一元一次方程解题步骤详解.pdf

2 学习必备 欢迎下载 一元一次方程的应用（一）1、掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想；、进一步经历用方程解决实际问题 的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。2 运用一元一次方程解决简单的实际问题是重点；寻找等量关系是难点。一、目标导入 前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法，今天我们就来运用一元一次 方程解决简单的实际问题。二、例题 例 1 有一列数，按一定规律排列成 1，3，9，27，81，243，其中某三个相 邻数的和是1701，这三个数各是多少？分析：从符号与绝对值两方面观察，这列数有什么规律？符号正负相间；后者的绝对值是前者绝对值的 3 倍。即后一个数是前一个数的-3 倍。如果设其中一个数为 x，那么后面与它相邻的两个数你能用 x 表示出来吗？后面两数分别是-3x，9x。问题中的相等关系是什么？三个相邻数的和=-1701。由此可得方程 x-3 x+9x=-1701 解之，得 x=-243。所以这三个数是-243，729，-218。注意：本题中有三个未知量，由它们之间的关系，我们可以用一个字母来表示，从而列 出一元一次方程。这一点要注意学习。例 2 根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。月租费 本地的通话费 方式一 30 元/月 0.30 元/分 方式二 0 元 0.4 元/分 （1）一个月内在本地通话 200 分和 350 分，按方式一需交费多少元？按方式二呢？（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？分析：（1）按方式一在本地通话 200 分钟需要交费多少元？350 分钟呢？通话 200 分钟需要交费：30+2000.3=90 元;通话 350 分钟需要交费：30+3500.3=135 元.按方式二在本地通话 200 分钟需要交费多少元？350 分钟呢？通话 200 分钟需要交费：2000.4=80 元;通话 350 分钟需要交费：3500.4=140 元.(2)设累计通话 t 分钟,那么按方式一要收费多少元?按方式二收费多少元?按方式一要收费(30+0.3t)元;按方式二要收费 0.4t 元.问题中的等量关系是什么?2 学习必备 欢迎下载 方式一的收费=方式二的收费.由此可列方程 30+0.3t=0.4t 解之,得 t=300 所以,当一个月内通话 300 分钟时,两种计费方式的收费一样多.引申:你知道怎样选择计费方式更省钱吗?当 t=400 时,30+0.3t=30+0.3400=150 元;0.4t=0.4400=160 元.当时间大于 300 分钟时,方式一更省钱.三、一元一次方程解实际问题的基本过程 将实际问题转化为数学问题即建立数学模型，通过解决数学问题来解决实际问题。四、课堂练习 学校办了储蓄所，开学时，李英存了 200 元，王建存了 140 元，以后李英每月存 20 元，王建每月存 35 元，经过几个月，李英、王建的存款数相等？五、小结 本节课我们研究了通过列一元一次方程，把实际问题抽象成数学问题即建立数学模型，再通过解一元一次方程即解决数学问题来解决实际问题的具体方法，这是解决实际问题的一 般思想方法。解一元一次方程去括号（1）1、掌握含有括号的一元一次方程的解法；、经历运用方程解决实际问题的过程，进一 步体会方程模型的作用。2 含有括号的一元一次方程的解法是重点；括号前面是负号时去括号是难点。一、导入新课 前面我们已经学会了运用移项、合并同类项来解一元一次方程，但当问题中的数量关系 较复杂时，列出的方程也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些，如下面的问题。二、探索去括号解一元一次方程 问题 某加工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2000 度，全年用电 150 万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？分析：问题中的等量关系是什么？上半年用电度数+下半年用电度数=1500000。设去年上半年平均用电 x 度，那么下半年每月平均用电多少度？上半年共用电多少度？下半年共用电多少度？下半年每月平均用电（x2000）度；上半年共用电 6 x 度；下半年共用电 6（x2000）度。由此可得方程：6 x+6（x2000）=1500000 这个方程中含有括号，怎样才能转化为我们熟悉的形式呢？去括号。去括号，得 6 x+6x12000=1500000 解得 x=13500 所以这个工厂去年上半年每月平均用电 13500 度。思考：你还有其它的解法吗？学习必备 欢迎下载 设去年下半年平均用电 x 度，则 6x+6（x+2000）=1500000 解之，得 x=11500 所以去年上半年每月平均用电 11500+2000=13500 度。