2010年北京高考理科数学试题.pdf

1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）第卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）集合203,9PxZxMxZ x，则PM=（A）1,2 （B）0,1,2 （C）|03xx （D）|03xx（2）在等比数列 na中，11a，公比1q.若12345maa a a a a，则 m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（A）8289A A （B）8289A C （C）8287A A （D）8287A C （5）极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线（6）ab、为非零向量.“ab”是“函数()()()f xxabxba为一次函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 2（7）设不等式组1103305390 xyxyxy 表示的平面区域为 D，若指数函数xya的图像上存在区域 D 上的点，则a的取值范围是 （A）(1,3 (B)2,3 (C)(1,2 (D)3,(8)如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，动点 E、F 在棱11AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1，1AE=x，DQ=y，Dz（xyz、大于零），则四面体PEFQ的体积 （）与xyz、都有关 （）与x有关，与y、z无关 （）与y有关，与x，z无关 （）与z有关，与x，y无关 第 II 卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在复平面内，复数21ii对应的点的坐标为 。（10）在ABC 中，若 b=1，c=3，23C，则 a=。（11）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 a 。若要从身高在 120,130），130，140),140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选 取 18 人 参 加 一 项 活 动，则 从 身 高 在 140，150 内 的 学 生 中 选 取 的 人 数 应 为 。AD（12）如图，O的弦 ED，CB 的延长线交于点 A。若 BDAE，AB4,BC2,3,则 DE ；CE 。3 （13）已知双曲线22221ab的离 心率为 2，焦点与椭圆221259的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。（14）如图放置的边长为 1的 正方形 PABC 沿x轴滚动.设顶点(,)P x y的轨迹方程是()yf x，则函数()f x的最小正周期为 ；()yf x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形 PABC 沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 PABC 可以沿x轴负方向滚动。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共 13 分）已知函数2()2cos2sin4cos.f xxxx（）求()3f的值；（）求()f x的最大值和最小值。（16）（本小题共 14 分）4 如图，正方形 ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求证：AF平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。(17)(本小题共 13 分)某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 p 6125 a d 24125()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；()求p，q的值；()求数学期望E。5 (18)(本小题共 13 分)已知函数2()ln(1)(0)2kf xxxxk()当k=2 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；()求f(x)的单调区间。6 （19）（本小题共 14 分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。7 （20）（本小题共 13 分）已知集合121|(,),0,1,1,2,(2)nnSXXx xxxinn，对于12(,)nAa aa，12(,)nnBb bbS，定义 A 与 B 的差为 1122(|,|,|);nnABababab A 与 B 之间的距离为111(,)nid A Bab （）证明：,nnA B CSABS有，且(,)(,)d AC BCd A B;（）证明：,(,),(,),(,)nA B CSd A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数()设 PnS，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为()d P.证明：()2(1)mnd Pm