2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(文科)解析版.pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 3 至4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 50 分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式 球体的面积公式 S=4R2 球的体积公式 V=43R3 其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=13Sh 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=11221()3h SS SS 其中 S1，S2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=1，2，3，4，5，6，设集合 P=1，2，3，4，Q3，4，5，则 P（CUQ）=A.1，2，3，4，6 B.1，2，3，4，5 C.1，2，5 D.1,2【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。【解析】Q3，4，5，CUQ=1，2，6，P（CUQ）=1，2.2.已知i是虚数单位，则31ii=A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。【解析】31ii(3)(1)2412(1)(1)2iiiiii.3.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【答案】C【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为 1 和 2，整个棱锥的高由侧视图可得为 3，所以三棱锥的体积为111 2 3132 .4设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax+2y=0 与直线 l2：x+(a+1)y+4=0平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查。【解析】当121aa，解得1a 或2a .所以，当 a1 是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，1a 或2a ，不是必要条件，故选 A.5.设l是直线，a，是两个不同的平面 A.若la，l，则 a B.若la，l，则 a C.若 a，la，则l D.若 a,la，则l【答案】B【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，la，l，则 a如选项 A：la，l时，a或 a；选项 C：若 a，la，l或l；选项 D：若若 a,la，l或l 6.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），然后向左平移 1个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在 x 轴上的伸缩变换，在 x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。【解析】由题意，y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），即解析式为 y=cosx+1，向左平移一个单位为 y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos（x-1)，利用特殊点,02变为1,02，选A.7.设 a，b 是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则 ab B.若 ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得 b=a D.若存在实数，使得 b=a，则|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，|ab|a|b|，则 a，b 共线，即存在实 数，使得 ab如选项 A：|ab|a|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项 D：若存在实数，使得 ab，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立 8.如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点。若 M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C.3 D.2【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为2a，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则222aa，即2aa，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的离心率为cea，cea，2eaea.9.若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是 A.245 B.285 C.5 D.6【答案】C【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧。【解析】x+3y=5xy，135yx，1131 31213(34)()()555xyxyyxyx 113236555.10.设 a0，b0，e 是自然对数的底数 A.若 ea+2a=eb+3b，则 ab B.若 ea+2a=eb+3b，则 ab C.若 ea-2a=eb-3b，则 ab D.若 ea-2a=eb-3b，则 ab21 世纪教育网【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23abeaeb，必有22abeaeb构造函数：2xfxex，则 20 xfxe恒成立，故有函数 2xfxex在 x0 上单调递增，即 ab 成立其余选项用同样方法排除 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文科）非选择题部分（共 100 分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。二、填空题:本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。11.某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280 的样本，则此样本中男生人数为_.【答案】160【命题意图】本题考查了随机抽样中的分层抽样，也是随机抽样中惯考的形式，利用总体重的个体数比，确定样本中某一个体的样本容量。【解析】总体中男生与女生的比例为4:3，样本中男生人数为42801607.12.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是_。【答案】25【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。【解析】若使两点间的距离为22，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为142542105CC.13.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_。【答案】1120【命题意图】本题主要考查了框图。【解析】T，i 关系如下图：T 1 12 16 124 1120 i 2 3来源:21世纪教育网 4 5 6 14.