【新高考数学专用】专题21利用导数解决函数的恒成立问题(原卷版+解析版)2022年难点解题方法突破.pdf

专题 21 利用导数解决函数的恒成立问题 一、单选题 1已知a，b为实数，不等式lnaxbx恒成立，则ba的最小值为（）A2 B1 C1 D2 2已知函数()ex bf xax,a bR，且(0)1f，当0 x 时，()cos(1)f xxx恒成立，则 a 的取值范围为（）A0,B1 e,C,e De,3已知函数 2sinln6xf xaxxa（0a，且1a），对任意1,x 20,1x，不等式 212f xf xa恒成立，则实数 a的最小值是（）A2e Be C3 D2 4对于正数k，定义函数：,fxfxkg xk fxk.若对函数 ln22f xxx，有 g xf x恒成立，则（）Ak的最大值为1ln 2 Bk的最小值为1ln 2 Ck的最大值为ln 2 Dk的最小值为ln 2 5已知函数2()1(0)f xaxxa，若任意1x，21x，)且12xx都有1212()()1f xf xxx，则实数a的取值范围（）A1，)B(0，1 C2，)D(0,)6已知函数 221f xaxax，2ln2g xx，若对0,x，f xg x恒成立，则整数a的最小值为（）A1 B2 C3 D4 7已知21()ln2f xaxx，若对任意正实数1212,x xxx，都有 12124f xf xxx，则a的取值范围 是（）A0,1 B4,C0,4 D6,二、解答题 8已知函数 lnf xxnnR.（1）若曲线 yf x与直线yx相切，求n的值；（2）若存在00 x，使 02200 xf xex成立，求实数n的取值范围.9已知函数 lnf xmxaxm，xexg xe，其中m，a均为实数（1）试判断过点1,0能做几条直线与 yg x的图象相切，并说明理由；（2）设1,0ma，若对任意的1x，23,4x（12xx），212111fxfxg xg x恒成立，求a的最小值 10已知函数 1lnafxaxxx，其中2a （1）求 fx的极值；（2）设mZ，当1a 时，关于x的不等式 2xf xmxe在区间0,1上恒成立，求m的最小值 11已知函数()(0)2xaf xaxa（1）当1a 时，求4()f mfm的值；（2）当(0,)x时，关于 x的不等式1()1f xfx恒成立，求实数 a 的取值范围 12已知函数2()2ln43f xxxx（1）求函数()f x在1,2上的最小值；（2）若3()(1)f xa x，求实数a的值 13函数 1ee1xxfxxk.（1）当2k 时，求 fx的单调区间；（2）当0 x 时，0f x 恒成立，求整数k的最大值.14已知函数 ln1f xxmx，2xg xx e（1）若 f x的最大值是 0，求m的值；（2）若对其定义域内任意x，f xg x恒成立，求m的取值范围 15已知函数 lnf xaxax，且 0f x 恒成立（1）求实数a的值；（2）记 h xxfxx，若mZ，且当1,x时，不等式 1h xm x恒成立，求m的最大值 16已知函数 lnxf xxeaxx.（1）当0a 时，求 f x的最小值；（2）若对任意0 x 恒有不等式 1fx 成立.求实数a的值；证明：22 ln2sinxx exxx.17已知函数 322339f xxaxa xa.（1）设1a，求函数 f x的单调区间；（2）若13a，且当1,4xa时，312f xaa恒成立，试确定a的取值范围.18已知函数32()2.f xxaxx （1）如果函数 f（x）的单调递减区间为1,13，求 f（x）的表达式；（2）若不等式2 ln()2xxfx恒成立，求实数 a 的取值范围.19已知函数321()(,)3f xxxaxb a bR.（1）当3,0ab时，求函数()f x的在(3，3f)处的切线方程；（2）若函数()f x在其图象上任意一点00(,()xf x处切线的斜率都小于22a，求实数a的取值范围.20已知0a，函数 22lnf xaxxax.（1）若2a，求曲线 yf x在 1,1f处的切线方程；（2）若当 1,xe时，210eef x，求a的所有可能取值.21设函数 2ln1f xxxax.（1）若0a，求 f x的单调区间；（2）若0 x 时 0f x，求a的取值范围.22已知函数 f(x)=xe-mx-2，g(x)=xe-sinx-xcosx-1.（1）当 x2时，若不等式 f(x)0 恒成立，求正整数 m的值（2）当 x0 时，判断函数 g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据:2e4.8 23已知函数311()ln62f xxxxx.（1）求曲线()yf x在点（1，(1)f）处的切线方程；（2）若()f xa对1(,)xee恒成立，求a的最小值.24已知函数 sin02f xaxxbx在3x 处有极值.（1）求a的值，并判断3x 是 f x的极大值点还是极小值点？（2）若不等式 sincosf xxx对于任意的0,2x恒成立，求b的取值范围.25已知函数 3212fxxxbxc，且 f x在1x 处取得极值（）求 b的值；（）若当1,2x 时，2f xc恒成立，求 c的取值范围；（）对任意的12,1,2x x ，1272fxfx是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由 26设函数223223()3,()33,22aaf xxxax g xaxxa R.