三、例题 例 1 解方程：3x7(x1)=32(x+3)解：去括号，得 3x7x+7=32x6 合并，得4x+7=2x3 移项，得4x+2x=37 2x=10 x=5 注意：括号外面是负号时，去括号后，括号内的每一项的积都要变号。四、课堂练习 1、初一某班同学准备组织去东湖划船，如果减少一条船，每条船正好坐 9 名同学，如 果增加一条船，每条船正好坐 6 名同学，问这个班共有多少名同学？五、小结 1、含有括号的一元一次方程的解法。当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号。2、解一元一次方程的步骤：去括号；移项；合并同类项；系数化为 1。3、例题解法一是求什么设什么，叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；解法二不 是求什么设什么，叫间接设元法，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系 求出最后的答案 解一元一次方程 去括号（2）1、进一步掌握列一元一次方程解应用题；2、通过分析“顺逆水”和“配套”问题，进一步 经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用。2 分析题意、找等量关系和列方程是重点；找出能够表示问题全部含义的相等关系是难点。一、复习导入 上节课我们学习了解含有括号的一元一次方程，现在我们来解两道题：（1）2(x+3)=2.5(x-3)；（2）21200 x=2000（22-x）怎样运用这样的方程来解决实际问题呢？今天我们就来讨论一下。二、例题 例 1 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速度。分析：顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流的速度、静水中的速度之间有什么关系？顺流的速度静水中的速度水流的速度；逆流的速度静水中的速度水流的速度。问题中的相等关系是什么？顺水行驶的路程逆水行驶的路程。设船在静水中的平均速度为 x 千米时，那么顺流的速度是什么？逆流的速度是什么？顺流的速度是（x）千米时逆流的速度是（x）千米时。2 学习必备 欢迎下载 由些可得方程（x）2.5（x）由前面的解答，知 x27 所以船在静水中的速度是千米时。注意：要牢牢记住顺流的速度静水中的速度水流的速度；逆流的速度静水中的速 度水流的速度。例 某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？分析：当问题中的量比较多，关系比较复杂时，我们可以把量分成两类列表，从而使条 件条理化，如下表所示：请设未知数，填上表。问题中的等量关系是什么？螺母的数量螺钉的数量。由此，可列方程 21200 x=2000（22-x）由前面的解答可知 x10 22-x22-1012 所以应分配 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。注意：列表法是列方程解应用题的一种行之有效的方法，有注意学习。三、课堂练习 在一次美化校园活动中，先安排 31 人去拔草，18 人去植树，后又是增派 20 人去支援 他们，结果拔草的人数是植树人数的 2 倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人？四、课堂小结 通过前面的学习讨论，我们进一步体会到列方程解决实际问题的关键是正确地建立方程 中的相等关系；同时知道所列方程的解不一定就是问题的答案，必须检验之后才能确定，这 是一个要注意的问题。解一 生产人数 平均产量 元一次方程去分母(1)1、掌握 元一次 螺钉 x 1200 螺母 22x 2000 含有分母的一元一次方程的解法；、归纳解一 方程的步骤，体会转化的思想方法。2 解含 有分母的一元一次方程是重点；去分母时适当 地添括号是难点。一、问题导入 英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物纸莎草文书，其中有如下一道著名的末 知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33。设这个数为 x，可得方程 2/3x+1/2x+1/7x+x=33 当时埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程。这种方程与我们前面学习的方程有什么不同？6 ；（4）y 5 .学习必备 欢迎下载 有些系数是分数。今天我们就来学习这种含有分数系数方程的解法。二、含有分母的一元一次方程的解法和步骤 1、探索方法 请你用自己的方法试着解上答上面的方程。学生自主解方程,教师收集不同的解法,比较直接合并同类项和先去分母解法的难易。显然，通过先去母把方程转化为我们熟悉的形式来解比较简单。现在我们来看一个例子。例 1 解方程：3x1 2 3x2 2 x3 2 10 5 怎样去分母？去分母的依据是什么？方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数；依据是等式的性质 2。