设 z=x+2y，其中实数 x，y 满足102000 xyxyxy，则 z 的取值范围是_。【答案】72【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确，表示出区域，然后借助于直线平移大得到最值.【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标函数最小，当目标函数过点1 3,2 2时最大值为72.15.在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC=_.【答案】-16 【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.【解析】由余弦定理222222cos532 5 3cosABAMBMAM BMAMBAMB ，222222cos352 5 3cosACAMCMAM CMAMCAMC ，0180AMBAMC，两式子相加为222222222(35)68ACABAMCM，2222221068 100cos222ABACBCABACBACABACABACABAC，68 100cos162AB ACAB ACBACAB ACABAC.16.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x1，则3f2（）=_。【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.【解析】331113()(2)()()1222222ffff.17.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_.【答案】74【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题，利用单数综合解决曲线到直线的距离转为点到直线的距离.【解析】C2：x 2(y4)2 2，圆心(0，4)，圆心到直线 l：yx 的距离为：0(4)2 22d，故曲线 C2到直线 l：yx 的距离为22ddrd 另一方面：曲线C1：yx 2a，令20yx，得：12x，曲线 C1：yx 2a 到直线 l：yx的距离的点为(12，14a)，111()72442422aada 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分 14 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。（1）求角 B 的大小；（2）若 b=3，sinC=2sinA，求 a，c 的值.【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】（1）bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB，即得tan3B，3B.（2）sinC=2sinA，由正弦定理得2ca，由余弦定理2222cosbacacB，229422 cos3aaaa，解得3a，22 3ca.21 世纪教育网 19.（本题满分 14 分）已知数列an的前n项和为Sn，且 Sn=22nn，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。（1）由Sn=22nn，得 当n=1 时，113aS；当n2 时，1nnnaSS2222(1)(1)41nnnnn，nN.由an=4log2bn3，得21nbn，nN.21 世纪教育网（2）由（1）知1(41)2nnna bn，nN 所以2137 2 11 2.41 2nnTn ，2323 27 211 2.41 2nnTn ，21241 234(22.2)nnnnTTn(45)25nn(45)25nnTn，nN.20.（本题满分 15 分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E 是 DD1的中点，F 是平面B1C1E 与直线 AA1的交点。（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面 B1C1EF；（2）求 BC1与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。21 世纪教育网 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行，线面垂直和线面角的计算，注重与平面几何的综合,同时考查空间想象能力和推理论证能力.（1）（i）因为1111/C BAD，11C B 平面ADD1 A1，所以11/C B平面ADD1 A1.21世纪教育网 又因为平面11BC EF平面ADD1 A1=EF，所以11/C BEF.所以11/ADEF.（ii）因为11111BBABC D，所以111BBBC，又因为111BBB A，所以1111BCABB A，在矩形11ABB A中，F 是 AA 的中点，即1112tantan2AB FAAB.即 111AB FAA B，故11BAB F.所以1BA 平面11BC EF.(2)设1BA与1B F交点为 H，连结1C H.由（1）知11BC EF，所以1BC H是1BC与平面11BC EF所成的角.在矩形11ABB A中，2AB，12AA，得46BH，在直角1BHC中，12 3BC，46BH，得 1130sin15BHBC HBC，所以 BC 与平面11BC EF所成角的正弦值是3015.21.（本题满分 15 分）已知 aR，函数3()42f xxaxa（1）求 f(x)的单调区间（2）证明：当 0 x1 时，f(x)+2a0.【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】（1）由题意得2()122fxxa，当0a 时，()0fx恒成立，此时()f x的单调递增区间为,.当0a 时，()12()()66aafxxx，此时函数()f x的单调递增区间为,66aa.(2)由于01x，当2a 时，33()2422442f xaxaxxx.当2a 时，333()242(1)244(1)2442f xaxaxxxxx.设3()221,01g xxxx，则233()626()()33g xxxx.则有 x 0 30,3 33 3,13 1()g x -0+()g x 1 减 极小值 增 1 所以min34 3()()1039g xg.当01x时，32210 xx.故3()24420f xaxx.22.（本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1，12）到抛物线 C：2y=2px（P0）的准线的距离为54。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM平分。（1）求 p,t 的值。（2）求ABP 面积的最大值。【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由题意得215124ptp，得121pt.（2）设1122(,),A x yB xy，线段 AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k0）.由2112222px2pxyy，得211221()()()yyyyk xx，得21km21 世纪教育网 所以直线的方程为1()2ymxmm，即2220 xmymm.由22220 xmymmyx，整理得22220ymymm，来源:21 世纪教育网 所以244mm，122yym，2122y ymm.从而得 22122111444AByymmmk，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 2212214mmdm，设ABP 的面积为 S，则22112()2SAB dmmmm.由2440mm，得01m.令2tmm，102t，则2(12)Stt.设2(12)Stt，102t，则216St .由21 60St ，得610,62t，所以max69S，故ABP 的面积的最大值为69.