2021高考数学一轮复习第二部分专题突破练专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题含解析苏教版.pdf
.专题突破练 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 一、选择题 1设AB为过抛物线y22px0的焦点的弦,则|AB|的最小值为 A错误!Bp C2p D无法确定 答案 C 解析 当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x错误!,yp,|AB|min2p.故选 C 2设双曲线错误!错误!1 的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|BF2|的最小值为 A13 B12 C11 D10 答案 C 解析 由题意,得双曲线的实半轴长a2,虚半轴长b错误!.根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4,|BF2|BF1|2a4,由得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|AB|8.又|AB|min错误!3,所以|AF2|BF2|的最小值为 11,故选 C 3已知M为抛物线C：x28y上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 A B0,2 C D2,答案 C 解析 由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为 4,且|FM|4,根据抛物线的定义知|FM|y02,所以y024,得y02,故y0的取值范围是 4过椭圆错误!错误!1 的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PQF周长的最小值是 A14 B16 C18 D20 答案 C 解析 如图,设F为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|,|OP|OQ|,所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|,易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,PQF的周长取得最小值 102418.故选 C.5已知双曲线C：错误!错误!10,b0的左、右焦点分别为F1,F2,又点N错误!.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|MN|4b,则双曲线C的离心率的取值范围为 A错误!B C错误!D 答案 C 解析 由双曲线的定义知|MF2|MF1|2a,则|MF2|MF1|2a,则|MF2|MN|4b恒成立,即|MF1|MN|2a4b恒成立,即|MF1|MN|4b2a恒成立,则min4b2a恒成立 由平面几何知识知,当MF1x轴时,|MF1|MN|取得最小值错误!,所以错误!4b2a,即 3错误!28错误!40,解得 0错误!2.又e错误!错误!,所以e错误!,故选 C 6已知ABC三个顶点A,B,C都在曲线错误!错误!1 上,且错误!2错误!0,M,N分别为AB,AC的中点,若直线OM,ON的斜率存在且分别为k1,k2,则|k1|k2|的取值范围为 A错误!B0,C错误!D错误!答案 D 解析 由于A,B都在曲线错误!错误!1 上,则有错误!错误!1,错误!错误!1,两式相减并整理可得错误!错误!,由错误!2错误!0 知,错误!2错误!,则B,C关于坐标原点对称,而M,N分别为AB,AC的中点,则k1kAC,k2kAB,则|k1|k2|kAC|kAB|2错误!2 错误!2错误!2错误!错误!,当且仅当|kAB|kAC|时,等号成立故选 D 二、填空题 7设椭圆错误!y21 上任意一点A到两条直线x2y0 的距离分别为d1,d2,则d1d2的最大值为_ 答案 错误!解析 设点A的坐标为,则d1d2错误!错误!错误!错误!,所以d1d2的最大值为错误!.8已知P是双曲线C：错误!y21 右支上一点,直线l是双曲线的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线的左焦点,则|PF1|PQ|的最小值是_ 答案 12错误!解析 设双曲线的右焦点为F2,不妨设渐近线l：x错误!y0,则点F2到渐近线l的距离为 1,由于点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2错误!,|PF1|2错误!|PF2|,|PF1|PQ|2错误!|PF2|PQ|2错误!1,当且仅当点Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时取等号,故|PF1|PQ|的最小值是 12错误!.9过抛物线E：y24x焦点的直线l与E交于A,B两点,E在点A,B处的切线分别与y轴交于C,D两点,则 4错误!|CD|AB|的最大值是_ 答案 8 解析 设A,B,切线AC的方程为xtx1t错误!,代入抛物线的方程,消去x,得y24ty4ty1y错误!0.由16t240,得t错误!,所以直线AC的方程为x错误!错误!,其中令x0,得yC错误!,同理可求得yD错误!,所以|CD|错误!|y1y2|.由题意,知抛物线的焦点为F,则设直线AB的方程为xmy1,代入抛物线的方程,消去x,得y24my40,所以y1y24m,y1y24,所以4错误!|CD|AB|2错误!|y1y2|错误!|y1y2|2错误!错误!错误!错误!8错误!错误!4428,所以当错误!错误!时,4错误!|CD|AB|取得最大值为 8.