三角函数的图象与性质(4课时).pdf
第一课时 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学要求：熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征.教学重点：正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征.教学难点：正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系.教学过程：一、复习准备：1.讨论：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（余弦）值.由这个对应法则所确定的函数sinyx（或cosyx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R.2.提问：如何作出正弦函数的图象？（利用正弦线可以画出较精确的正弦函数图象）二、讲授新课：1.教学正弦函数图象的画法：提问：正弦线的意义？(正弦线是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，它是正弦函数的几何表示)用正弦线画出正弦函数的图象（边讲边画）：第一步：先作单位圆，把O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）；第二步：十二等分后得 0,6,3,2,2等角，作出相应的正弦线；第三步：将 x 轴上从 0 到 2一段分成 12 等份(26.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”；第四步：取点，平移正弦线，使起点与x轴上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得 y=sinx，x0,2的图象；第六步：由终边相同的三角函数性质知y=sinx，x2k,2(k+1)kZ,k0的图象与函数y=sinx，x0,2图象相同，只是位置不同每次向左（右）平移 2单位长.用“五点（画图）法”作正弦函数图象时，要抓住关键的五个点：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0).（通过学生观察正弦函数的图象，找出体现图象形状特征的点，再来讲“五点法”.）“五点法”的优点是方便，但精确度不高，熟练后才使用.2.教学余弦函数图象的画法：由于cossin()2yxx，而sin(),2yx xR的图象可以通过将正弦函数sin,yx xR的图象向左平移2个单位长度得到，因此只需将函数sin,yx xR的图象向左平移2个单位长度就可以得到函数cos,yx xR的图象.思考：如果用“五点法”作余弦函数的图象，则应抓住哪五个关键点？3.例题讲解：例、画出下列函数的简图：（1）sin,0,2 yx x；（2）1cos,0,2 yx x.（教师引导学生板书）4、小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法、“五点法”画法及正弦、余弦函数图象的形状特征.三、巩固练习：1.在同一直角坐标系中，分别作出函数3cos,22yx x 、3sin(),2yxxR的草图.2.讨论如何用“五点法”画sin(2)6yx的图象？（方法：取320,2622x）3.作业：教材 P52 第 1 题 第二课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）教学要求：掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和最大值、最小值，会求形如sin(),yAxxR（或cos(),yAxxR）的函数的最小正周期，并会利用正弦、余弦函数的最大值、最小值求相关函数的值域.教学重点：正弦函数、余弦函数的性质（包括周期性、奇偶性和最大值、最小值）.教学难点：正弦函数、余弦函数性质的应用.教学过程：一、复习准备：1.提问：函数sin(),2yxxR的图象与函数sin,yx xR的图象有什么关系？（学生经思考后回答）如何作出函数cos,yx xR 的图象？（学生板书教师总结方法）2.讨论：由正弦、余弦函数的图象有哪些特征？二、讲授新课：1.教学正弦、余弦函数的周期性：正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式sin(2)sin()xkx kZ中得到反映，即当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现.周期函数的定义：对于函数()f x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()f xTf x，那么函数()f x就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.（周期函数()f x的周期不唯一，,kT kZ都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2(0)kkZk且都是它们的周期，最小正周期是2.例 1：求下列函数的周期：（1）3sin,yx xR；（2）cos2,yx xR；（3）12sin(),26yxxR.（师生共析教师板书学生观察总结规律：这些函数的周期与解析式中哪些量有关？）结论：形如sin(),yAxxR（或cos(),yAxxR）的函数的最小正周期2T.2.教学正弦函数、余弦函数的奇偶性：由图象观察，结合诱导公式sin()sin,cos()cosxxxx 知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.3.教学正弦函数、余弦函数的最大值、最小值：观察图象发现，正弦曲线、余弦曲线均有最高点和最低点，即函数值都有最大值、最小值.例 2：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？（1）sin1,yxxR；（2）2cos3,yx xR.（教师引导学生分析教师总结并板书）练习：教材 P45 第 3 题 4、小结：正弦、余弦函数的周期性、奇偶性、最大值、最小值，数形结合思想.三、巩固练习：1.作出函数sinyx的图象，1）解不等式：3sin()2xxR；2）求13(,)66x时y的值域.2.作业：教材 P52 第 2 题 第三课时 1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（二）教学要求：掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并会运用单调性，比较三角函数值的大小，求三角型函数的单调区间.教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性.教学难点：正弦函数、余弦函数单调性的应用.教学过程：一、复习准备：1.练习：求出下列函数的最小正周期，并说明下列函数是否有最大值、最小值，如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合.（1）1sin(2)23yx；（2）13cos()26yx.2.提问：如何比较sin20与sin30的大小？二、讲授新课：1.教学正弦、余弦函数的单调性：先在正弦函数的一个周期的区间上（如3,22）讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.观察图象可得，正弦函数在每一个闭区间2,222kk（kZ）上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间32,222kk（kZ）上都是减函数，其值从 1 减到1.余弦函数在每一个闭区间2,2kk（kZ）上都是增函数，其值从1 增大到1；在每一个闭区间2,2kk（kZ）上都是减函数，其值从 1 减到1.2.教学正弦、余弦函数的应用：例 1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）sin20与sin30；（2）sin()sin()1510与；（3）2325cos()cos()54与.（学生口答第 1 小题学生板书第 2 小题师生共析第 3 小题教师板书第 3 小题）练习：教材 P45 第 5 题 例 2：求函数1cos(),2,2 23yxx 的递增区间.（师生共析教师板书小结：整体代入，解不等式变式：解不等式0y）练习：求出上例中函数的单调递减区间.教材 P45 第 6 题 例 3：求函数11 sin(),2,2 23yxx 的递增区间.（师生共析学生板书）3.小结：正弦、余弦函数的单调性；整体代入法求单调区间.三、巩固练习：1.练习：教材 P52 第 1（2）题 2.已知函数()yf x的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期性；（2）画出函数(1)yf x的图象；（3）你能写出函数()yf x的解析式吗？3.作业：教材 P52 第 5 题 第四课时 1.4.4 正切函数的性质和图象 教学要求：掌握正切函数的性质，学会画正切函数的图象，深化研究函数性质的思想方法.教学重点：正切函数的性质和图象.教学难点：正切函数性质的应用.教学过程：一、复习准备：1.复习：正弦、余弦函数的图象和性质；研究正弦、余弦函数性质的方法？2.提问：能否依照研究正弦、余弦函数性质的方法来研究正切函数的性质和图象？二、讲授新课：1.教学正切函数的性质：定义域：zkkx2；周期性：由诱导公式tantan,2xx xRxkkz且可知，正切函数是周期函数，最小正周期是.奇偶性：由诱导公式xxtantan,2xRxkkz且可知，正切函数是奇函数.单调性：由正切线的变化规律可以看出，正切函数在2,2内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间,22kkkz内都是增函数.值域：正切函数的值域是实数集 R.2.教学正切函数图象的画法：利用正切线画出函数tan,(,)2 2yx x 的图象，再根据正切函数的周期性，把上述图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数tan,yx xR且zkkx2的图象，我们把它叫做正切曲线.分析正切函数的图象特征.由图象分析正切函数的性质.例 1：求函数tan()23yx的定义域、周期和单调区间.（练方法变式：解1y）例 2：利用正切函数的单调性比较下列各组数中两个正切值的大小：（1）tan121与tan137；（2）1317tan()tan()45与 3.小结：正切函数的图象和性质，整体思想求定义域与单调区间，正切线分析思路.三、巩固练习：1.练习：教材 P50 第 2、4 题 2.作业：教材 P52 第 6、7、8 题 222322230 y x