（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数23()()()0,222axf xg xxx在0 x 处取得最大值，求 a的取值范围.27已知函数 2121ln2fxxaxx （1）当0a 时，若函数 f x在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（2）若函数 f x的极大值点为1x，2111lnxxaxm恒成立，求m的范围 28已知函数 212fxx，lng xax.（1）若曲线 yf xg x在2x 处的切线与直线370 xy垂直，求实数a的值；（2）设 h xf xg x，若对任意两个不等的正数1x，2x，都有 12122h xh xxx恒成立，求实数a的取值范围；（3）若1,e上存在一点0 x，使得 00001fxg xgxfx成立，求实数a的取值范围.29已知函数32()23(1)6()f xxm xmx xR.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若(1)5f，函数2()()(ln1)0f xg xaxx在(1,)上恒成立，求证：2ae.30已知函数 2,lnf xxm g xxx.(1)若函数 F xf xg x，求函数 F x的极值；(2)若 222xxf xg xxexxe在0,4x时恒成立，求实数m的最小值.专题 21 利用导数解决函数的恒成立问题 一、单选题 1已知a，b为实数，不等式lnaxbx恒成立，则ba的最小值为（）A2 B1 C1 D2【答案】B【分析】不等式lnaxbx恒成立，设 lnfxxaxb，即 0f x 恒成立，求出 1axfxx，分析得出函数 f x的单调区间，求出函数 f x的最大值，从而可得 max0f x,即ln1ba，设 ln1ag aa，求出 g a的最小值即可得出答案.【详解】设 lnfxxaxb，则lnaxbx恒成立等价于 max0f x成立，显然0a 时不合题意当0a 时，11axfxaxx，当10 xa时，0fx，当1xa时，0fx，则 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，max11ln10f xfbaa ln1ba，ln1baaa，令 ln1ag aa，则 2lnag aa，当01a时，0g a，g a在0,1上单调递减，当1a 时，0g a，g a在1,上单调递增，min11g ag，1ba，min1ba，此时1a，1b 故选：B【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设 lnfxxaxb，lnaxbx恒成立等价于 max0f x成立初步判断出a的取值范围；二是求出ln1baaa之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得ba的最小值属于难题.2已知函数()ex bf xax,a bR，且(0)1f，当0 x 时，()cos(1)f xxx恒成立，则 a 的取值范围为（）A0,B1 e,C,e De,【答案】B【分析】由 0e1bf，可得0b，从而()exf xax，从而当0 x 时，ecos(1)xaxx恒成立，构造函数 e,0,xs xxx，可得 min1es xs，结合1x 时，cos(1)x 取得最大值 1，从而ecos(1)xxx的最大值为1 e，只需1 ea 即可.【详解】由题意，0e1bf，解得0b，则()exf xax，则当0 x 时，ecos(1)xaxxx，即ecos(1)xaxx恒成立，令 e,0,xs xxx，则 2e1xxsxx，当0,1x时，0s x，1,x时，0s x，所以 s x在0,1上是减函数，在1,是增函数，min1es xs，又因为当1x 时，cos(1)x 取得最大值 1，所以当1x 时，ecos(1)xxx取得最大值1 e，所以1 ea .故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为ecos(1)xaxx，进而求出 ecos(1)xxx的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.3已知函数 2sinln6xf xaxxa（0a，且1a），对任意1,x 20,1x，不等式 212f xf xa恒成立，则实数 a的最小值是（）A2e Be C3 D2【答案】A【分析】由导数求得 f x在0,1上单调递增，求得函数的最值，把任意1,x 20,1x，不等式 212f xf xa恒成立，转化为 maxmin2fxfxa，进而求得a的取值范围，得到最小值.【详解】由题意，显然2a，因为函数 2sinln6xf xaxxa，可得 ln(1)cos()36xfxa ax，又由0,1,2xa，可得ln0,10,cos()036xaax，故 0fx，函数 f x在0,1上单调递增，故 maxmin(1)1 ln,(0)1f xfaa f xf，对任意1,x 20,1x，不等式 212f xf xa恒成立，即 maxmin2fxfxa，所以1 ln12aaa ，即ln2a，解得2ae，即实数a的最小值为2e.