2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ).pdf

第1页（共22页）2017 年全国统一高考数学试卷(理科）（新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）=（）A1+2i B12i C2+i D2i 2(5 分）设集合 A=1,2，4,B=xx24x+m=0若 AB=1，则 B=（)A1,3 B1，0 C 1,3 D1，5 3（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（)A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为（）A90 B63 C42 D36 5（5 分）设 x,y 满足约束条件,则 z=2x+y 的最小值是（）A15 B9 C1 D9 第2页（共22页）6(5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有 2 位优秀，2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8（5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=1，则输出的 S=(）A2 B3 C4 D5 9（5 分)若双曲线 C：=1（a0，b0)的一条渐近线被圆(x2）2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A2 B C D 10（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC=120，AB=2，BC=CC1=1,则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（)第3页（共22页）A B C D 11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x)的极小值为(）A1 B2e3 C5e3 D1 12（5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则(+）的最小值是(）A2 B C D1 三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）一批产品的二等品率为 0。02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX=14（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x0,）的最大值是 15（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=16（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|=三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第 1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17（12 分）ABC 的内角 A,B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 面积为 2,求 b 18（12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg）,其频率分布直方图如图：第4页（共22页）（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 (3）根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0。01）附：P（K2k)0。050 0。010 0。001 K 3。841 6。635 10.828 K2=19(12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD,BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点(1）证明：直线 CE平面 PAB；(2）点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值 第5页（共22页）20（12 分)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F 21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x)0(1)求 a；(2）证明：f(x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22 （二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos=4(1）M 为曲线 C1上的动点,点 P 在线段 OM 上，且满足OM|OP|=16，求点 P的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为(2，）,点 B 在曲线 C2上,求OAB 面积的最大值 选修 45：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：(1）（a+b）（a5+b5）4；(2）a+b2 第6页（共22页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(5 分）(2017新课标）=（)A1+2i B12i C2+i D2i【解答】解：=2i，故选 D 2（5 分)（2017新课标）设集合 A=1,2,4，B=x|x24x+m=0若 AB=1，则 B=（）A 1，3 B1，0 C1，3 D1，5【解答】解：集合 A=1，2,4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 1A 且 1B,可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=xx24x+3=0=1，3 故选：C 3(5 分）（2017新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座 7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯(）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，第7页（共22页）又总共有灯 381 盏，381=127a,解得 a=3,则这个塔顶层有 3 盏灯,故选 B 4(5 分）(2017新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（)A90 B63 C42 D36【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210326=63，故选：B 5（5 分）（2017新课标)设 x，y 满足约束条件,则 z=2x+y 的最小 第8页（共22页）值是（）A15 B9 C1 D9【解答】解：x、y 满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值,由解得 A（6，3），则 z=2x+y 的最小值是：15 故选:A 6（5 分）(2017新课标）安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【解答】解:4 项工作分成 3 组，可得：=6,安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6=36 种 故选：D 7(5 分）（2017新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 第9页（共22页）【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良,甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩,故选：D 8（5 分）（2017新课标)执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的S=（）A2 B3 C4 D5【解答】解：执行程序框图,有 S=0,k=1，a=1,代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1,k=2；满足条件,第二次满足循环，S=1，a=1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=2,a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环,S=2,a=1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1,k=6;第10页（共22页）满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1,k=7；76 不成立,退出循环输出，S=3；故选：B 9(5 分）（2017新课标）若双曲线 C：=1(a0，b0）的一条渐近线被圆（x2)2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A2 B C D【解答】解：双曲线 C：=1(a0，b0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4 的圆心（2,0），半径为：2，双曲线 C：=1(a0，b0）的一条渐近线被圆(x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2,可得圆心到直线的距离为：=，解得：,可得 e2=4,即 e=2 故选：A 10（5 分）(2017新课标)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为(）A B C D【解答】解：如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知 MN=AB1=，NP=BC1=；第11页（共22页）作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形;PQ=1,MQ=AC,ABC 中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=,MQ=；在MQP 中，MP=；在PMN 中，由余弦定理得 cosMNP=；又异面直线所成角的范围是（0，AB1与 BC1所成角的余弦值为 11（5 分)（2017新课标)若 x=2 是函数 f（x）=(x2+ax1）ex1的极值点，则 f(x）的极小值为（）A1 B2e3 C5e3 D1【解答】解：函数 f(x）=(x2+ax1）ex1，可得 f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，第12页（共22页）x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点,可得:4+a+（32a）=0 解得 a=1 可得 f(x)=（2x1）ex1+(x2x1)ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1,当 x2 或 x1 时，f（x）0 函数是增函数，x(2,1)时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1211)e11=1 故选：A 12(5 分)(2017新课标）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC内一点,则（+）的最小值是（）A2 B C D1【解答】解：建立如图所示的坐标系,以 BC 中点为坐标原点，则 A(0，），B（1，0），C(1，0），设 P（x,y）,则=（x，y)，=(1x，y）,=（1x,y）,则（+）=2x22y+2y2=2x2+（y）2 当 x=0,y=时，取得最小值 2（）=，故选:B 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13(5 分）（2017新课标）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数,则 DX=1.96 第13页（共22页）【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型，其中,p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=1000。