初一数学竞赛常见题型.pdf

七年级数学竞赛常见题型 有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0 这个性质有时总忘记用.绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例 1 计算：200720061.431321211 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211，可利用通项11111nnnn，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061(.413131212111）（）（）（=2007120061.41313121211 =200711 =20072006 例 2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简bcbaa.分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到 ab0.解 由数轴知，a0，ab0 所以，bcbaa=a(ab)+(cb)=aa+b+cb=2a+c 例 3 计算：211311.9811991110011 分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式=2132.9897999810099=1001 例 4 计算：2222324218219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.222+23=2+22（1+2）=2+22=6.再考虑22223+24=222+23（1+2）=222+23=2+22（1+2）=2+22=6.这怎么又等于 6 了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2222324218+219（1+2）=2222324218+219=2222324217+218（1+2）=2222324217+218=222+23=6【核心练习】1、已知ab2与b1互为相反数，试求：.1111baab200620061ba的值.（提示：此题可看作例 1 的升级版，求出 a、b 的值代入就成为了例 1.）2、代数式ababbbaa的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）【参考答案】1、20082007 2、3 字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例 1 已知：3x6y5=0,则 2x4y+6=_ 分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取 y=0,由 3x6y5=0，可得35x,把 x、y 的值代入 2x4y+6 可得答案328.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由 3x6y5=0，得352yx 所以 2x4y+6=2(x2y)+6=6352=328 例 2 已知代数式1)1(nnxx，其中 n 为正整数，当 x=1 时，代数式的值是 ，当 x=1 时，代数式的值是 .分析 当 x=1时，可直接代入得到答案.但当x=1 时，n 和(n1)奇偶性怎么确定呢？因 n 和(n1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当 x=1 时，1)1(nnxx=111)1(nn=3 当 x=1 时，1)1(nnxx=1)1()1()1(nn=1 例 3 152=225=1001（1+1）+25，252=625=1002（2+1）+25 352=1225=1003（3+1）+25，452=2025=1004（4+1）+25 752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算 20052的值.分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100 是不变的，加 25 是不变的，括号里的加 1 是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解(1)752=1007（7+1）+25，852=1008（8+1）+25(2)(10n+5)2=100n（n+1）+25(3)20052=100200（200+1）+25=4020025 例 4 如图是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图，再分别连接图中间小三角形三边的中点，得到图.S 表示三角形的个数.（1）当 n=4 时，S=，（2）请按此规律写出用 n 表示 S 的公式.分析 当 n=4 时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13 (2)可列表找规律：n 1 2 3 n S 1 5 9 4(n1)+1 S 的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 1+4+4+4=4(n1)+1 所以 S=4(n1)+1.(当然也可写成 4n3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：1，21，31，41，51，61 填空：第 11，12，13 三个数分别是 ，；第 2008 个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式:1+13=22,1+24=32,1+35=42,请将你找出的规律用公式表示出来:【参考答案】1、111，121，1311;20081;0.2、1+n(n+2)=(n+1)2 平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例 1 平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为_个，最多为_个.分析 6 条直线两两相交交点个数最少是 1 个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解 找交点最多的规律：直线条数 2 3 4 n 交点个数 1 3 6 2)1(nn 交点个数变化过程 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+(n1)图形 图1 图 2 图 3 例 2 两条平行直线 m、n 上各有 4 个点和 5 个点，任选 9 点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线.A20 B36 C34 D22 分析与解 让直线 m 上的 4 个点和直线 n 上的 5 个点分别连可确定 20 条直线，再加上直线 m 上的 4 个点和直线 n 上的 5 个点各确定的一条直线，共 22条直线.故选 D.例 3 如图，OM 是AOB 的平分线.射线 OC 在BOM 内，ON 是BOC的平分线，已知AOC=80，那么MON 的大小等于_.分析 求MON 有两种思路.可以利用和来求，即MON=MOC+CON.