故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 4对于正数k，定义函数：,fxfxkg xk fxk.若对函数 ln22f xxx，有 g xf x恒成立，则（）Ak的最大值为1ln 2 Bk的最小值为1ln 2 Ck的最大值为ln 2 Dk的最小值为ln 2【答案】B【分析】利用导数求出函数 f x的最大值，由函数 g x的定义结合 g xf x恒成立可知 f xk，由此可得出k的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k，定义函数：,fxfxkg xk fxk，且 g xf x恒成立，则 f xk.函数 ln22f xxx的定义域为0,，且 111xfxxx.当01x时，0fx，此时，函数 f x单调递增；当1x 时，0fx，此时，函数 f x单调递减.所以，max11ln 2fxf，1ln 2k.因此，k的最小值为1ln 2.故选：B.【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式 kf x恒成立，从而将问题转化为求函数 f x的最大值.5已知函数2()1(0)f xaxxa，若任意1x，21x，)且12xx都有1212()()1f xf xxx，则实数a的取值范围（）A1，)B(0，1 C2，)D(0,)【答案】A【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可【详解】1212()()1f xf xxx表示函数 f x在区间1,上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于 21 1fxax，1x时恒成立，0a时，0fx，不合题意，0a 时，只需21 1ax，即1ax在1，)恒成立，故max1()1ax，故a的范围是1，)，故选：A【点睛】1212()()1f xf xxx表示函数 f x在区间1,上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.6已知函数 221f xaxax，2ln2g xx，若对0,x，f xg x恒成立，则整数a的最小值为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】0 x，问题变形为22(ln1)2xxaxx在(0,)上恒成立设22(ln1)()2xxh xxx，用导数求出它的最大值，对最大值估计其范围后可得a的最小整数值【详解】()()f xg x即为221axax2ln2x，2(2)2ln22a xxxx，因为0 x，所以22(ln1)2xxaxx，即22(ln1)2xxaxx在(0,)上恒成立 设22(ln1)()2xxh xxx，则222(1)(2ln)()(2)xxxh xxx，令()2lnp xxx，则()p x在(0,)上是增函数，(1)10p，111112ln2ln 2ln4022222p，所以()p x在1,12上存在唯一零点0 x，即000()2ln0p xxx，01,12x，所以00 xx时，()0h x，()h x递增，0 xx时，()0h x，()h x递减，所以max0()()h xh x00022000002ln222122xxxxxxxx，所以01ax，又01(1,2)x，所以a的最小整数值为 2 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法用分离参数法变形为求函数最大值，在求函数最大值时，导函数的零点需要定性分析，估计出范围，利用零点求出函数的最大值，再得出最大值的范围，然后得出所求结论 7已知21()ln2f xaxx，若对任意正实数1212,x xxx，都有 12124f xf xxx，则a的取值范围是（）A0,1 B4,C0,4 D6,【答案】B【分析】根据条件 12124f xf xxx可变形为112212()4()40f xxf xxxx，构造函数 21()4ln()402g xfxxa xaxx，利用其为增函数即可求解.【详解】根据1212()()4f xf xxx可知112212()4()40f xxf xxxx，令 21()4ln()402g xfxxa xaxx 由112212()4()40f xxf xxxx知()g x为增函数，所以 400,0agxxxax恒成立，分离参数得4axx，而当0 x 时，4xx在2x 时有最大值为4，故4a.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题由条件 12124f xf xxx恒成立，转化为112212()4()40f xxf xxxx恒成立是解题的关键，再根据此式知函数 21()4ln()402g xfxxa xaxx为增函数，考查了推理分析能力，属于中档题.二、解答题 8已知函数 lnf xxnnR.（1）若曲线 yf x与直线yx相切，求n的值；（2）若存在00 x，使 02200 xf xex成立，求实数n的取值范围.【答案】（1）1；（2）,e.【分析】（1）利用切点和切线的斜率列方程，由此求得n的值.（2）将已知条件转化为存在00 x，使02200lnxf xex成立，等价于：存在00 x，使02200ln 0 xexnx成立.