《常微分方程》答案习题(16).pdf
习题 4.1 1.设tx和ty是区间bta上的连续函数，证明：如果在区间bta上有tytx常数或txty常数，则tx和ty在区间bta上线形无关。证明：假设在tx，ty在区间bta上线形相关 则存在不全为零的常数，使得0tytx 那么不妨设tx不为零，则有txty 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立tx，ty在区间bta上线形无关 2.证明非齐线形方程的叠加原理：设tx1，tx2分别是非齐线形方程 xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1 （1）xtadtxdtadtxdnnnnn111tf2 （2）的解，则tx1+tx2是方程 xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1+tf2的解。证明：由题可知tx1，tx2分别是方程（1），（2）的解 则：tftxtadttxdtadttxdnnnnn1111111 （3）tftxtadttxdtadttxdnnnnn2212112 （4）那么由（3）+（4）得：txtxtadttxtxdtadttxtxdnnnnn211211121tf1+tf2 即tx1+tx2是方程是xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1+tf2的解。3.试验证 xdtxd220 的基本解组为ttee,，并求方程 xdtxd22tcos的通解。证明：由题将te代入方程 xdtxd220 得：te-te=0,即te是该方程的解，同理求得te也是该方程的解 又 显 然ttee,线 形 无 关，故ttee,是 xdtxd220的 基 本 解 组。由题可设所求通解为：txttetcetc21，则有：解之得：2211sincos41;sincos41cttetccttetctt 故所求通解为：tecectxttcos2121 4.试验证xtdtdxttdtxd111220 有基本解组 t，te，并求方程 xtdtdxttdtxd11122t-1 的通解。解：由题将 t 代入方程xtdtdxttdtxd111220 得：01111122ttttttdtdtttdttd，即 t 为该方程的解 同理te也是该方程的解，又显然 t，te线形无关，故 t，te是方程xtdtdxttdtxd111220 的基本解组 由题可设所求通解为tetcttctx21，则有：tetcetcetcetcttttcos02121102121tetctcetcttctt 解之得：2211,cetetccttctt 故所求通解为2211tectctxt 5.以 知 方 程 xdtxd220的 基 本 解 组 为ttee,，求 此 方 程 适 合 初 始 条 件 10,0000,10 xxxx及的基本解组（称为标准基本解组，即有 10 w）并求出方程的适合初始条件 000,0 xxxx的解。解：ttee,时间方程 xdtxd220 的基本解组，故存在常数21,cc使得：ttecectx21 于是：ttecectx21 令 t=0,则有方程适合初始条件 00,10 xx，于是有：0102010201ecececec解得：1c21,212c 故tteetx2121 又该方程适合初始条件 10,00 xx，于是：1002010201ecececec解得：21,2121cc 故tteetx2121 显然tx1，tx2线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：tteetx2121，tteetx2121 而此方程同时满足初始条件 000,0 xxxx，于是：0020100201xececxecec解得：2,2002001xxcxxc 故ttexxexxtx220000满足要求的解。6.设txini,2,1是齐线形方程（4.2）的任意 n 个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为tw，试证明tw满足一阶线形方程01wtaw，因而有：ttdssaetwtw010bat,解：nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtw12211111111111 又txini,2,1满足0111inninninxtadtxdtadtxd 即xtadtxdtadtxdnninnin111 121nktaktwk，为，加到最后一行行都乘以中第 则：twtataxxxxxxxxtwnnnnnnnn1111122111 即01wtaw 则有：dttatwtw1 ttdssatwntwdssatttwtt010100ln,ln则积分：到两边从 即：ttdssaetwtw010 bat,7.假设01tx是二阶齐线形方程021 xtaxtax（*）的解，这里tata21和 在 区 间ba,上 连 续，试 证：（1）tx2是 方 程 的 解 的 充 要 条 件 为：0,21121xxwaxxw；（2）方 程 的 通 解 可 以 表 示 为：2121110exp1cdtdssaxcxxtt,其中21,cc为常数,batt,0 证：（）0,21121xxwaxxw 的解。为即(*)0,00002121212212121211211211211212112112121xxxaxaxxaxaxxxxaxxaxxaxxaxxxxaxxaxxxx（）因为21,xx为方程的解，则由刘维尔公式 ttttdssadssaetwxxxxetwxxxx01010212102121:,即 两边都乘以211x则有：ttdssaextwdtxxd0121012，于是：122112221112010111xcdtexcxcdtexcxxttttdssadssa即：0,1,0,101012121211221ttttdssadssaexxxxtwdtexxxcc又：得：取 从而方程的通解可表示为：2121110exp1cdtdssaxcxxtt,其中21,cc为常数,batt,0。8.试证 n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在 n+1 个线形无关解。证：设txtxtxn,21为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，tx是（4.1）的一个解，则：,21txtxtxtxtxtxtxn （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数121,nccc，使得：txcctxccctxtxctxctxtxctxtxctxtxciiniiniiniiniiniiininnn111111111112211000:0，则有：否则，若我们说：即（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有01txciini 又txtxtxn,21为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：0:,0121nncccc进而有 即（1）是线形无关的。
