利用圆锥曲线的二级结论秒解选择填空题--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题)1焦点三角形的面积、离心率(1)设 P 点是椭圆x2a2y2b21(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|2b21cos；SPF1F2b2tan 2；esinF1PF2sinPF1F2sinPF2F1.(2)设 P 点是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|2b21cos；SPF1F2b2tan 2；esin F1PF2|sin PF1F2sin PF2F1|.2中心弦的性质 设 A，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点 P 是曲线上与 A，B 不重合的任意一点，则 kAPkBPe21.3中点弦的性质 设圆锥曲线以 M(x0，y0)(y00)为中点的弦 AB 所在的直线的斜率为 k.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2y2b21(ab0)，则 kABb2x0a2y0，kABkOMe21.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，则 kABb2x0a2y0，kABkOMe21.(3)若圆锥曲线为抛物线 y22px(p0)，则 kABpy0.4焦点弦的性质(1)过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交椭圆于A，B 两点，且|AF|FB|，则椭圆的离心率等于1（1）cos.(2)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 且倾斜角为(90)的直线交双曲线右支于 A，B 两点，且|AF|FB|，则双曲线的离心率等于|1（1）cos|.(3)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点，则两焦半径长为p1cos，p1cos，1|AF|1|BF|2p，|AB|2psin2，SAOBp22sin.题型一 椭圆焦点三角形的面积、离心率【例 1】在椭圆x225y291 上，PF1F2为焦点三角形，如图所示 (1)若 60，则PF1F2的面积是_；(2)若 45，75，则椭圆离心率 e_ 答案(1)3 3(2)6 22 解析(1)由焦点三角形公式，得 SPF1F2b2tan 2，即 SPF1F23 3.(2)由公式 esin（）sin sin sin 60sin 45sin 756 22.【训练 1】(1)若 P 是x2100y2641 上的一点，F1，F2是其焦点，若F1PF260，则F1PF2的面积为_(2)在椭圆 Ax2By21 上，PF1F2为焦点三角形，PF2O45，PF1O15，则椭圆的离心率 e_ 答案(1)64 33(2)3 2 62 解析(1)SF1PF2b2tan 2643364 33.(2)由公式 esin（）sin sin，即得 e3 2 62.题型二 中心弦的性质【例 2】设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上异于 A，B 两点，若 AP 与 BP 的斜率之积为12，则椭圆的离心率为_ 答案 22 解析 kAPkBP12，e2112，e212，e22.【训练 2】(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，实轴的两个端点为 A，B，点 P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为_(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，B、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2与椭圆的另一交点为 D，e35，若 cosF1BF2725，则直线 CD 的斜率为_ 答案(1)3(2)1225 解析(1)kPAkPBe213.(2)设DBO，则 cosF1BF2cos 22cos21725，cos21625，cos 45，利用 RtF2OB 易知 kBD43，e35，由 kBDkCDe21，得 kCD1225.题型三 中点弦的性质【例 3】已知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(12，15)，则 E 的方程为()A.x23y261 B.x24y251 C.x26y231 D.x25y241 答案 B 解析 由题意可知 kAB1501231，kMO15012054，由双曲线中点弦中的斜率规律得 kMOkABb2a2，即54b2a2，又 9a2b2，联立解得 a24，b25，故双曲线的方程为x24y251.【训练 3】(1)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271 C.x227y2181 D.x218y291(2)(一题多解)(2018全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若 AMB90，则 k_ 答案(1)D(2)2 解析(1)c3，a2b29，AB 的中点记为 P(1，1)，由 kABkOPe21 则(1)1013b2a2，a22b2，解得 a218，b29.(2)法一 取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别是 A，B，又AMB90，点 M 在准线上，|MM|12|AB|12(|AF|BF|)12(|AA|BB|)，MM平行于 x 轴，y01，又由中点弦的性质得 kABpy02.法二 设抛物线的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y214x1，y224x2，所以 y21y224(x1x2)，则 ky1y2x1x24y1y2，取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为 A，B，又AMB90，点 M 在准线 x1 上，所以|MM|12|AB|12(|AF|BF|)12(|AA|BB|)又 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴，且 y01，所以 y1y22，所以 k2.法三 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为yk(x1)(k0)，由yk（x1），y24x，消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k24)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k24k2，x1x21.由yk（x1），y24x，消去 x 得 y241ky1，即 y24ky40，则 y1y24k，y1y24，则AMB90，得MAMB(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将 x1x22k24k2，x1x21 与 y1y24k，y1y24 代入，得 k2.