2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试.pdf
2021-2022 学年新教材人教 A 版选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 的值为（）A B2 C4 D 2、已知双曲线2222=1xyab(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为()A22=154xy B22=145xy C22=136xy D22=163xy 3、双曲线22=1xymn(mn0)离心率为 2，其中一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则 mn 的值为()A316 B38 C163 D83 4、双曲线2214xy的渐近线方程为（）A2yx B2yx C22yx D12yx 5、椭圆1162522yx的左、右焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过 F1点，若ABF2的内切圆周长为，A，B 两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|21yy 的值为（）A35 B310 C320 D35 6、已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1，F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A B C D 7、椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，有两顶点的坐标是，椭圆的方程是 A.或 B.C.D.8、若椭圆2212516xy和双曲线22136xy的共同焦点为1F，2F，P是两曲线的一个交点，则12PFPF的值为（）A11 B22 C44 D21 9、设A，B为双曲线22220 xyab 同一条渐近线上的两个不同的点，若向量0,2n，3AB 且1AB nn，则双曲线的离心率为（）A.2 或3 24 B.3 或3 24 C.2 53 D.3 10、已知00(,)M x y是双曲线C：2212xy上的一点，1F，2F是C的两个焦点，若120MF MF，则0y的取值范围是（）A33(,)33 B33(,)66 C2 2 2 2(,)33 D2 3 2 3(,)33 11、已知椭圆221259xy，12,F F分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到1F的距离是 2，N是1MF的中点，则|ON的长为（）A1 B2 C3 D4 12、已知1F、2F分别是椭圆22143xy的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C与1F A的延长线、12FF的延长线以及线段2AF相切，若,0M t为其中一个切点，则（）A2t B2t C2t Dt与 2 的大小关系不确定 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知椭圆2222:1(0)xyCabab，,A B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足30,45MABMBA，设椭圆C的离心率为e，则2e _.14、椭圆8222 yx的长轴长是 15、椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1|？|PF2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中，则椭圆 m 的离心率 e 的取值范围是 16、渐近线是230 xy和230 xy且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（本小题满分 10 分）已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB(O 为坐标原点)为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 18、（本小题满分 12 分）已知椭圆及直线：（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线 的方程 19、（本小题满分 12 分）一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2 13 一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程 20、（本小题满分 12 分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标(2,0)A，直角顶点(0,2 2)B，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点（1）求BC边所在直线方程；（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程 21、（本小题满分 12 分）求以椭圆22185xy的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 22、（本小题满分 12 分）定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆221:14xCy.(1)若椭圆222:1164xyC,判断2C与1C是否相似?如果相似,求出2C与1C的相似比;如果不相似,请说明理由;(2)写出与椭圆1C相似且短半轴长为b的椭圆bC的方程;若在椭圆bC上存在两点M、N关于直线1yx对称,求实数b的取值范围?