八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案).pdf

学校八年级数学平行四边形竞赛试题 总分 12分,时间 10 分钟 一、填空题（共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)1.在矩形 ACD 中，已知两邻边 AD1，AB=5，P 是边上异于 A 和 D 的任意一点，且 PED，PFAC,E、分别是垂足，那么 PEP=_。2。(200宁波)如图,BD 是平行四边形CD 的对角线,点 E、在 BD 上,要使四边形C是平行四边形，还需要增加的一个条件是 _ （填一个即可)3。如图，已知矩形 ABC，对角线 AC、BD 相交于,AEB于 E，若 AB6，=，则E=_ 4如图，以 ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即 ABD、CE、ACF。（1)四边形 ADF 是 _；（2）当 ABC 满足条件 _ 时,四边形 ADEF 为菱形；（3）当 BC 满足条件 _ 时,四边形DF 不存在。题 2 题 3 题 4 题 5已知一个三角形的一边长为 2，这边上的中线为，另两边之和为 1,则这两边之积为_.6。如图所示，在平行四边形 ABC中，F BC,GH AB,EF、GH 的交点 P 在D 上，图中有 _ 对四边形面积相等；它们是 _ 7.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O,AO的周长为 3+,ABC=60，则菱形 ABD 的面积为 _ 8 如图，矩形BD 中，AC、BD 相交于点 O，AE 平分 BAD,交C 于 E,若 AO=15,则 O的度数为 _ 度 9如图，矩形 AD 中，B=，BC=，将矩形沿 AC 折叠,点 D 落在点 D处，则重叠部分 AFC 的面积为 _.6 题 7 题 题 9 题 二、选择题(共小题,每小题 5 分,满分5 分)10.如图，BCD 中,AB=75，FB于 F，AF 交 B于 E，若 DE=2A，则 AED 的大小是（)A 6 5 C.0.75 2 0 题 1 题 12 题 题 1如图，正 AE的边长与菱形 ABD 的边长相等,点 E、F 分别在 BC、C上，则 B 的度数是（）A 7 7 C。0 D 95 12。如图，正方形 ABCD 外有一点 P,P 在 BC 外侧，并在平行线 AB 与之间，若 PA=,PB=,C=,则D=（）2。C 3 D。.如图，平行四边形 ABCD 中,BCB,CEAB 于，F 为 A的中点，若 AEF=4,则 B=（）4 B 0 C。66 D。72 14四边形 ABCD 的四边分别为、b、d，其中、为对边，且满足 a2+b2+c2d22ac+2b，则这个四边形一定是（)A。两组角分别相等的四边形 B。平行四边形 C 对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形 周长为 68 的长方形 ABCD 被分成 7 个全等的长方形，如图所示，则长方形 ABCD 的面积为（)A。98。96 C.2 D 24 5 题 16 题 16(2003吉林)如图，菱形花坛 ABC的边长为 6m，A=20，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（）A 12m 2m C 22m D。m 17在凸四边形 ACD 中，A CD，且 AC=D+DA，则（）A。BC B ADB C.ADBC D 与 BC 的大小关系不能确定 8已知四边形 ACD，从下列条件中:（)B CD;（2)BC A；(3)AB=C;(4）BC=A;（)C；(6）=D。任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形这一结论的情况有（）A。种 B。9 种 C 13 种 D.1种 三、解答题(共1 小题,满分 0 分)1如图,在 ADC 中,BC=90，ADBC，E、AF 分别是 BC、AC 的平分线，E 和 AD 交于 G，求证:GF AC 20。设为等腰直角三角形 AC斜边B 上任意一点,PE 垂直C 于点 E，P垂直 BC 于点 F,G 垂直F 于点,延长P 并在其延长线上取一点 D，使得 PD=PC，试证：B，且 BCBD 3 1。如图,在等腰三角形BC 中，延长B 到点，延长 CA 到点 E，且 AEBD，连接 DE。如果D=CCE=E，求 BAC 的度数 2如图，ABC 为等边三角形,D、F 分别为 BC、B 上的点，且 CDB，以 AD 为边作等边 ADE.（1)求证：AC CBF；(2）点在线段 BC 上何处时，四边形 CDF 是平行四边形且 DEF=0 23（2002河南）如图所示，在 Rt AB中,A=AC,A=90,点 D 为 B上任一点，DFB 于 F,EAC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断 MF 是什么形状的三角形,并证明你的结论。24（200咸宁）如图，在 ABC 中，点是 AC 边上的一个动点,过点作直线 BC，设N 交 B的角平分线于点 E，交 BA 的外角平分线于点 F(1)求证：O=FO；（2)当点 O 运动到何处时,四边形ECF 是矩形？并证明你的结论 4 2。如图,在 Rt ABC 中，BC=9，C=0,BC=2，D 是 A的中点，以作EAC 与 C的延长线交于E,以 AB、BE 为邻边作长方形 ABEF,连接F，求 DF 的长 26.