全国初中数学联赛试题及答案.pdf

2007 年全国初中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试 一、选择题此题总分值 42 分，每题 7 分 此题共有 6 小题，每题均给出了代号为DCBA,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个不管是否写在括号内，一律得 0 分.1.zyx,满足xzzyx532，那么zyyx25的值为 A1.B31.C31.D21.【答】B.解 由xzzyx532得xzxy23,3，所以31333525xxxxzyyx，应选B.注：此题也可用特殊值法来判断.2当x分别取值20071，20061，20051，21，1，2，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx的值，将所得的结果相加，其和等于 A1.B1.C0.D2007.【答】C.解 因为222211)1(1)1(1nnnn011112222nnnn，即当x分别取值n1，nn(为正整数时，计算所得的代数式的值之和为 0；而当1x时，0111122.因此，当x分别取值20071，20061，20051，21，1，2，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为 0.应选C.2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页共 8 页 3.设cba,是ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，那么ABC是 A等腰三角形.B锐角三角形.C钝角三角形.D直角三角形.【答】D.解 由题意可得,5822,1)2(2bbacbabac即,53,2bcacb所以bc53，ba54，因此222bca，所以ABC是直角三角形.应选D.4.锐角ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，那么A的度数是 A30.B45.C60.D75.【答】C.解 锐角ABC的垂心在三角形内部，如图，设ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交O于点E，连CE、AE，那么CE/AH，AE/CH，那么ODCEAHOB2，所以OBD30，BOD60，所以ABOD60.应选C.5设K是ABC内任意一点，KAB、KBC、KCA的重心分别为D、E、F，那么ABCDEFSS:的值为 A91.B92.C94.D32.【答】A.解 分别延长KD、KE、KF，与ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P，由于D、E、F分别为KAB、KBC、KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以ABCMNPSS41.易证DEFMNP，且相似比为3:2，所以MNPDEFSS2)32(ABCS4194ABCS91.所以:DEFS19ABCS.应选A.6袋中装有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球，从袋中摸出 15 个球，摸出的球中恰好有 3 个红球的概率是 A101.B51.C103.D52.【答】B.A E C B D O H 2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页共 8 页 解 设摸出的 15 个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，那么zyx,都是正整数，且7,6,5zyx，15zyx.因为13 zy，所以x可取值 2，3，4，5.当2x时，只有一种可能，即7,6zy；当3x时，12 zy，有 2 种可能，7,5zy或6,6zy；当4x时，11 zy，有 3 种可能，7,4zy或6,5zy或5,6zy；当5x时，10 zy，有 4 种可能，7,3zy或6,4zy或5,5zy或4,6zy.因此，共有 123410 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为51102.应选B.二、填空题此题总分值 28 分，每题 7 分 1.设121x，a是x的小数局部，b是x的小数局部，那么abba333_1_.解 12121x，而3122，122 xa.又12 x，而2123，22)3(xb.1ba，abba333abbababa3)(221)(3222baabbaba.2.对于一切不小于 2 的自然数n，关于x的一元二次方程22(2)20 xnxn的两个根记作nnba,2n，那么)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba=.10034016 解 由根与系数的关系得2nbann，22nnabn，所以)2)(2(nnba(2nnba4)nnba222(2)42(1)nnn n ，那么111 11()(2)(2)2(1)21nnabn nnn ，)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba 2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页共 8 页 11111111 111003()()()()22334200720082 220084016 .3.直角梯形ABCD的四条边长分别为6,10,2ADCDBCAB，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，那么BFBE 的值为_4_.解 延长CD交O于点G，设DGBE,的中点分别为点NM,，那么易知DNAM.因为10 CDBC，由割线定理，易证DGBF，所以42)(2)(2ABAMBMDNBMDGBEBFBE.4 假设64100 a和64201 a均为四位数，且均为完全平方数，那么整数a的值是_17_.解 设264100ma，264201na，那么100,32nm，两式相减得)(10122mnmnmna，因为 101 是质数，且101101mn，所以101 mn，故1012 nmna.代入264201na，整理得0202374022nn，解得59n，或343n舍去.所以171012 na.第二试 A 一、此题总分值 20 分设nm,为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求nm,的值.解 因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为3mt.由题意，32mttn，即22(3)(2)mttn，即222(4)(64)90mtmn tn.