三、解答题 10已知抛物线y22px0的准线经过椭圆错误!错误!1的一个焦点 求抛物线的方程；过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且满足错误!2错误!,若点T是抛物线的曲线段AB上的动点,求ABT面积的最大值 解 因为椭圆错误!错误!1 的左焦点为F1,抛物线的准线为直线x错误!,所以错误!1,解得p2.所以抛物线的方程为y24x.设A,B,易知y10,y20,由错误!2错误!,得y12y2.易知直线l的斜率存在且不为 0.设直线l的方程为xmy1,由错误!消去x整理,得y24my40,易知0,则y1y24m,y1y24,.所以2y错误!4,即y2错误!,则y12错误!,所以m错误!错误!.所以|AB|错误!错误!错误!错误!错误!3错误!错误!.解法一：易知当ABT面积最大时,点T为与直线l平行且与抛物线相切的切点 设与直线l平行的直线方程为x错误!yt,代入y24x得y2错误!y4t0.令24216t0,解得t错误!,则与直线l平行且与抛物线y24x相切的直线的方程为x错误!y错误!,即4x错误!y错误!0.又直线l的方程为 4x错误!y40,所以这两条平行直线间的距离 d错误!错误!.所以ABT面积的最大值 S错误!|AB|d错误!错误!错误!错误!.解法二：设点T的坐标为错误!,错误!n2错误!,则点T到直线l：4x错误!y40 的距离 d错误!错误!,当n错误!时,dmax错误!错误!,此时点T的坐标为错误!.所以ABT面积的最大值 S错误!|AB|dmax错误!错误!错误!错误!.11已知椭圆C：错误!错误!1b0的左、右顶点分别为M,N,点P是椭圆上异于点M,N的任意一点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM,kPN,满足kPMkPN错误!.求椭圆C的离心率；设椭圆C的左焦点为F,过点F的直线AB交椭圆于A,B两点,AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点记GFD的面积为S1,OED的面积为S2,求错误!的取值范围 解 设P,则错误!错误!1,即错误!错误!,因为kPMkPN错误!错误!错误!,所以错误!错误!,又a2b2c2,则有a24c2,a2c,.因此椭圆C的离心率e错误!错误!.由可知a2c,b错误!错误!c,则椭圆的方程为错误!错误!1.根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB的方程为yk,A,B,D,联立错误!消去y并整理得 x28ck2x4k2c212c20,从而有x1x2错误!,y1y2k错误!,所以G错误!.因为DGAB,所以错误!k1,解得xD错误!.由 RtFGD与 RtEOD相似,所以错误!错误!错误!9错误!9,令错误!t,则t9,从而错误!错误!错误!错误!,即错误!的取值范围是错误!.12已知点A和动点B,以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2y24.求动点B的轨迹方程；已知点P,Q,经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M,N两点,求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值 解 如图,设以线段AB为直径的圆的圆心为C,取A 依题意,圆C内切于圆O,设切点为D,则O,C,D三点共线 O为AA的中点,C为AB的中点,|AB|2|OC|.|BA|BA|2|OC|2|AC|2|OC|2|CD|2|OD|4|AA|2.依椭圆的定义可知,动点B的轨迹为椭圆,.设为错误!错误!1b0,其中|BA|BA|2a4,|AA|2c2,a2,c1,b2a2c23,动点B的轨迹方程为错误!错误!1.证明：当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x2,此时直线l与椭圆错误!错误!1 相切,与题意不符；当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y1k 由错误!得x2x16k216k80.设M,N,则错误!由960k错误!.kPMkPN错误!错误!错误!错误!2k错误!2k错误!2k错误!2k错误!2k32k3,为定值 13已知F1,F2为椭圆C：错误!y21 的左、右焦点,过椭圆长轴上一点M作一条直线l,交椭圆于A,B两点 若直线AF2,AB,BF2的斜率依次成等差数列,求实数m的取值范围；若过点P错误!的直线交椭圆C于E,F两点,则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是,求出该定点的坐标；若不是,请说明理由 解 由题意知F1,F2,直线l的斜率存在且不为 0,设直线l的方程为yk,A,B,则y1k,y2k,因为错误!错误!2k,即错误!错误!2k,整理得2,又公差不为 0,所以x1x22,由错误!得x24k2mx2k2m220,由x1x2错误!2,得k2错误!0,所以m1.又点M在椭圆长轴上,所以 1m错误!,即实数m的取值范围为 假设以EF为直径的圆恒过定点 当EFx轴时,以EF为直径的圆的方程为x2y21；当EFy轴时,以EF为直径的圆的方程为x2错误!2错误!,则两圆的交点为Q 下证当直线EF的斜率存在且不为 0 时,点Q在以EF为直径的圆上 设直线EF的方程为yk0 x错误!,代入错误!y21,整理得x2错误!k0 x错误!0,设E,F,则x3x4错误!,x3x4错误!,又错误!,错误!,所以错误!错误!x3x4 x3x4错误!错误!x3x4错误!k0错误!错误!错误!k0错误!错误!0,所以点Q在以EF为直径的圆上 综上,以EF为直径的圆恒过定点Q
