2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试_1.pdf

2021-2022 学年新教材人教 A 版选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、方程 x2cos-y2sin=1(其中在第四象限)所表示的曲线是（）A焦点在 X 轴上的双曲线 B焦点在 Y 轴上的双曲线 C焦点在 X 轴或 Y 轴上的椭圆 D以上答案都不对 2、如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A.11BFAF B.2211BFAF C.11BFAF D.2211BFAF 3、已知 P，Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点 A 的纵坐标为（）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8 4、已知双曲线的离心率为，则点到 的渐近线的距离为()A B C D 5、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心学率为32.双曲线221xy的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆C的方程为（）A22182xy B221126xy C221164xy D221205xy 6、过双曲线 x2=1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：（x+4）2+y2=4 和圆 C2：（x4）2+y2=1作切线，切点分别为 M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为（）A10 B13 C16 D19 7、设定点10,3F、20,3F，动点P满足1290PFPFaaa，则点P的轨迹是（）A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 8、过双曲线的一个焦点2F作垂直于实轴的弦PQ，1F是另一焦点，若12PFQ，则双曲线的离心率等于（）A.2 B.21 C.2 2 D.22 9、如图所示，椭圆22221xyab中心在坐标原点，F为左焦点，当0FB AB，其离心率为512，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（）A.512 B.512 C.51 D.51 10、已知 O 为坐标原点，设1F，2F分别是双曲线221xy的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点1F作12FPF的平分线的垂线，垂足为 H，则OH（）A1 B2 C4 D12 11、若的两个顶点坐标分别为，的周长为 18。则顶点 满足的一个方程是（）A B C D 12、已知圆，定点，点 P 为圆 M 上的动点，点Q在NP上，（）A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知点 P(x，y)在椭圆1 上，则 x22y 的最大值是_ 14、已知 F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点 O 为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A、B 两点，若F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于 .15、已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆 于点，若为等腰三角形，则椭圆 的离心率为_ 16、双曲线的渐近线为，一个焦点为，则_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（本小题满分 10 分）已知椭圆 C1：22=14xy，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率(1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，2OBOA，求直线 AB 的方程 18、（本小题满分 12 分）设椭圆12222byax)0(ba的两个焦点是)0,(1cF，)0,(2cF)0(c，且椭圆上存在点P使得直线1PF与直线2PF垂直.(1)求椭圆离心率e的取值范围；(2)若直线1PF与椭圆另一个交点为Q，当22e，且2PQF的面积为12时，求椭圆方程.19、（本小题满分 12 分）设椭圆方程125222byx(05 b),F为椭圆右焦点,P为椭圆在短轴上的一个顶点,POF的面积为 6,(O为坐标原点);(1)求椭圆方程;(2)在椭圆上是否存在一点Q,使QF的中垂线过点O？若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.20、（本小题满分 12 分）求经过点 3,2 7,6 2,7,PQ且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.参考答案 1、答案 D 2、答案 A.11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选 A.3、答案 C 如图所示，由已知可设1(4,)Py，2(2,)Qy，点 P,Q 在抛物线22xy上，212242(2)2yy 1282yyP（4,8），Q（-2.，2），又抛物线可化为212yxyx 过点 P 的切线斜率为44xy，过点 Q 的切线为22(2)yx，即22yx 联立4822yxyx，解得1,4xy，点 A 的纵坐标为-4.考点定位：本小题考查抛物线和导数知识，意在考查考生对抛物线的理解以及对利用导数求切线方程的理解 4、答案 D 详解：所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选 D 5、答案 D 因为椭圆的离心率为23,所以23ace,2243ac,222243baac,所以 2241ab,即224ba,双曲线的渐近线为xy,代入椭圆得12222bxax,即1454222222bxbxbx,所以bxbx52,5422,2254by,by52,则第一象限的交点坐标为)52,52(bb,所以四边形的面积为16516525242bbb,所以52b,所以椭圆方程为152022yx,选 D.6、答案 B 解：圆 C1：（x+4）2+y2=4 的圆心为（4，0），半径为 r1=2；圆 C2：（x4）2+y2=1 的圆心为（4，0），半径为 r2=1，设双曲线 x2=1 的左右焦点为 F1（4，0），F2（4，0），连接 PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2=（|PF1|2r12）（|PF2|2r22）=（|PF1|24）（|PF2|21）=|PF1|2|PF2|23=（|PF1|PF2|）（|PF1|+|PF2|）3=2a（|PF1|+|PF2|3=2（|PF1|+|PF2|）32？2c3=2？