也可利用差来求，方法就多了，MON=MOBBON=AONAOM=AOBAOMBON.根据两条角平分线，想办法和已知的AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为 OM 是AOB 的平分线，ON 是BOC 的平分线，所以MOB=21AOB，NOB=21COB 所以MON=MOBNOB=21AOB21COB=21（AOBCOB）=21AOC=2180=40 例 4 如图，已知AOB=60，OC 是AOB 的平分线，OD、OE 分别平分BOC 和AOC.（1）求DOE 的大小；（2）当 OC 在AOB 内绕 O 点旋转时，OD、OE 仍是BOC 和AOC 的平分线，问此时DOE 的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.分析 此题看起来较复杂，OC 还要在AOB 内绕 O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现DOE 是AOB 的一半，也就是说要求的DOE，和 OC 在AOB 内的位置无关.解 (1)因为 OC 是AOB 的平分线，OD、OE 分别平分BOC 和AOC.所以DOC=21BOC，COE=21COA 所以DOE=DOC+COE=21BOC+21COA=21（BOC+COA）=21AOB 因为AOB=60 所以DOE=21AOB=2160=30(2)由（1）知DOE=21AOB，和 OC 在AOB 内的位置无关.故此时DOE 的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A、B、C、D、E、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_条.2、在 1 小时与 2 小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是 1 时 分.【参考答案】1、15 条 2、分分或1165411921.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。【典型例题】例 1 已知方程 2x+3=2a与 2x+a=2 的解相同，求 a 的值.分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出 x，可把 2x 整体代入.解 由 2x+3=2a，得 2x=2a3.把 2x=2a3 代入 2x+a=2 得 2a3+a=2，3a=5,所以 35a 例 2 解方程 31221xxx 分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解 两边同时乘以 6，得 6x3(x1)=122(x+1)去分母，得 6x3x+3=122x2 6x3x+2x=1223 5x=7 x=57 例 3 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4%，使得利润增加了 8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为 x 元，销售价为 y 元，那么按原进价销售的利润率为%100 xxy,原进价降低后在销售时的利润率为%100%6.93%6.93xxy,由题意得：%100 xxy+8%=%100%6.93%6.93xxy 解得 y=1.17x 故这种商品原来的利润率为%10017.1xxx=17%.例 4 解方程 x1+x5=4 分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对 x 进行讨论.解：由题意可知，当x1=0 时，x=1；当x5=0 时，x=5.1 和 5 两个“零点”把 x 轴分成三部分，可分别讨论：1）当 x1 时，原方程可化为(x1)(x5)=4，解得 x=1.因 x5 时，原方程可化为(x1)+(x5)=4，解得 x=5.因 x5，故应舍去.所以，1x5 是比不过的。【核心练习】1、已知关于 x 的方程 3x2(x3a)=4x 和1851123xax有相同的解，那么这个解是 .（提 示：本 题 可 看 作 例1 的 升 级 版）2、某 人 以 4 千 米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以 6 千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是_千米/小时.【参考答案】1、2827 2、4.8 生活中的数据篇【核心提示】生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.【典型例题】例 1 下面是两支篮球队在上一届省运动会上的 4 场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.解 用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了 3 场输了 1 场.例 2 根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050 年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.（2）折线统计图（3）80 亿，折线统计图.（4）扇形统计图【核心练习】1、如下图为第 27 届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？【参考答案】1、（1）美国（2）第 3 位（3）俄罗斯.平行线与相交线篇【核心提示】平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.【典型例题】例 1 平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（）条.A7 B6 C9 D8 分析与解 这样的 5 个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只有 A、B、C 三点在一条直线上，D、E 两点分别和 A、B、C 各确定 3 条直线共 6 条，A、B、C 三点确定一条直线，D、E 两点确定一条直线，这样 5 个点共确定 8 条直线.故选 D.例 2 已知BED=60,B=40,D=20,求证：ABCD.分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长 BE 可用内错角证明平行.过点 E 作 AB 的平行线，可证明 FG 与 CD也平行，由此得到 ABCD.连接 BD，利用同旁内角互补也可证明.解 延长 BE 交 CD 于 O，BED=60,D=20，BOD=BEDD=6020=40,B=40，BOD=B，ABCD.其他方法，可自己试试！例 3 如图，在ABC 中，CEAB 于 E，DFAB 于 F，ACED，CE 是ACB的平分线，求证：EDF=BDF.分析 由 CE、DF 同垂直于 AB 可得 CEDF，又知 ACED，利用内错角和同位角相等可得到结论.解 CEAB，DFAB，CEDF EDF=DEC，BDF=DCE，ACED，DEC=ACE，EDF=ACE.CE 是ACB 的平分线，DCE=ACE，EDF=BDF.例 4 如图，在ABC 中，C=90，CAB 与CBA 的平分线相交于 O 点，求AOB 的度数.