题型四 焦点弦的性质 【例 4】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 e32，经过右焦点且斜率为k(k0)的直线交椭圆于 A，B 两点，已知AF3FB，则 k()A1 B.2 C.3 D2 答案 B 解析 3，e32，由规律得32cos 3131，cos 33，ktan 2.【训练 4】设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于A、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为()A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 答案 D 解析 抛物线 C：y23x 中，2p3，p32，故 SOABp22sin 942sin 3094.一、选择题 1过点 M(2，0)的直线 m 与椭圆x22y21 交于 P1，P2两点，线段 P1P2的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为()A2 B2 C.12 D12 答案 D 解析 k1k2b2a212.2 已知抛物线 y28x 的焦点为 F，直线 yk(x2)与此抛物线相交于 P，Q 两点，则1|FP|1|FQ|A.12 B1 C2 D4 答案 A 解析 直线 yk(x2)过抛物线的交点 F(2，0)，则1|FP|1|FQ|2p12.3已知椭圆 C：x24y231 的左，右顶点分别为 A1，A2，点 P 在椭圆 C 上，且直线 PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1的斜率的取值范围是()A.12，34 B.38，34 C.12，1 D.34，1 答案 B 解析 由对称弦结论知 kPA1kPA2e21122134，又 kPA22，1，kPA134kPA238，34.4已知 F1，F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则点 P 到 x 轴的距离为()A.32 B.62 C.3 D.6 答案 B 解析 设 P 到 x 轴的距离为 yP，故122 2yP121tan 30，解得 yP62，故 P到 x 轴的距离为62.5抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为6的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若|AB|8，则抛物线的方程为()Ay24x By28x Cy22x Dy26x 答案 C 解析|AB|2psin2，2p|AB|sin28sin262，y22x.6已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，(点 A在第一象限)，若BA4BF，则AOB 的面积为()A.833 B.433 C.832 D.432 答案 B 解析 由题意知AFBF3，AFp1cos，BFp1cos，1cos 1cos 3，cos 12，sin 32，Sp22sin 434 33.7(2018全国卷)设 F1，F2是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|6|OP|，则 C的离心率为()A.5 B2 C.3 D.2 答案 C 解析 不妨设一条渐近线的方程为 ybax，则 F2到 ybax 的距离等于 b，在RtF2PO 中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|6a，又|F1O|c，所以在F1PO与 RtF2PO 中，根据余弦定理得 cosPOF1a2c2（6a）22accosPOF2ac，即 3a2c2(6a)20，得 3a2c2，所以 eca 3.8已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为 2 6，则|AB|()A24 B8 C12 D16 答案 A 解析 p2，SAOBp22sin 2 6，sin 16，|AB|2psin224.9(2021广州调研)已知椭圆：x2a2y2b21(ab0)的长轴是短轴的 2 倍，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 相交于 A，B 两点，且AF3FB，则 k()A1 B2 C.3 D.2 答案 D 解析 依题意 a2b，e1ba232，又 3，由 e1（1）cos 得3231（31）cos，|cos|33，又 k0，0，2，得 cos 33，ktan 2.10(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10 答案 A 解析(极坐标法)设 l1的倾斜角为，那么|AB|AF|BF|21cos 21cos（）21cos 21cos 4sin2，因此 l2的倾斜角为 2或 2，即|DE|4sin22，因此即求 41sin21cos2在0，2上的最小值，令 f()4sin2cos2，取最小值时 sin cos 取最大值，因此4，结果41416.11如图，已知 F1，F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，椭圆上一点 P 使F1PF290，则椭圆离心率 e 的取值范围是()A(0，1)B.0，12 C.0，22 D.22，1 答案 D 解析 设 B 为短轴上端点，则 SF1PF2b2tan 45b2SF1BF2bc，ab0，bc，即 b2c2，e2c2a212，又e1，22e1，故选 D.二、填空题 12 已知 P 是椭圆x225y291 上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1PF2|PF1|PF2|12，则PF1F2的面积为_ 答案 3 3 解析 设PF1，PF2，则由PF1PF2|PF1|PF2|12，知 cos 12，3，SPF1F2b2tan 29333 3.13经过椭圆x24y21 上一点3，12的切线方程为_ 答案 3x2y40 解析 把3，12代入椭圆的切线方程x0 xa2x0yb21，得3x4y21，即 3x2y40.14在椭圆 Ax2By21 上，PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率 e12，PF2O60，则 tan PF1O 的值为_ 答案 3 解析 设PF1O，由题意可得12sin（60）sin sin 60，解得 cos 12，60，故 tan PF1Otan 3.15若点 O 和点 F 分别为椭圆x29y281 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则OPFP的最小值为_ 答案 6 解析 点 P 为椭圆x29y281 上的任意一点，设 P(x，y)(3x3，2 2y2 2)，依题意得左焦点 F(1，0)，OP(x，y)，FP(x1，y)，OPFPx(x1)y2x2x728x2919x922234.3x3，32x92152，94x9222254，1419x92222536，619x92223412，即 6OPFP12，故最小值为 6.16已知 P 为椭圆 C：x24y231 上一个动点，F1，F2是椭圆 C 的左、右焦点，O为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处切线的距离为 d，若|PF1|PF2|247，则 d_ 答案 142 解析 由椭圆的焦半径公式得|PF1|PF2|212x0212x0414x20247，x20167，y2097，不妨取 P47，37，切线47x437y31.xy 7，d142.