,（C）0 2 610，,（D）0 2 4 6 810，,【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得C0,2,6,10AB，故选 C 考点：集合的补集运算【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化 （2）若43iz，则|zz（）（A）1 （B）1 （C）43i55 （D）43i55【答案】D 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i换成1复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解 （3）已知向量13(,)22BA ,3 1(,),22BC 则ABC（）(A)300 (B)450 (C)600 (D)1200【答案】A 考点：向量夹角公式【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为cosa ba b，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；（2）由向量的数量积的性质有|=aa a，cosa ba b，0abab，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C下面叙述不正确的是（）(A)各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个【答案】D【解析】试题分析：由图可知0 C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在 0以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5 C，而一月的平均温差小于7.5 C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5 C，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于 20的月份有 3 个或 2 个，所以不正确故选D 考点：1、平均数；2、统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选 B （5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,MI N，中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）（A）815 （B）18 （C）115 （D）130 【答案】C【解析】开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)MMMMMIIIII，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)NNNNN，共 15 种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选 C 考点：古典概型【解题反思】对古典概型必须明确判断两点：对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的只有在同时满足、的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An得出的结果才是正确的 （6）若tan13，则cos2（）（A）45 （B）15 （C）15 （D）45【答案】D 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系 （7）已知4213332,3,25abc，则（）(A)bac (B)abc (C)bca (D)cab【答案】A【解析】试题分析：因为423324a，1233255c，又函数23yx在0,)上是增函数，所以222333345，即bac，故选 A 考点：幂函数的单调性【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决 （8）执行下图的程序框图，如果输入的46ab，那么输出的n（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B 考点：程序框图【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构 根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体 （9）在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC,则sin A（）（A）310 （B）1010 （C）55 （D）3 1010【答案】D【解析】设BC边上的高线为AD，则3,2BCAD DCAD，所以225ACADDCAD由正弦定理，知sinsinACBCBA，即53sin22ADADA，解得3 10sin10A，故选 D 考点：正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解 (10)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）1836 5 （B）54 18 5 （C）90 （D）81【答案】B 考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解 (11)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4 （B）92 （C）6 （D）323 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选 B 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解 （12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13 （B）12 （C）23 （D）34【答案】A 考点：椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值，进而求得e的值；（2）建立,a b c的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若,x y满足约束条件210,210,1,xyxyx 错误!未找到引用源。则235zxy的最大值为_.【答案】10 考点：简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果 （14）函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像可由函数2sinyx错误!未找到引用源。的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】3【解析】试题分析：因为sin3cos2sin()3yxxx，所以函数sin3cosyxx的的图像可由函数2sinyx的图像至少向右平移3个单位长度得到 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少 （15）已知直线l：360 xy与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于,C D两点，则|CD _.【答案】4【解析】试题分析：由360 xy，得36xy，代入圆的方程，并整理，得23 360yy，解得122 3,3yy，所以120,3xx，所以221212|()()2 3ABxyyy又直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|4cos30ABCD 考点：直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决 （16）已知 f x为偶函数，当0 x 时，1()xf xex，则曲线 yf x在点(1,2)处的切线方程式_.【答案】2yx 考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0 x 时，函数()yf x，则当0 x 时，求函数的解析式”有如下结论：若函数()f x为偶函数，则当0 x 时，函数的解析式为()yf x；若()f x为奇函数，则函数的解析式为()yfx 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）已知各项都为正数的数列 na满足11a，211(21)20nnnnaaaa.（I）求23,a a；（II）求 na的通项公式.【答案】（）41,2132aa；（）121nna【解析】试题分析：（）将11a 代入递推公式求得2a，将2a的值代入递推公式可求得3a；（）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列na为等比数列，由此可求得数列na的通项公式 试题解析：（）由题意得41,2132aa.5 分 考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1nnaqa（常数）；（2）中项法，即证明212nnnaa a根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解 （18）（本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，72.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yab 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，aybt 【答案】（）理由见解析；（）1.82 亿吨（）由331.1732.9y及（）得103.02889.2)()(71271iiiiittyyttb，92.04103.0331.1t bya，所以，y关于t的回归方程为：ty10.092.0.将 2016 年对应的9t代入回归方程得：82.1910.092.0y，所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性 （19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABC中，PA 平面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点 （I）证明MN平面PAB；（II）求四面体NBCM的体积.【答案】（）见解析；（）4 53 试题解析：（）由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN/，221BCTN.3 分 又BCAD/，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN/.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB.6 分 （）因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA21.9 分 取BC的中点E，连结AE.由3 ACAB得BCAE，522BEABAE.由BCAM 得M到BC的距离为5，故525421BCMS，所以四面体BCMN 的体积354231PASVBCMBCMN.12 分 考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解 （20）（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,l l分别交C于,A B两点，交C的准线于PQ，两点（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）21yx 试题解析：由题设)0,21(F.设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),21(),21(),2(),0,2(22baRbQaPbbBaA.记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax.3 分（）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak，所以ARFQ.5 分（）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba.而yba2，所以)1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12 xy.12 分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点 （21）（本小题满分 12 分）设函数()ln1f xxx（I）讨论()f x的单调性；（II）证明当(1,)x时，11lnxxx；（III）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc.【答案】（）当01x时，()f x单调递增；当1x 时，()f x单调递减；（）见解析；（）见解析 试题解析：（）由题设，()f x的定义域为(0,)，1()1fxx，令()0fx，解得1x.当01x时，()0fx，()f x单调递增；当1x 时，()0fx，()f x单调递减.4 分（）由（）知，()f x在1x 处取得最大值，最大值为(1)0f，所以当1x 时，ln1xx，故当(1,)x时，ln1xx，11ln1xx，即11lnxxx.7 分（）由题设1c，设()1(1)xg xcxc，则()1lnxg xccc 令()0g x，解得01lnlnlnccxc.当0 xx时，()0g x，()g x单调递增；当0 xx时，()0g x，()g x单调递减.9 分 由（）知，11lnccc，故001x又(0)(1)0gg，故当01x时，()0g x，所以当(0,1)x时，1(1)xcxc.12 分 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明 请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，O中AB的中点为P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点（I）若2PFBPCD，求PCD的大小；（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD 【答案】（）60；（）见解析（）因为BFDPCD，所以180PCDEFD，由此知EFDC,四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过EFDC,四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此CDOG 考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()2 24（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.【答案】（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy；（）3 1(,)2 2 试题解析：（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy.5 分（）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为2C是直线，所以|PQ的最小值即为P到2C的距离()d的最小值，|3cossin4|()2|sin()2|32d.8 分 当且仅当2()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为3 1(,)2 2.10 分 考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos,cos)ab，将其转化为三角问题进行求解 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f xxaa（I）当2a 时，求不等式()6f x 的解集；（II）设函数()|21|g xx当xR时，()()3f xg x，求a的取值范围【答案】（）|13xx；（）2,)试题解析：（）当2a 时，()|22|2f xx.解不等式|22|26x，得13x，因此，()6f x 的解集为|13xx.5 分（）当xR时，()()|2|12|f xg xxaax|212|xaxa|1|aa，当12x 时等号成立，所以当xR时，()()3f xg x等价于|1|3aa.7 分 当1a 时，等价于13aa，无解；当1a 时，等价于13aa，解得2a，所以a的取值范围是2,).10 分 考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|abab，当且仅当0ab时，等号成立，对|ababab，如果0ab，当且仅当ab且0ab 时左边等号成立，当且仅当0ab 时右边等号成立