分析 已知C=90，由此可知CAB 与CBA 的和为 90，由角平分线性质可得OAB 与OBA 和为 45，所以可得AOB 的度数.解 OA 是CAB 的平分线，OB 是CBA 的平分线，OAB=21CAB，OBA=21CBA，OAB+OBA=21CAB+21CBA=21（CAB+CBA）=21（180C）=45，AOB=180（OAB+OBA）=135.（注：其实AOB=180（OAB+OBA）=18021（180C）=90+21C.所以AOB 的度数只和C 的度数有关，可以作为结论记住.）【核心练习】1、如图，ABED,=A+E,=B+C+D,求证：=2.(提示：本题可看作例 2 的升级版)2、如图，E 是 DF 上一点，B 是 AC 上一点，1=2，C=D，求证：A=F.【参考答案】1、可延长 BC 或 DC，也可连接 BD，也可过 C 做平行线.2、先证 BDCE，再证 DFAC.三角形篇【核心提示】三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的 5 种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用 SAS 证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.【典型例题】例 1 如图，在ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 BC、AC 边上，且1=B，AD=DE.求证：ADBDEC.分析 要证ADB 和DEC 全等，已具备 AD=DE 一对边，由 AB=AC 可知B=C，还需要一对边或一对角.由条件1=B 知，找角比较容易.通过外角可得到BDA=CED.证明 AB=AC，B=C，1=B，1=C，BDA=DAC+C，CED=DAC+1 BDA=CED.在ADB 和DEC 中 DEADCEDBDACB，ADBDEC（AAS）.例 2 如图，ACBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点 E，求证：AB=AC+BD.分析 要证 AB=AC+BD 有两种思路，可以把 AB 分成两段分别和 AC、BD相等，也可以把 AC、BD 平移连接成一条线段，证明其与 AB 相等.下面给出第一种思路的过程.证明 在 AB 上截取 AF=AC，连接 EF，EA 别平分CAB，CAE=FAE，在ACE 和AFE 中 AEAEFAECAEAFAC，ACEAFE（SAS），C=AFE.ACBD，C+D=180，AFE+BFE=180，BFE=D.EB 平分DBA,FBE=DBE 在BFE 和BDE 中 BEBEDBFEDBEFBE BFEBDE(AAS),BF=BD.AB=AF+BF,AB=AC+BD.例 3 如图，BD、CE 分别是ABC 的边 AC 和 AB 上的高，点 P 在 BD 的延长线上，BP=AC，点 Q 在 CE 上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ.分析 观察 AP 和 AQ 所在的三角形，明显要证ABP 和QCA 全等.证出全等 AP=AQ 可直接得到，通过角之间的等量代换可得ADP=90.证明 （1）BD、CE 分别是ABC 的边 AC 和 AB 上的高，AEC=ADB=90，ABP+BAC=QCA+CAB=90，ABP=QCA 在ABP 和QCA 中 BACQQCAABPCABP ABPQCA(SAS),AP=AQ.（2）由（1）ABPQCA，P=QAC，P+PAD=90，QAC+PAD=90，APAQ.【核心练习】1、如图，在ABC 中，AB=BC=CA，CE=BD，则AFE=_度.2、如图，在ABC 中，BAC=90AB=AC.D 为 AC 中点，AEBD，垂足为 E.延长 AE 交 BC 于 F.求证：ADB=CDF【参考答案】1、60 2、提示：作BAC 的平分线交 BD 于 P，可先证ABPCAF，再证APDCFD.生活中的轴对称篇【核心提示】轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.【典型例题】例 1 判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.分析与解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的.例 2 下列图形中对称轴条数最多的是()A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 分析与解 有一条对称轴的是 C、D、F、G，有三条对称轴是 E，有四条对称轴的是 A，有两条对称轴的是 B，有五条对称轴的是 I，有无数条对称轴的是H.故选 H.例 3 如图，AOB 是一钢架，且AOB=10，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF、FG、GH添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管_根.分析 由添加的钢管长度都与 OE 相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和 OA 或OB 垂直时，就不能再添加了.解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加 EF 形成外角FEA，添加 FG形成外角GFB.可列表找规律：添加钢管数 1 2 3 4 8 形成的外角度数 20 30 40 50 90 当形成的外角是 90时，已添加 8 根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管 8 根.例 4 小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点 A 表示外公家，点 B 表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析 本题 A（外公家）和 B（草场）的距离已确定，只需找从 B 到l（小河）再到 A 的距离如何最小.因 A 和 B 在l的同侧，直接确定饮水处（C 点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把 A 点转化到河流的另一侧，设为 A，不论饮水处在什么位置，A 点与它的对称点 A到饮水处前距离都相等，当 A到 B 的距离最小时，饮水处到 A 和 B 的距离和最小.也可作 B 的对称点确定 C 点.解 如图所示，C 点即为所求饮水处的位置.【核心练习】1、请用 1 个等腰三角形，2 个矩形，3 个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.2、如图所示，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE=DF，BCEF.这个图形是轴对称图形吗？为什么？【参考答案】1、略 2、是轴对称图形，ABC 与DEF 的对称轴都过点 D，都与 BC 垂直，所以是两条对称轴是同一条直线.通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.