《建立二次函数模型解决实际问题》示范教学方案.pdf

第二十一章 二次函数与反比例函数 214 二次函数的应用 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题一、教学目标 1能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题.2经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学建模的思想和数学的应用价值 二、教学重点及难点 重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题 难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式.三、教学用具 多媒体课件 四、相关资料 无 五、教学过程【情景引入】跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，设拿绳的手此时距地面均为 1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米和 2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？【合作探究】探究点一：二次函数在建筑问题中的应用 例 1 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米水面下降 1 米时，水面的宽度为_米 设二次函数关系式为 ya(xh)2k，将点 A、B 的坐标代入，可得 y19(x4)24.将点 C 的坐标代入上式，得左边右边，即点 C 在抛物线上所以此球一定能投中；(2)将 x1 代入函数关系式，得 y3.因为 3.13，所以盖帽能获得成功【类型二】落点问题 例 3 如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米(取 4 37)?(3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米(取 2 65)?解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA1，OB6，BM4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)根据顶点式可求得抛物线关系式因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y0 代入函数关系式，通过解方程求得OC的长 要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长求解的方法有多种 解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为 ya(x6)24，由已知：当 x0 时，y1，即 136a4，所以 a112.所以函数表达式为 y112(x6)24 或 y112x2x1；(2)令 y0，则112(x6)240，所以(x6)248，所以 x14 3613，x24 360(舍去)所以足球第一次落地距守门员约 13 米；(3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CDEF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了 2 个单位)所以 2112(x6)24，解得 x162 6，x262 6，所以 CD|x1x2|4 610.所以 BD1361017(米)方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答【随堂检测】1.某桥的拱桥是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其函数解析式为2251xy，当水位在 AB 位置时，水面宽 AB 为 30m，这时水面离桥顶的高度 h 是（）A5m B6m C8m D9m 2.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512xy的一部分（如图 2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是（）A3.5m B4m C4.5m D4.6m 3.一抛物线形桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为 5 米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度 AB 为 280 米，距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？请说明理由 y x A B E F C O 图 1 h 图 2 六、课堂小结 这节课你学到了哪些新知识呢？1.运动轨迹问题.2.落点问题.3.涵洞问题.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。七、板书设计 21.4 第 2 课时 建立二次函数模型解决实际问题 1.运动轨迹问题.2.落点问题.3.涵洞问题.