83=13 当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13 故选 B 7、答案 D 当0a 时，由均值不等式的结论有：9926aaaa，当且仅当3a 时等号成立.当96aa时，点P的轨迹表示线段12FF,当1296aFFa时，点P的轨迹表示以12FF位焦点的椭圆,本题选择 D 选项.8、答案 B 由已知可得222222202021021bcbaccaaceeea ，故选 B.9、答案 B 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，OAa，OBb，OFc 当0FB AB时，222BFABAF 222222bccacac 222bca 整理可得：22caac 210ee 解得512e或512e（舍去）故黄金双曲线的离心率为512e 故选B 10、答案 A 双曲线右支取一点 P 并延长2PF，1FH交于 Q，由角平分线的性质知1PFPQ，结合双曲线的焦半径关系122PFPF即22QF，进而利用三角形中位线的性质即可求OH 详解：不妨在双曲线右支上取点 P，延长2PF，1FH，交于点 Q，由角平分线性质可知1PFPQ 根据双曲线的定义得，122PFPF，从而22QF 在12FQF中，OH 为其中位线，故1OH 故选：A 11、答案 D 根据三角形周长可知，可知顶点 C 的轨迹是椭圆，即可写出方程.详解 由题意，得，所以顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，且的椭圆，又因为 A，B，C 三点不共线，所以顶点 C 的轨迹方程为 故选 D.12、答案 A 由已知得 Q 为 PN 的中点且 GQPN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到 G 点的轨迹是以 M、N为焦点的椭圆，其长半轴长 a=4，半焦距 c=，由此能求出点 G 的轨迹方程 解：圆，定点，点 P 为圆 M 上的动点，M（，0），PM=8，点 Q 在 NP 上，=0，Q 为 PN 的中点且 GQPN，GQ 为 PN 的中垂线，|PG|=|GN|，|GN|+|GM|=|MP|=8，故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 a=4，半焦距 c=，短半轴长 b=3，点 G 的轨迹方程是=1.故选：A 13、答案174 法一：设点 P(2cos，sin)，x22y4cos2 2sin 4sin2 2sin 4；令 Tx22y，sin t，(1t1)，则 T4t22t4，对称轴 t14，TmaxTt141244174，x22y 的最大值是174.法二：由1 得 x24(1y2)；令 Tx22y，代入得 T44y22y，即 T4(y 14)2414；当 y14时 ymax414174；即 x22y 的最大值是174.14、答案 15、答案 根据椭圆的定义及条件求出点 的坐标，然后根据点 在椭圆上可得，进而可求得椭圆的离心率 详解 如图，不妨设点 是椭圆短轴的上端点，则点 D 在第四想象内，设点 由题意得为等腰三角形，且 由椭圆的定义得，又，解得 作轴于，则有，点 的坐标为 又点 在椭圆上，整理得，所以 故答案为：16、答案 2 分析 由题意布列关于 a 的方程即可得到结果.详解 由题意可得：，又 故答案为：2 17、答案解：由已知可设椭圆 C2的方程为222=14yxa(a2)，其离心率为32，故243=2aa，则 a4，故椭圆 C2的方程为22=1164yx 解：方法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx，将 ykx代入24xy21 中，得(14k2)x24，所以224=14Axk将 ykx 代入22=1164yx中，得(4k2)x216，所以2216=4Bxk又由=2OBOA得22=4BAxx，即221616=414kk，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 方法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx 将 ykx 代入24xy21 中，得(14k2)x24，所以224=14Axk由=2OBOA得2216=14Bxk，22216=14Bkyk，将22BBxy，代入22=1164yx中，得224=114kk，即 4k214k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 解：由已知可设椭圆 C2的方程为222=14yxa(a2)，其离心率为32，故243=2aa，则 a4，故椭圆 C2的方程为22=1164yx 解：方法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx，将 ykx代入24xy21 中，得(14k2)x24，所以224=14Axk将 ykx 代入22=1164yx中，得(4k2)x216，所以2216=4Bxk又由=2OBOA得22=4BAxx，即221616=414kk，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 方法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA及(1)知，O，A，B三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx将 ykx 代入24xy21 中，得(14k2)x24，所以224=14Axk由=2OBOA得2216=14Bxk，22216=14Bkyk，将22BBxy，代入22=1164yx中，得224=114kk，即 4k214k2，解得k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 18、答案(1)由12222byax是直角三角形知，)0(ba，即)0,(1cF，故)0,(2cF(2)设椭圆方程为)0(c，由P 得：1PF直线2PF的斜率e，设直线2PF的方程为：1PF，于是椭圆方程可化为：Q 把代入，得：22e，整理得：2PQF，设12则 x1、x2是上述方程的两根，且34|12cxx，324|1|122cxxkPQ 点2F到PQ直线的距离为cPFd22，所以：ccS232421342c12 得：229bc，182a 所求椭圆方程为：.191822yx 19、答案(1)设125222byx 05 b为椭圆在短轴上的一个顶点,且F的面积为6,P.又POF.O或Q.椭圆方程为QF或O.(2)假设存在点Q,使QF的中垂线过点O.若椭圆方程为O,则)0,3(F,由题意,3 OFOQ Q点的轨迹是以O为圆心,以3为半径的圆.设),(yxQ,则其轨迹方程为922 yx.显然与椭圆O无交点.即假设不成立,点Q不存在.若椭圆方程为QF,则)0,4(F,4 OFOQ Q点的轨迹是以O为圆心,以4为半径的圆.则其轨迹方程为1622 yx.则1925162222yxyx,475x,49y.故满足题意的Q点坐标分别为)49,475(,)49,475(,)49,475(,)49,475(20、答案2212575yx 详解：依题意,设双曲线的方程为2210AxByAB,双曲线过点3,2 7P 和6 2,7Q,9281,72491,ABAB 解得175A ,125B ,故双曲线的标准方程为2212575yx.