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time series 这是我大学四年里上过最难的课？Moving Average process,AR,ARMA,ARIMA.真切地感受到数学统计的魅力（误），和复习的艰辛。一、基础 1、时间序列简单模型 时间序列的目的就是分析数据，找到规律然后预测未来。Yt 是一个 time series process，我们可以用四个部分描述：Trend：一个平滑没有上下波动长期的曲线 Seasonal effect:是一个跟随期间所变化的变动（比如月度，季度和年度）Cyclical fluctuations:因为不同原因造成的沿着 Trend 变化的变动 Residual(error):其他变动 两种简单模型：additive model:yt=mt+st+zt multiplicative model:yt=mt.st+zt 其中：mt=mean(trend)at time t st=seasonal effect at time t zt=error at time t 2、检验时间序列的随机性 对于一个表现出不规律波动的序列，我们首先用最简单假设就他是随机的。-Turning point test 我们确定波动就是看 turning point，如果一个点比周围两个点低或高，那么这一个就是 turning point。定义一个计数变量：Xt=1 当 或者 yt 1yt+1 或者 yt1ytyt+1,Xt=0 当其他情况出现。P 是 turning points 的数量，因为在时间 1 和 n，没有 turning point，所以 P=t=2n 1Xt。P 很大的话代表波动起伏很大，P 小的话代表相对平滑。Var(P)=t=2n 1Var(Xt)+2i=2n 2j=i+1n 1Cov(Xt,Xt+2)3、Operators 其实就是代表的几个符号。Forward shift F:FYt=Yt+1,FrYt=Yt+r,F1/2Yt=Yt+1/2 Backward shift B:BYt=Yt 1 Identity I:IYt=Yt Difference D:DYt=Yt Yt 1 Summation S:SYt=Yt+Yt 1+Yt 2.其中：B 1F,D1 B,S(1 B)1 4、描述 serial dependence-autocorrelations(自相关性)and correlogram（相关图）autocorrelation 就是 serial correlation。对于相关性，可以用 sample autocorrelation coefficient 来描述。对于 sample autocorrelation coefficient of lag 1(serial c.c.of lag 1)，(n-1)对观察值(y1,y2),(y2,y3),.,(yn 1,yn)。其实就是 y1,.,yn 1 和 y2,.,yn 提出来看。coefficient r1=i=1n 1(yi y(1)(yi+1 y(2)i=1n1(yi y(1)2.i=1n 1(yi+1 y(2)2 其中：y(1)=1n 1i=1n 1yi,y(2)=1n 1i=2nyi 对于 n 很大的情况下，以上两种都近似为 y=1ni=1nyi。对于 sample autocorrelation coefficient of lag k，对观察值(y1,yk+1),(y2,yk+2),.,(yn k,yn),rk=i=1n k(yi y)(yi+k y)i=1n(yi y)2