（02陕西）阅读下面短文：如图,AB是直角三角形，C=9,现将 AB补成矩形,使 AB的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACD 和矩形 AEFB（如图)解答问题：（1)设图中矩形 AB和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、2，则 S _ S2（填“”“=”或“”）（2）如图，B是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画 _ 个，利用图把它画出来（3）如图,ABC 是锐角三角形且三边满足 BAC，按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 _ 个，利用图把它画出来（4)在（)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?5 27。如图，在 B中，C=90，点 M 在 B上，且MC,N 在 AC 上，且 AN=,AM 与 BN 相交于 P,求证：PM=4。28。如图,在锐角 C 中,A、CE 分别是 BC、B 边上的高，、CE 相交于 F，BF 的中点为，AC 的中点为Q，连接 PQ、D（1）求证:直线 PQ 是线段 D的垂直平分线;(2）如果 ABC 是钝角三角形,C90，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明 新课标八年级数学竞赛培训第 1讲：平行四边形 参考答案与试题解析 一、填空题(共小题，每小题分，满分 36 分）.在矩形 ABD 中,已知两邻边 AD=12,AB=5，P 是边上异于 A 和 D 的任意一点,且 PEB,AC,E、F 分别是垂足，那么E+=考点：矩形的性质；等腰三角形的性质.专题:几何图形问题。分析：首先过 A 作GBD 于 G根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,则 PE+F=A利用勾股定理求得 BD 的长,再根据三角形的面积计算公式求得G 的长，即为E+的长.解答：解：如图,过作 AGB于 G，6 则 AOD=DAG,SOPS PD=AO+DOPE=D(PE+PF）,S AO=SOP+S POD，PE+PF=G，等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,PEP。AD=1，AB=5，B=13，,故答案为：点评:本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算.解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 2.（203宁波)如图,BD 是平行四边形的对角线，点、在 BD 上,要使四边形ECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 B=DF.（填一个即可）考点：平行四边形的判定。专题：开放型.分析:要使四边形 AECF 也是平行四边形,可增加一个条件：BEF.解答：解：使四边形F 也是平行四边形,则要证四边形的两组对边相等,或两组对边分别平行，如果 BE=F，则有：A BC，D=B，AD=BC，B=F,AD C,CE=F,同理,ABE CFD，F=A，四边形 AECF 是平行四边形 故答案为：BE=D 7 点评：本题考查了平行四边形的判定，是开放题,答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质,通过证 AD BCE,ABE CFD，得到 CEF，CF利用两组对边分别相等来判定平行四边形 3如图,已知矩形 ABCD 中,对角线 AC、B相交于 O,ED 于 E，若 AB6，A=8,则 AE=。考点：矩形的性质.专题：计算题。分析:矩形各内角为直角，在直角 ABD 中,已知B、AD，根据勾股定理即可求 BD 的值，根据面积法即可计算 AE的长。解答：解:矩形各内角为直角,AD 为直角三角形 在直角 ABD 中，AB=6,AD=8 则D=10，ABD 的面积 S=ABAD=BDAE,A。8 故答案为 4。8 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求 BD 的值是解题的关键。4.如图,以 AB的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形,即 ABD、BCE、AC.（1)四边形 ADE是 平行四边形;（)当 AB满足条件 AAC 时,四边形DEF 为菱形；（）当 BC 满足条件 B=AC=B 时,四边形 ADEF 不存在。考点:等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定 专题:证明题.分析:(1)先证明 A E，BC EC，则 DE=AC=AF,FEB=AD，则四边形 ADEF 是个平行四边形;（2）当 AB=AC 时,四边形 ADEF 为菱形;（3）当 AB=C=BC 时,四边形EF 不存在。8 解答：解：(1)四边形DF 是个平行四边形在 ABC 和 DBE 中，C=E，BABD，DE ABC(与 ABE 之和都等于 6），BC B，DEA，在 AC 和 C 中，BC=EC，A=C，B=FC(都为 60角与=A之和），ABC FC，E=B，DAAF,FEAB=AD，四边形 AD是个平行四边形;(2）当 AB为等腰三角形并且不是等边三角形时，即 AB=AC 时,由第(1）题中可知四边形 ADEF 的四边都相等,此时四边形 AD是菱形；（3)当 ABC 为等边三角形时,即B=B时,四边形 AE中的 A 点与 E 点重合，此时以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在。