(3)如图:直线l与两个“相似椭圆”22221xyab和22222(0,01)xyabab分别交于点,A B和点,C D,证明:ACBD 参考答案 1、答案 C 由题可知，抛物线的焦点为，双曲线化成标准形式为，它的右焦点为（2,0），因此有，解得；2、答案 A 由题意得2222=1xyab(a0，b0)的两条渐近线的方程为byxa，即 bxay0 又圆 C 的标准方程为(x3)2y24，半径为 2，圆心坐标为(3,0)，a2b2329，且22|3|=2bab，解得 a25，b24 该双曲线的方程为22=154xy 3、答案 A 抛物线y24x的焦点为(1,0)，mn1且2=1=3nem，解得1=4m，3=4n 3=16mn，故选 A 4、答案 D 5、答案 D 由 题 意 得 ABF2的 内 切 圆 半 径 为12，则 ABF2的 面 积 为111()45222rABBCCAa，又ABF2的面积为1212121211|2|3|22FFyycyyyy，因此|21yy 的值为35，选D 6、答案C 以，为直径的圆的方程为，又因为点在圆上，所以，所以，双曲线的一条渐近线方程为，且点在这条渐近线上，所以，又，解得，所以双曲线的方程为，故选 C.7、答案 C 解：因为椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，有两顶点的坐标是，则可知a=4,b=2,则根据焦点在 x 轴上，则椭圆的方程是，选 C 8、答案 B 根据椭圆和双曲线的定义列出方程组，求解即可得出答案.详解 12121012 32PFPFPFPF，2212得12488PF PF，即1222PF PF 故选：B 9、答案 B 由题意得11cos,3AB nAB nAB nnAB nAB，2 2sin,3AB n 当双曲线的焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为byxa，即0bxay，点（0,2）到渐近线的距离为2224 2sin,3adnAB nab，整理得2218ba，2213 21184cbeaa 当双曲线的焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为0axby，点（0,2）到渐近线的距离为2224 2sin,3bdnAB nab，整理得228ba，2211 83cbeaa 综上双曲线的离心率为4 23或 3.选 B 10、答案 A 由题知12(3,0),(3,0)FF，220012xy，所以12MF MF=0000(3,)(3,)xyxy=2220003310 xyy ，解 得03333y，故选 A.11、答案 D 根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.详解 由椭圆定义得21210MFMFa，因为12MF，所以28MF 因为N是1MF的中点，所以22MFON=4，选 D.12、答案 A 由题意知，圆 C 是12AF F的旁切圆，点,0M t是圆C 与x轴的切点，设圆 C 与直线1F A的延长线、2AF分别相切于点P、Q，由切线的性质可知：APAQ，22F QF M，11FPFM，结合椭圆的定义，即可得出结果.详解：由题意知，圆 C 是12AF F的旁切圆，点,0M t是圆C 与x轴的切点，设圆 C 与直线1F A的延长线、2AF分别相切于点P、Q，则由切线的性质可知：APAQ，22F QF M，11FPFM，所以11221112()()222FFFFFFMQAAAAQaAAPaPaFFM，所以122MFMFa，所以2ta.故选 A 13、答案313 设00,M x y,0Aa,0B a，因为30,45MABMBA，所以可得001,BMykxa 0033AMykxa，2200221xyab，三等式联立消去00,xy 可得2222331,133be ea 故答案为313.14、答案24 15、答案 根据题意，|PF1|？|PF2|的最大值为 a2，则由题意知 2c2a23c2，由此能够导出椭圆 m的离心率 e 的取值范围 解：|PF1|？|PF2|的最大值=a2，由题意知 2c2a23c2，故椭圆 m 的离心率 e 的取值范围 答案：16、答案221912xy 17、答案 详解 显然直线 x0 不满足题设条件，故设直线 l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去 y 并整理，得x24kx30.所以 x1x2，x1x2.由(4k)2124k230，得 k或 k.又 0AOB0？0，所以x1x2y1y20.又 y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，所以0，即 k24.所以2k2.综合，得直线 l 的斜率 k 的取值范围为.18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为 19、答案解：焦点在 x 轴上，椭圆为2222=1xyab，且=13c，设双曲线为2222=1xymn，ma4，7=3ee双椭，易得 a7，m3椭圆和双曲线的焦距为2 13，b236，n24椭圆方程为22=14936xy，双曲线方程为22=194xy 焦点在 y 轴上，椭圆方程为22=13649xy，双曲线方程为22=194yx 20、答案（1）ABC，(2,0)A，(0,22)B，C（2）在上式中，令x，得P，圆心OA,又BC，外接圆的方程为M（3）N，OA圆M过点N，PN是该圆的半径 又动圆M与圆M内切，3MNPN，即3MNPN 点M的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，32a，1c，2254bac，轨迹方程为2219544xy 21、答案 22、答案(1)椭圆221:14xC y 与1164x yC 相似.因为椭圆221:14xC y 的特征三角形是腰长为4,底边长为2C的等腰三角形,而椭圆1C的特征三角形是腰长为2,底边长为1C的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为b.(2)椭圆bC的方程为:M.设N,点1yx,l中点为22221xyab,则2 222 2(0,0 1)xyabab,所以,AB.则,CD.因为中点在直线ACBD上,所以有4155tt,53t .即直线MNl的方程为:5:3MNlyx ,由题意可知,直线MNl与椭圆bC有两个不同的交点,即方程2225558()4()033xxb有两个不同的实数解,所以224025()4 5 4()039b ,即53b.(3)证明:直线l与x轴垂直时,易得线段AB与CD的中点重合,所以ACBD;直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为:ykxn,1122(,),(,)A x yB xy,线段AB的中点00(,)xy,2222222222222()2()01ykxnba kxa knxa na bxyab.20122222002221()2a knxxxba knbykxnba k 线段AB的中点为22222222(,)a knnbba kba k.同理可得线段CD的中点为22222222(,)a knnbba kba k,即线段 AB 与 CD 的中点重合,所以ACBD.