令 22ln0 xg xexnxx，2122xgxexxn，令 2122xh xgxexxn，22142xh xexn，当0 x 时，0h x，故 h xgx在0,单调递增，所以 102gxgn，当12n 时，120gxn，故 g x在0,单调递增，所以 01 lng xgn，由已知1ln 0n，即ne.当12n时，102 0 xxexx，2122xxex，2142 0 xxe，所以 2122xxex在0,单调递增，所以 11020 x；所以 1101 0 x，故12210 xex.令 22 0 xxex x，2221 0 xxe，故 2x在0,单调递增，所以 2201x，故121ln 22 ln2 0 xex 故不存在00 x，使02200ln0 恒成立，然后构造函数31g()=ln22xxxx，求其最小值可得答案.【详解】（1）2()321fxxax，由题意23210 xax 的解集为1,13，即2321=0 xax的两根是1,13，由此解得=1a.所以32()2.f xxxx （2）即不等式22 ln321xxxax对任意 x0恒成立，即31ln22xaxx对任意 x0 恒成立，令31g()=ln22xxxx，则2(1)(31)g()=2xxxx，令g()=0 x，得=1x或13-(舍)当01x时，()0g x；当1x 时，()0g x，所以maxg()(1)2xg，所以实数 a 的取值范围是2,.【点睛】关键点睛：本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用导数求最值，如果导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.18已知函数32()2.f xxaxx （1）如果函数 f（x）的单调递减区间为1,13，求 f（x）的表达式；（2）若不等式2 ln()2xxfx恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）y=9；（2）|1a a 或12a .【分析】（1）求出(3)9f以及 30f，即可求出切线方程；（2）2()2fxa对任意xR恒成立，等价于2222xxaa对任意xR恒成立，令2()2g xxx，求出()g x的最大值，即可求出a的范围.【详解】解：（1）3,0ab时，321()33f xxxx，(3)9f 223fxxx，396 30f ，0k 所以函数()f x在3x 处的切线方程为：9y （2）因为2()2fxxxa，由题意得：22()22fxxxaa 对任意xR恒成立，即2222xxaa对任意xR恒成立，设2()2g xxx，所以22()2(1)1g xxxx ，所以当1x 时，()g x有最大值为1，所以221aa，解得1a 或12a ，所以，实数a的取值范围为|1a a 或12a .【点睛】本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题.方法点睛：（1）参变分离（2）f xg a的恒成立问题转化为 maxf xg a（3）求出 f x在已知范围下函数的值域（4）求解参数a 19已知函数321()(,)3f xxxaxb a bR.（1）当3,0ab时，求函数()f x的在(3，3f)处的切线方程；（2）若函数()f x在其图象上任意一点00(,()xf x处切线的斜率都小于22a，求实数a的取值范围.【答案】（1）y=9；（2）|1a a 或12a .【分析】（1）求出(3)9f以及 30f，即可求出切线方程；（2）2()2fxa对任意xR恒成立，等价于2222xxaa对任意xR恒成立，令2()2g xxx，求出()g x的最大值，即可求出a的范围.【详解】解：（1）3,0ab时，321()33f xxxx，(3)9f 223fxxx，396 30f ，0k 所以函数()f x在3x 处的切线方程为：9y （2）因为2()2fxxxa，由题意得：22()22fxxxaa 对任意xR恒成立，即2222xxaa对任意xR恒成立，设2()2g xxx，所以22()2(1)1g xxxx ，所以当1x 时，()g x有最大值为1，所以221aa，解得1a 或12a ，所以，实数a的取值范围为|1a a 或12a .【点睛】本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题.方法点睛：（1）参变分离（2）f xg a的恒成立问题转化为 maxf xg a（3）求出 f x在已知范围下函数的值域（4）求解参数a 20已知0a，函数 22lnf xaxxax.（1）若2a，求曲线 yf x在 1,1f处的切线方程；（2）若当 1,xe时，210eef x，求a的所有可能取值.【答案】（1）43yx；（2）1.【分析】（1）求出 fx，然后求出 1f，1f即可；（2）令 110fa，可得1a，然后可得 f x在 1,e上单调递减，然后求出 f x的最值即可解出答案.【详解】（1）若2a，则 24ln2f xxxx，422fxxx.则 14f，11f，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为43yx.（2）222axaxafxxaxx，0 x.