由题意知，042m，且上式对一切实数t恒成立，所以,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm A B C D E F G M N 2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页共 8 页 22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm 二、此题总分值 25 分如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：AFN=DME.证明 设MN与EF交于点P，NE/BC，PNEPBC，PCPEPBPN,PCPNPEPB.又ME/BF，PMEPBF，PFPEPBPM,PFPMPEPB.PFPMPCPN,故PFPCPNPM 又FPN=MPE，PNFPMC，PNFPMC，NF/MC ANFEDM.又ME/BF，FANMED.ANFFANEDMMED，AFN=DME.三、此题总分值 25 分a是正整数，如果关于x的方程056)38()17(23xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11x，将方程的左边分解因式，得 056)18()1(2xaxx 因为a是正整数，所以关于x的方程 056)18(2xax 1 的判别式0224)18(2a，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程1的根都是整数，因此它的判别式224)18(2a应该是一个完全平方数.设22224)18(ka其中k为非负整数，那么224)18(22ka，即 224)18)(18(kaka.显然ka18与ka18的奇偶性相同，且1818ka，而8284562112224，所以 A B C D E F M N P 2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 5 页共 8 页,218,11218kaka或,418,5618kaka或,818,2818kaka解得,55,39ka或,26,12ka或,10,0ka 而a是正整数，所以只可能,55,39ka或.26,12ka 当39a时，方程1即056572xx，它的两根分别为1和56.此时原方程的三个根为 1，1和56.当12a时，方程1即056302xx，它的两根分别为2和28.此时原方程的三个根为 1，2和28.第二试 B 一、此题总分值 20 分设nm,为正整数，且2m，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为1d，二次函数ntxntxy2)2(2的图象与x轴的两个交点间的距离为2d.如果21dd 对一切实数t恒成立，求nm,的值.解 因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以31 mtd；一元二次方程02)2(2ntxntx的两根分别为t 2和n，所以ntd 22.所以，21dd 22)2()3(23ntmtntmt 09)46()4(222ntnmtm 1 由题意知，042m，且1式对一切实数t恒成立，所以,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm 22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm 二、此题总分值 25 分题目和解答与A卷第二题相同.三、此题总分值 25分 设a是正整数，二次函数axaxy38)17(2，反比例函数xy56，如果两个函数的图象的交点都是整点横坐标和纵坐标都是整数的点，求a的值.2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 6 页共 8 页 解 联立方程组,56,38)17(2xyaxaxy消去y得axax38)17(2x56，即 056)38()17(23xaxax，分解因式得 056)18()1(2xaxx 1 显然11x是方程1的一个根，1，56是两个函数的图象的一个交点.因为a是正整数，所以关于x的方程 056)18(2xax 2 的判别式0224)18(2a，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程2的根都是整数，因此它的判别式224)18(2a应该是一个完全平方数.设22224)18(ka其中k为非负整数，那么224)18(22ka，即 224)18)(18(kaka.显然ka18与ka18的奇偶性相同，且1818ka，而8284562112224，所以,218,11218kaka或,418,5618kaka或,818,2818kaka解得,55,39ka或,26,12ka或,10,0ka 而a是正整数，所以只可能,55,39ka或.26,12ka 当39a时，方程2即056572xx，它的两根分别为1和56，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(和)1,56(.当12a时，方程2即056302xx，它的两根分别为2和28，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(和)2,28(.第二试 C 2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 7 页共 8 页 一、此题总分值 25 分题目和解答与B卷第一题相同.二、此题总分值 25 分题目和解答与A卷第二题相同.三、此题总分值 25 分设a是正整数，如果二次函数axaxy710)232(22和反比例函数xay311的图象有公共整点横坐标和纵坐标都是整数的点，求a的值和对应的公共整点.解 联立方程组,311,710)232(22xayaxaxy消去y得axax710)232(22 113ax，即0113)710()232(223axaxax，分解因式得 0311)12()12(2axaxx 1 如果两个函数的图象有公共整点，那么方程1必有整数根，从而关于x的一元二次方程 0311)12(2axax 2 必有整数根，所以一元二次方程2的判别式应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222aaaaa.所以224)18(2a应该是一个完全平方数，设22224)18(ka其中k为非负整数，那么224)18(22ka，即224)18)(18(kaka.显然ka18与ka18的奇偶性相同，且1818ka，而8284562112224，所以,218,11218kaka或,418,5618kaka或,818,2818kaka解得,55,39ka或,26,12ka或,10,0ka 而a是正整数，所以只可能,55,39ka或.26,12ka 当39a时，方程2即0106512xx，它的两根分别为 2 和53，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(和)2,53(.当12a时，方程2即025242xx，它的两根分别为 1 和25，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(和)1,25(.2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 8 页共 8 页