下面去分母的结果正确吗？如果不正确，请说明理由。15x120=3x22x+3;5(3x1)2=3x2(2x+3);5(3x1)20=3x2(2x+3)。不正确，原因是去括号后，分子没有加括号；不正确，原因是漏乘了“2”这一 项；是正确的。学生写出解答过程，结果是 x=7/16。注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘，不能漏项；去分母后，分子要加上括号。2、归纳步骤 请大家总结一下，解一元一次方程有哪些步骤？去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为 1。这些步骤的依据是等式的性质和乘法分配律。注意：上述步骤不是一陈不变的，要根据方程的特点，灵活处理，如有时可以先合并同 类项再移项。三、例题 解方程：3x x1 2 3 2 x1 3 解：去分母，得 18x+3(x1)=182(2x1)去括号，得 18x+3x3=1 84x+2 合并同类项，得 21x3=20 4x 移项，得 21x+4x=20+3 合并同类项，得 25x=2 3 系数化为 1 得 x=2 3/25 补充题：（3）x1 4 1 2 x1 y 1 2 2 y 2 五、小结 1、解一元一次方程主要是化归思想，通过去分，去括号，合并同类项，系数化为 1，一步一步化为最简形式 x=a.2、解一元一次方程的步骤：这些步骤的主要依据是等式的性质和运算律；2 5 3x 和 学习必备 欢迎下载 这些步骤不是一成不变的，要灵活掌握。3、去分母时要注意的问题：没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号。解一元一次方程去分母（2）1、进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题；、经历分析“工程问题”中数量关系过程，培养分析问题和解决问题的能力。2 工程问题中的工作量、工作效率、工作时间的关系是重点，把全部工作量看作 1 是难点。一、复习导入 在小学里我们学习过工程问题，知道这类问题中有工作量、工作时间和工作效率这三种 量。那么工作量、工作时间和工作效率之间有怎样的关系呢？工作量=工作时间工作效率 如果一件工作甲独做 a 小时完成，那么甲独做 1 小时可完成多少工作量？二、例题 例 1 整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成。现在计划由一部分人先做 4 小时，再增加 2 人和他们一起做 8 小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安 排多少人工作？分析：一个人的工作效率是多少？1/40。问题中的等量关系是什么？增加工人前完成的工作量+增加工人后完成的工作量=1 设先安排 x 人工作，则 x 人 4 小时完成的工作量是多少？4x/40。增加 2 人和“他们”（即 x 人）一起工作 8 小时完成的工作量是多少？8（x+2）/40。由此可得方程 4x/40+8（x+2）/40=1 学生解方程，得 x=2。答：应先安排 2 名工人工作 4 小时。例 2 水池有一个进水管，6 小时可注满空池，池底有一个出水管，8 小时可放完满池 的水，如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？分析：问题中的等量关系是什么？注入的水量放出的水量=1 设 x 小时可以把空池注满，那么注入的水量是多少？放出的水量是多少？1/6x；1/8x。由此可得方程 1/6x1/8x=1 解得 x=24。答：24 小时可以把空池注满。三、练习 1列方程求解：1（1）已知 x 6 的值与 互为倒数，求 x；7 （2）x 等于什么数时，x 3 2 x 5 1 等于 3 7 1 的值？（3）x 取何值时，1 5x (3x 5)互为相反数？2 2 2已知 S v t 1 2 8 学习必备 欢迎下载 1 at 2，如果 S 13,t 4,a ，求 v 0 0 3 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有 270 条腿，且蜻蜓的只 数是蜘蛛的 2 倍少 5问蜘蛛、蜻蜓各有多少只？4.小王在超市中买了单价是 2.8 元的某品牌鲜奶若干袋，过了一段时间再去超市，发鲜奶正 进行让利销售，每袋让利 0.3 元，于是他比上次多买了 2 袋，只比上次多花了 2 元,上次买 了多少袋这样的鲜奶？5.设 m 3x 1 4 3x,n ,若 m 3n 0，求 x 的值.3 6 6 某地下管道由甲队单独铺设需要 3 天完成，乙队单独铺设要 5 天完成，甲队铺设了 1/5 的 工作量后，为了加快进度，乙队加入，从另一端铺设，问管道铺好，乙队做了多少天？四、小结 工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；工程问题中的等量 关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。