令 110fa，可得1a，所以当 1,ex时，0fx，所以 f x在 1,e上单调递减.max10f xf，该不等式成立.222mineee1 eef xfaa ，即1e 10aa，所以1a 综上所述，a的可能取值只有 1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：（1）若 af x恒成立，则 maxaf x；（2）若 af x恒成立，则 minaf x.21设函数 2ln1f xxxax.（1）若0a，求 f x的单调区间；（2）若0 x 时 0f x，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为1,0，单调递减区间为0,；（2）1,2.【分析】（1）求得 1xfxx，然后可得答案；（2）分0a、102a、12a 三种情况讨论，每种情况下利用导数研究其单调性，结合 00f可得答案.【详解】（1）f x的定义域为1,，当0a 时，ln1f xxx，1xfxx，当10 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，所以 f x的单调递增区间为1,0，单调递减区间为0,.（2）由（1）知ln10 xx，当且仅当0 x 时等号成立.若0a，2ln1ln10f xxxaxxx，不符合条件.若0a，2211xaxafxx，1x .令 0fx，得0 x 或212axa，若102a，则当2102axa 时 0fx，f x单调递减，此时 00f xf，不符合条件.若12a ，则当0,x时，0fx，f x单调递增，此时 00f xf，即当0 x 时，0f x.综上所述，a的取值范围是1,2 【点睛】方法点睛：在处理函数有关的不等式时，一般是利用函数的单调性和特殊点的函数值解决.22已知函数 f(x)=xe-mx-2，g(x)=xe-sinx-xcosx-1.（1）当 x2时，若不等式 f(x)0 恒成立，求正整数 m的值（2）当 x0 时，判断函数 g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据:2e4.8【答案】（1）1；（2）2个，证明见解析.【分析】(1)将问题转化为2x时，不等式2xemx恒成立，令()2xeh xx，用导数法求得其最小值即可.(2)易知(0)0g，则 0 是()g x的一个零点，由2x时，()sincos120 xxg xexxxex，得到()g x无零点，当02x时，用导数法结合零点存在定理求解.【详解】(1)因为当 x2时，若不等式 f(x)0 恒成立，所以当2x时，不等式2xemx恒成立，令()2xeh xx，则22(2)(1)2()0 xxxe xeexh xxx，所以()h x在,)2上递增，所以2min228()()252eh xh，因为28125，所以正整数m的值为 1.(2)当0 x 时，函数()g x有 2 个零点.证明如下：显然(0)0g，所以 0是()g x的一个零点，当2x时，()sincos120 xxg xexxxex，所以()g x无零点；当02x时，()2cossinxg xexxx，令()()2cossinxh xg xexxx，则()()3sincos0 xh xg xexxx，所以()g x在0,2上递增 又(0)10,g 2()022ge，所以存在唯一1(0,)2x使得1()0g x.所以当1(0,)xx时，()0g x，故()g x递减；当1(,)2xx时，()0g x，故()g x递增；因为(0)0g，所以1()0g x，又2()202ge，所以存在唯一21(,)2xx使得2()0g x 综上得：当0 x 时，函数()g x有 2个零点.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 23已知函数311()ln62f xxxxx.（1）求曲线()yf x在点（1，(1)f）处的切线方程；（2）若()f xa对1(,)xee恒成立，求a的最小值.【答案】（1）23y；（2）31162ee.【分析】（1）求导211()ln22fxxx，再分别求得(1)f(1)f，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f xa对1(,)xee恒成立，则 maxaf x，再利用导数求解 maxf x即可.【详解】（1）()f x的定义域为(0,).由已知得211()ln22fxxx，且2(1)3f.所以(1)0f.所以曲线()yf x在点（1，(1)f）处的切线方程为23y.（2）设()()g xfx，（1xee）则211()xgxxxx.令()0g x 得1x.当x变化时，()g x符号变化如下表：x 1(,1)e 1(1,)e()g x 0 ()g x 极小 则()(1)0g xg，即()0fx，当且仅当1x 时，()0fx.所以()f x在1(,)ee上单调递增.又311()62f eee，因为()f xa对1(,)xee恒成立，所以31162aee，所以a的最小值为为31162ee.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x在区间 D上有最值，则（1）恒成立：min,00 xD f xf x；max,00 xD f xf x；（2）能成立：max,00 xD f xf x；min,00 xD f xf x.