2009年北京高考理科数学试题.pdf

1 2009 年北京市普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）一、本大题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数(12)zii对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知向量,a b不共线，(),ckab kR dab如果/cd，那么 A1k 且c与d同向 B1k 且c与d反向 C1k 且c与d同向 D1k 且c与d反向 3为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点 A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 4若正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 1，1AB与底面ABCD成 60角，则11AC 到底面ABCD的距离为 A33 B1 C2 D3 5“2()6kkZ”是“1cos22”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6若5(12)2(,aba b为有理数），则ab A45 B55 C70 D80 7用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A324 B328 C360 D648 8 点P在直线:1l yx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于,A B两点，且|PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是 A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。2 91lim1xx xxx_。10若实数,x y满足2045xyxy则syx的最小值为_。11设()f x是偶函数，若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线的斜率为 1，则该曲线在点(1,(1)f处的切线的斜率为_。12椭圆22192xy的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1|4PF，则2|PF _；12FPF的小大为_。13若函数1,0()1(),03xxxf xx 则不等式1|()|3f x 的解集为_。14已知数列na满足：434121,0,N,nnnnaaaa n则2009a_；2014a=_。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共 13 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,3a b c B，4cos,35Ab。（I）求sinC的值；（）求ABC的面积。16（本小题共 14 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面,60,90ABC PAABABCBCA，点D，E分别在棱,PB PC上，且/DEBC（I）求证：BC 平面PAC；（）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；（）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说 明理由。3 17（本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min。（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。18（本小题共 13 分）设函数()(0)kxf xxek（I）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数()f x的单调区间；（）若函数()f x在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围。19（本小题共 14 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x （I）求双曲线C的方程；（）设直线l是圆22:2O xy上动点0000(,)(0)P xyx y 处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,A B，证明AOB的大小为定值。4 20（本小题共 13 分）已知数集1212,(1,2)nnAa aaaaa n具有性质P；对任意的,(1)i jijn，ija a与jiaa两数中至少有一个属于A。（I）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：11a，且1211112;nnnaaaaaaa（）证明：当5n 时，12345,a a a a a成等比数列。