专题：求函数值域的方法总结.pdf
专题：求函数值域的方法总结 一、观察法：从自变量 x 的范围出发，推出 y f(x)的取值范围。【例 1】求函数 y x 1的值域。【例 2】求函数 y 1 x 的值域。【例 3】已知函数 y x 12 1，x 1,0,1,2，求函数的值域。二 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F(x)af 2(x)bf(x)c 的函数的值域问题，均可使用配方法。【例 1】求函数 y x 2 2 x 5,x 1,2 的值域。【变式】已知 2 x 2 3x，求函数 f(x)x 2 x 1 的最值。【例 2】若函数 f(x)x 2 2 x 2,当 x t,t 1时的最小值为 g(t)，（1）求函数 g(t)（2）当 t -3,-2时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点 三分法）【例 3】已知 f(x)x 2 2 x 2，当 x t，t 1(t R)时，求 f(x)的最大值 【例 4】(1)求 f(x)x2 2ax 1 在区间-1,2上的最大值。(2)求函数 y x(x a)在 x 1,1 上的最大值。,2 上的最大值为 3，求实【例 5】已知二次函数 f(x)ax 2 (2a 1)x 1 在区间 【例 1】求函数 y 的值域 3 2 数 a 的值。【变式】已知函数 f(x)ax 2 2ax 1在区间 3,2 上的最大值为 4，求实数 a 的值。【例 6】已知函数 f(x)x2 2 x 在区间 m,n 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n，求 m，n 的值。【例 7】求函数 y x 3 5 x 的值域.三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母 少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为 y k f(x)(k为 常数)的形式此 类问题一般也可以利用反函数法。x 2 x 1 【例 2】求函数 y x 2 x x 2 x 1 的值域。【变式】求下列函数的值域：(1)y x1 3x2 (2)y x 2 1 x 2 1 .四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反 函数的定义域，得到原函数的值域。【例 1】求函数 y 的值域。1（a、a 不同时 a x 2 b x c【例 3】已知函数 f(x)的值域为1，3，求 a,b 的值。x22 x2 的值域。1 2x 1 2x 【例 2】求函数 y 3x 4 5x 6 值域。【例 3】求函数 y e x 1 e x 1 的值域。【例 4】求函数 y a bx(a 0,b 0,a b,x 1,1)的值域。a bx 五、判别式法：把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x,y)0；通过方程有实数根，判别式 0，从而求得原函数的值域，形如 y a x2 b x c 1 1 2 2 2 1 2 为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）1 x x2【例 1】求函数 y 的值域。1 x2 【例 2】求函数 y x x(2 x)的值域。2 x2 ax b x2 1 【例 4】求函数 y x1 x ,【例 5】已知函数 y mx n 的最大值为 4，最小值为 1，则 m=，n=x2 1 【例 6】求函数 y x 2 的值域。x2 2 x 3 六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而 求得原函数的值域，形如 y ax b cx d（a、b、c、d 均为常数，且 a 0）的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法 将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是 二次式时，用三角换元。【例 1】求函数 y 2 x 1 2 x 的值域。【例 2】求函数 y 2 x 5 log 3 x 1(2 x 10)的值域。【例 3】求函数 y x 1 x 1 的值域。【例 4】求函数 y x 2 1 (x 1)2 的值域。【例 5】求函数 y x 3 x x 4 2x 2 1 的值域。【例 6】求函数 y (sin x 1)(cos x 1)，12 2 的值域。【例 7】求函数 y x 4 5 x 2 的值域。【例 8】求函数 y (x 2 5 x 12)(x 2 5x 4)21 的值域。-3 5 x 【例 9】求函数 y x 2 1 x 的值域。【例 10】求函数 y x 10 x x 2 23 的值域。七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数 的有界性，反客为主来确定函数的值域。【例 1】求函数 y x2 1 x2 1 的值域。【例 2】求函数 y e x 1 e x 1 的值域。【例 3】求函数 y cos x sin x 3 的值域。【例 4】y 3 sin x 4 2 cos x 【例 5】已知 a0，x1,x2 是方程 ax2+bx-a2=0 的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求 a 的取值范 围以及 b 的最大值。八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。【例 1】求函数 y x 1 2 x 的值域。【例 2】求函数 y x 1 在区间 x 0,上的值域。x 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。【例 4】求函数 f x 1 x 1 x 的值域。【例 5】求函数 y 3x 6 8 x 的值域。九.图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方 法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某 种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出 时，借助几何图形的直观性可求出其值域。【例 1】求函数 y|x 3|x 5|的值域。【例 2】求函数 y (x 2)2 (x 8)2 的值域。y 8 o x 2 1【例 2】若 4 x 1，求 的最小值【例 3】求函数 y 2 x 2 ,(x 0)的最小值【例 4】求 y=1(x(0,)的最小值。【例 3】求函数 y x 2 6x 13 x 2 4x 5 的值域。十、基本不等式法：利用基本不等式，求函数 的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有 时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。k x2 2【例 1】求下列函数的值域：(1)y x 3(k0);(2)y 。x x 2 2 x 2 2 x 2 3 x 4 cos x sin x 2 1【例 5】若函数 y=f(X)的值域为 ,3,则函数 F(x)f(x)2 。1 10 的值域是 2,f(x)3 【例 6】求函数 y x 2 x 3 的值域。十一、利用向量不等式 性质 1 若，则 当且仅当 时等式成立 性质 2 行时左边等式成立。性质 3 平行时等式成立。类型（1）型（，当且仅当 a，同向平行时右边等式成立，a，反向平 ，当且仅当 方向相同且两两 同号）【例 1】求函数 y 5 x 1 10 x 的最大值。【例 2】求函数 y x 3 10 9 x2 的最大值。i 1 的最小值。1 2x 2 x 4 【例 3】求函数 y x2 4 (3 x)2 9 的最小值。【例 4】设 x1（1，2，2003）为正实数，且 x1 x1 x2015 2015，试求 y x x x x 1 2 2 3 x 2014 x 2015 x 2015 x 【例 5】已知 的最小值。十二、一一映射法 原理：因为 y ，求 ax b(c 0)cx d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道 一个变量范围，就可以求另一个变量范围。【例 1】求函数 y 1 3x 2x 1 的值域。十三、多种方法综合运用 【例 1】求函数 y x 2 x 3 的值域。1 x 2x 2 x 3 x 4 y 【例 2】求函数 的值域。