若能分离常数，即将问题转化为：af x（或 af x），则（1）恒成立：maxaf xaf x；minaf xaf x；（2）能成立：minaf xaf x；maxaf xaf x；24已知函数 sin02f xaxxbx在3x 处有极值.（1）求a的值，并判断3x 是 f x的极大值点还是极小值点？（2）若不等式 sincosf xxx对于任意的0,2x恒成立，求b的取值范围.【答案】（1）2a，3x 是 f x的极大值点；（2）1b.【分析】（1）由03f可得2a，然后 12cos12 cos2fxxx，可判断出答案；（2）条件转化为cossinbxxx对于一切0,2x恒成立，记 cossing xxxx，然后利用导数求出 g x的最大值即可.【详解】（1）由 sinf xaxxb，得 cos1fxax，由题意，得03f，即cos103a，解得2a.当2a 时，12cos12 cos2fxxx，由 0fx，得1cos2x，结合02x，解得3x.当03x时，0fx；当32x时，0fx，3x 是 f x的极大值点.（2）本题等价于cossinbxxx对于一切0,2x恒成立.记 cossing xxxx，则 maxbg x，1 sincos12sin4gxxxx .由02x，得3444x，所以2sin124x，即12sin24x，0g x.从而 g x在0,2上是减函数，max01g xg，故1b 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：（1）若 af x恒成立，则 maxaf x；（2）若 af x恒成立，则 minaf x.25已知函数 3212fxxxbxc，且 f x在1x 处取得极值（）求 b的值；（）若当1,2x 时，2f xc恒成立，求 c的取值范围；（）对任意的12,1,2x x ，1272fxfx是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由【答案】（）2b ；（）c的取值范围是,12,（）成立，证明见解析.【分析】（）由题意得 f（x）在 x1处取得极值所以 f（1）31+b0所以 b2 （）利用导数求函数的最大值即 g（x）的最大值，则有 c22+c，解得：c2或 c1（）对任意的 x1，x21，2，|f（x1）f（x2）|72恒成立，等价于|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min72【详解】（）f（x）x312x2+bx+c，f（x）3x2x+b f（x）在 x1 处取得极值，f（1）31+b0 b2 经检验，符合题意（）f（x）x312x22x+c f（x）3x2x2（3x+2）（x1），当 x（1，23）时，f（x）0 当 x（23，1）时，f（x）0 当 x（1，2）时，f（x）0 当 x23 时，f（x）有极大值2227c 又 f（2）2+c2227c，f（1）12c2227c x1，2时，f（x）最大值为 f（2）2+c c22+cc1 或 c2（）对任意的 x1，x21，2，|f（x1）f（x2）|72恒成立 由（）可知，当 x1 时，f（x）有极小值32c 又 f（1）12c32c x1，2时，f（x）最小值为32c|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min72，故结论成立【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为 0要检验，结论点睛：|f（x1）f（x2）|a 恒成立等价为 f（x）maxf（x）mina 26设函数223223()3,()33,22aaf xxxax g xaxxa R.（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数23()()()0,222axf xg xxx在0 x 处取得最大值，求 a的取值范围.【答案】（1）当3a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a，单调递减区间为93931,133aa；（2）6,5.【分析】（1）先对 f x求导，对导函数分3a 和3a 两种情况讨论即可.（2）因为函数 x在0 x 处取得最大值，所以23223133(0)()(1)3,0,22222axaxaxxax，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）22()36313fxxxaxa，当3a 时，0fx，所以()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，令 0fx，得9313ax 或9313ax，所以()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a 令 0fx，得93931133aax，所以()f x的单调递减区间为93931,133aa.综上，当3a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无单调递减区间；当3a 时，()f x的单调递增区间为93,13a和931,3a，单调递减区间为93931,133aa.