020.98=1。96 故答案为：1.96 14（5 分）（2017新课标）函数 f（x）=sin2x+cosx（x0,）的最大值是 1 【解答】解：f（x)=sin2x+cosx=1cos2x+cosx，令 cosx=t 且 t0，1，则 f(t）=t2+t+=（t)2+1，当 t=时，f（t）max=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1 15（5 分）（2017新课标）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=【解答】解:等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3)=10，可得 a2=2,数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，则=21+=2（1）=故答案为：16（5 分)（2017新课标）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN|=6 【解答】解：抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0）,M 是 C 上一点，FM 的延长线交 第14页（共22页）y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点,可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：，|FN|=2FM|=2=6 故答案为:6 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第 1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17（12 分)（2017新课标）ABC 的内角 A，B,C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C)=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 面积为 2,求 b【解答】解：(1)sin（A+C）=8sin2，sinB=4(1cosB）,sin2B+cos2B=1，16(1cosB)2+cos2B=1，(17cosB15）（cosB1）=0，cosB=；(2)由（1）可知 sinB=，SABC=acsinB=2，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2 18（12 分）（2017新课标)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg），第15页（共22页）其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计 A 的概率;（2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0。01）附:P（K2k）0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10。828 K2=【解答】解:（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”，由 P(A)=P(BC）=P（B）P(C）,则旧养殖法的箱产量低于 50kg:(0.012+0.014+0.024+0。034+0.040）5=0。62,故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0。068+0。046+0。010+0。008）5=0。66，故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.620。66=0。4092;第16页（共22页）A 发生的概率为 0。4092；（2)22 列联表：箱产量50kg 箱产量50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则 K2=15。705，由 15。7056.635,有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3)由题意可知：方法一：=5（37。50。004+42.50。020+47。50.044+52。50。068+57。50。046+62。50.010+67.50。008)，=510。47,=52.35（kg）新养殖法箱产量的中位数的估计值 52。35(kg）方法二:由新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50kg 的直方图的面积:（0.004+0.020+0.044）5=0.034，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004+0.020+0。044+0。068）5=0。680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为:50+52.35(kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值 52。35（kg)19（12 分）（2017新课标)如图，四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 MABD的余弦值 第17页（共22页）【解答】（1)证明:取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，AB=BC=AD,BAD=ABC=90，BCAD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF 平面 PAB，CF平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2)解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1,OP=，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，可得:BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2,BN=，MN=，作 NQAB 于 Q，连接 MQ，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ=，二面角 MABD 的余弦值为：=第18页（共22页）20(12 分）（2017新课标）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N，点 P 满足=(1）求点 P 的轨迹方程；（2)设点 Q 在直线 x=3 上,且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过C 的左焦点 F【解答】解：（1)设 M（x0，y0），由题意可得 N(x0,0)，设 P(x,y)，由点 P 满足=可得(xx0,y）=（0，y0),可得 xx0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1,即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2;（2）证明：设 Q（3，m)，P（cos，sin），（02），=1,可得（cos,sin)（3cos，msin）=1,即为3cos2cos2+msin2sin2=1，解得 m=，即有 Q（3,），椭圆+y2=1 的左焦点 F（1，0）,由 kOQ=，第19页（共22页）kPF=，由 kOQkPF=1,可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 21(12 分)(2017新课标）已知函数 f（x)=ax2axxlnx,且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【解答】（1）解：因为 f(x）=ax2axxlnx=x（axalnx)（x0),则 f(x)0 等价于 h（x)=axalnx0，因为 h（x）=a，且当 0 x时 h（x）0、当 x时 h（x）0，所以 h（x）min=h（)，又因为 h(1）=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；（2）证明:由（1）可知 f（x）=x2xxlnx,f(x）=2x2lnx，令 f（x）=0,可得 2x2lnx=0，记 t(x）=2x2lnx，则 t（x)=2，令 t（x)=0，解得：x=，所以 t（x）在区间（0，)上单调递减,在（，+）上单调递增，所以 t（x）min=t（）=ln210，从而 t（x）=0 有解,即 f(x）=0 存在两根 x0，x2，且不妨设 f（x）在(0，x0)上为正、在（x0,x2）上为负、在(x2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0,且 2x02lnx0=0，所以 f（x0）=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 f（x0)（x0）max=+=；由 f（)0 可知 x0，所以 f（x）在(0,x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，第20页（共22页）所以 f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22 (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分 选修 44：坐标系与参数方程（22（10 分）（2017新课标）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足OMOP=16,求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程;（2）设点 A 的极坐标为（2,），点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值【解答】解：（1）曲线 C1的直角坐标方程为：x=4,设 P(x，y），M(4，y0），则,y0=，|OM|OP|=16，=16,即（x2+y2）（1+)=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即(x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：(x2）2+y2=4（x0）,点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程:（x2）2+y2=4(x0)（2）点 A 的直角坐标为 A(1，）,显然点 A 在曲线 C2上，|OA=2，曲线 C2的圆心(2，0）到弦 OA 的距离 d=，AOB 的最大面积 S=|OA（2+）=2+选修 45:不等式选讲 23（2017新课标)已知 a0,b0，a3+b3=2，证明：(1）（a+b）（a5+b5）4；第21页（共22页）(2)a+b2【解答】证明：(1)由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=(a3+b3）24,当且仅当=,即 a=b=1 时取等号，（2）a3+b3=2,（a+b)（a2ab+b2)=2，(a+b）(a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab,由均值不等式可得：=ab()2，（a+b）32，（a+b)32，a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立 第22页（共22页）参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn;qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb(排名不分先后）菁优网 2017 年 6 月 12 日