(新高考)2022版高考数学二轮复习专项小测18“17～19题”+“二选一”理.pdf

新高考 2022 版高考数学二轮复习专项小测 18“1719 题“二选一理 -2-专项小测(十八)“1719 题“二选一 时间：45 分钟 总分值：46 分 17(12 分)数列an满足an0，且 3an3an1anan1，等比数列bn中，b2a1，b43，b69.(1)证明：数列1an为等差数列，并求数列an的通项公式(2)求数列anan1的前n项和Sn.解：(1)因为an0，且 3an3an1anan1，所以等号两边同时除以 3anan1，得1an11an13，所以数列1an是公差为13的等差数列 (2 分)因为bn是等比数列，所以b2b6b24，又b43，b69，所以 9b29，所以b21，(4 分)-3-所以a1b21，故1an1a113(n1)113(n1)n23，an3n2.(6 分)(2)由(1)知anan19n2n391n21n3，(8 分)所以Sn9131414151n21n3 9131n33nn3.(12 分)18(12 分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4 33的菱形，BCD60，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，EFAB，FBFC，EF2 33.-4-(1)求证：OE平面ABCD；(2)假设FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值 解：(1)证明：取BC的中点H，连结OH、FH、OE.因为FBFC，所以FHBC.因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FH 平面FBC，所以FH平面ABCD.(2 分)因为H、O分别为BC、AC的中点，所以OHAB且OH12AB2 33.(4 分)又因为EFAB，EF2 33，所以EF綊OH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OEFH，所以OE平面ABCD.(6 分)-5-(2)因为菱形ABCD，所以OAOCOEFH2，所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如下图 那么A(2,0,0)，B0，2 33，0，C(2,0,0)，E(0,0,2)，所以Q(1,0,1)，BC2，2 33，0，CQ(3,0,1)(8 分)设平面BCQ的法向量为m(x，y，z)由 BCm0CQm0得 2x2 33y0，3xz0，取x1，那么y 3，z3 -6-可得m(1，3，3)，平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)(10 分)设二面角QBCA的平面角为，那么 cosm，nmn|m|n|31 1393 1313.因为二面角QBCA的平面角为锐角，所以cos3 1313，所以二面角QBCA的余弦值为3 1313.(12 分)19(12 分)某公司为了提高利润，从 2022 年至 2022 年每年对生产环节的改良进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 -7-投资金额x(万元)4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长y(万元)6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果 2022 年该公司方案对生产环节的改良的投资金额为 8 万元，估计该公司在该年的年利润增长多少？(结果保存两位小数)(2)现从 2022 年2022 年这 7 年中抽出三年进行调查，记年利润增长投资金额，设这三年中2(万元)的年份数为，求随机变量的分布列与期望 参考公式：-8-bni1 xixyiyni1 xix2ni1xiyinxyni1x2inx2，aybx，参考数据：7i1xiyi359.6，7i1x2i259.解：(1)x17(4.55.5566.577.5)6，y17(677.48.18.99.611.1)8.3，7x y348.6，b7i1xiyi7xy7i1x2i7x2359.6348.62597361171.571，aybx8.31.57161.1261.13，-9-那么回归直线方程为y1.57x1.13，(2分)将x8 代入方程得y1.5781.1311.43，(4 分)即该公司在该年的年利润增长大约为 11.43万元.(6 分)(2)由题意可知，年份 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6 的可能取值为 1,2,3，P(1)C22C15C3717，P(2)C12C25C3747，P(3)C35C3727，(8 分)那么分布列为 1 2 3 -10-P 17 47 27 (10 分)E()117247327157.(12 分)(二)选考题：共 10 分，请考生在第 22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x22cos，y2sin(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)A，B是曲线C上任意两点，且AOB3，求OAB面积的最大值 解：(1)消去参数，得到曲线C的普通方程为 -11-(x2)2y24，故曲线C的极坐标方程为4cos.(5分)(2)在极坐标系中，不妨设A(1，0)，B2，03，其中10，20，202.由(1)知14cos0，24cos03，所以OAB面积 S1212sin34 3cos0cos03，所以S2 3cos206sin0cos0 3(1cos20)3sin202 3cos203 3.当 203 0 时，即0 6，cos203 有最大值 1，此时Smax3 3，-12-故OAB面积的最大值为 3 3.(10 分)23选修 45：不等式选讲(10 分)正实数a，b满足ab2.(1)求证：2a1 2b12 3；(2)假设对任意正实数a，b，不等式|x1|x3|ab恒成立，求实数x的取值范围 解：(1)(2a1 2b1)22(ab)22 2a1 2b162(ab)212，所以 2a1 2b12 3.(5 分)(2)对正实数a，b有ab2ab，所以 2ab2，解得ab1，当且仅当ab时等号成立 因为对任意正实数a，b，|x1|x3|ab恒成立，所以|x1|x3|1 恒成立 当x1 时，不等式化为x1(3x)1，整理得41，不等式无解；-13-当1x3 时，不等式化为x1(3x)1，解得32x3；当x3 时，不等式化为x1(x3)1，整理得 41，不等式恒成立 综上可得x的取值范围是32，.(10 分)