（2）由题意得322133()(1)3,0,2222xaxaxxax.因为函数 x在0 x 处取得最大值，所以23223133(0)()(1)3,0,22222axaxaxxax，即3213(1)30,0,222axaxxx，当0 x 时，显然成立.当0,2x时，得21313022axax，即22323232322221+2xxaxxxxxx.令22,4tx，则2()1,(2,4th ttt，2210h tt 恒成立，所以 2()1,(2,4th ttt 是增函数，5()0,2h t，所以3625(2)12xx，即65a，所以 a 的取值范围为6,5.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.27已知函数 2121ln2fxxaxx （1）当0a 时，若函数 f x在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（2）若函数 f x的极大值点为1x，2111lnxxaxm恒成立，求m的范围 【答案】（1）k的最小值为 2，4210 xy；（2）1m .【分析】（1）利用导数得出 1fxxx，然后利用对勾函数的性质和切线方程的公式进行求解即可（2）求导得出 221xaxfxx，然后对a进行分类讨论，得出当1a 或1a 时才符合题意，然后利用导函数的性质，得到21112xax，进而得到2211111111lnln22xxxaxxxx，10,1x，得到211111ln22xxxxm，然后，设 21ln22xh xxxx，0,1x，进而求出m的范围【详解】解：（1）0a，211ln 02fxxx x，12fxxx，当仅当1xx时，即1x 时，f x的最小值为 2，斜率k的最小值为 2，切点31,2A，切线方程为3212yx，即4210 xy （2）21212 0 xaxfxxaxxx，当11a 时，f x单调递增无极值点，不符合题意；当1a 或1a 时，令 0fx，设2210 xax 的两根为1x和2x，因为1x为函数 f x的极大值点，所以120 xx，又121x x，122 0 xxa，1a，101x，10fx，2111120 xaxx，则21112xax，2211111111lnln22xxxaxxxx，10,1x，令 21ln22xh xxxx，0,1x，231ln22xh xx，211 33xh xxxx，0,1x，当303x时，0h x，当313x时，0h x，h x在30,3上单调递增，在3,13上单调递减，3ln3 e.综上所述，实数a的取值范围是21,2,1ee.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，属于中档题.29已知函数32()23(1)6()f xxm xmx xR.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若(1)5f，函数2()()(ln1)0f xg xaxx在(1,)上恒成立，求证：2ae.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m，转化为23ln1xax在(1,)x上恒成立，利用导数求出23()(1)ln1xh xxx的最小值，即可求解.【详解】（1）2266 1661fxxm xmxm xm 6(1)()xxm 若1m 时，()0fx，()f x在R上单调递增；若1m时，1m，当xm 或1x 时，()0fx，()f x为增函数，当1mx 时，()0fx，()f x为减函数，若1m 时，1m，当1x 或xm时，()0fx，()f x为增函数，当1xm 时，()0fx，()f x为减函数.综上，1m 时，()f x在R上单调递增；当1m时，()f x在(,)m和(1,)上单调递增，在(,1)m上单调递减；当1m 时，()f x在(,1)和(,)m上单调递增，在(1,)m上单调递减.（2）由(1)23(1)65fmm，解得 0m，所以32()23f xxx，由(1,)x时，ln10 x，可知()(ln1)230g xaxx 在(1,)上恒成立 可化为23ln1xax在(1,)x上恒成立，设23()(1)ln1xh xxx，则22132(ln1)(23)2ln()(ln1)(ln1)xxxxxh xxx，设3()2ln(1)xxxx，则 223()0 xxx，所以()x在(1,)上单调递增，又3ln163(2)2ln 2022，3()20ee 所以方程()0h x有且只有一个实根0 x，且 00032,2ln.xexx 所以在0(1,)x上，()0h x，()h x单调递减，在0(,)x 上，()0,()h xh x单调递增，所以函数()h x的最小值为0000002323()223ln112xxh xxexx，从而022.axe【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到232ln()(ln1)xxh xx后，不能求出()h x的零点，需要根据()h x的单 调性及零点存在定理得到0 x的大致范围，再利用0 x的范围及0032ln xx证明不等式.30已知函数 2,lnf xxm g xxx.(1)若函数 F xf xg x，求函数 F x的极值；(2)若 222xxf xg x