点评：本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质 5已知一个三角形的一边长为,这边上的中线为 1，另两边之和为 1+，则这两边之积为。考点:勾股定理的逆定理;勾股定理.专题：探究型.分析:先根据三角形的一边长为，这边上的中线为 1 判断出此三角形是直角三角形，在设另两边分别为 x、y 两用完全平方公式可用 x22表示出 xy 的值,再由勾股定理即可求出 x+2，进而可求出 xy 的值 解答:解：三角形的一边长为,这边上的中线为，可知这边上的中线等于这条边的一半，此三角形是个直角三角形,斜边为，设另两边分别为 x、y，两边之和y1+,（x+）2（1+）+2,xy=2，又 直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方，x2y=4,xy=+2=。故答案为:.点评:本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关键，解答此题时不要根据另两边之和为 1+即可盲目的设一边为，另一边为 6如图所示,在平行四边形 ABCD 中，EF C,GH B,EF、GH 的交点 P 在D 上，图中有 5 对四边形面积相等；它们是 APG 与PHCF、EFCB 与AB、GHCD 与EFD、梯形BPG 与梯形 BCFP、四边形 PCD 与四边形 AD 考点:平行四边形的性质。9 分析:由题意可证四边形 EPHB 为平行四边形,再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，从而求解 解答:解：EF BC,GH，四边形 EPB为平行四边形,为平行四边形 EPBH 的对角线，E与 BHP 的面积相等,B为平行四边形 ABCD 的对角线，AD 与 BD 面积相等，PD 为平行四边形 PFDG 的对角线，PD 与 PFD 面积相等，AEPG 与PHCF 面积相等;FCB 与ABH面积相等;GCD 与EF面积相等、梯形G 与梯形BCFP、梯形 PHCD 与梯形 AEPD。共对,故答案为：,AEPG 与HF、FCB 与ABHG、GHC与EFDA、梯形 ABG 与梯形 BCP、梯形H与梯形 AEPD 点评：此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式,比较简单 7。如图，菱形 ABD 的对角线 AC、BD 相交于，AB 的周长为 3+，AC6,则菱形 ABCD 的面积为 考点：菱形的性质;勾股定理。专题：计算题。分析：根据 BC=6可以求得 BO=3，即B=AO,设 AO=x，则 AB=,根据勾股定理即可求得B=x,求得 x 的值即可求得 A,B的长度,即可计算菱形 ABD 的面积 解答：解：菱形对角线即角平分线 ABC=60可以求得 AO=0,即B2AO,设 AO，则 A=,则 OB=，即(3+）x=3 即 x=1，菱形的对角线长为、,故菱形BCD 的面积为 S=22=2 故答案为 2 点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键.8.如图，矩形 ABCD 中,AC、B相交于点 O,平分 BD,交 BC 于 E,若 EAO15,则 BO的度数为 75 度。10 考点：矩形的性质;等边三角形的判定与性质。专题：计算题 分析:根据矩形的性质可得 O为等边三角形，得出 BA=B，又因为 BAE 为等腰直角三角形，B=BE，由此关系可求出 BO的度数.解答：解:A平分 BD，BAE=EAD=45，又知 EAO15，OA=60,=OB，BA 为等边三角形，A=O,BE=4,ABC=0,AE 为等腰直角三角形，A=BE.BE=O，EO=30，BOE=BE,此时 BE=5.故答案为 75 点评:此题综合考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点.9如图，矩形 ABC中,AB=8,BC=4,将矩形沿 A折叠,点落在点 D处,则重叠部分 AFC 的面积为 10。考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。专题:计算题.分析：因为 BC 为 AF 边上的高，要求 AFC 的面积，求得 AF 即可,求证 AFD CB，得 B=D，设=x，则在t FD中,根据勾股定理求 x，AF=ABBF 解答:解：易证 FD FB，DF=BF，设 DF=，则 AF,在 Rt AD中,(8x）=x+42,解之得：x=3,AF=ABF=83=，S AFC AFBC=1 故答案为 1。11 点评:本题考查了勾股定理的正确运用,本题中设 DF=x，根据直角三角形FD中运用勾股定理求 x 是解题的关键.二、选择题（共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分)10如图,BD 中，AB75,AFC 于 F，AF 交 BD 于 E，若 DE=2AB,则 ED 的大小是（）.0 B 65 C.70 D 75 考点:平行四边形的性质;等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线。专题：计算题.分析:由 DE=2AB，可作辅助线：取 DE 中点 O,连接 AO，根据平行四边形的对边平行,易得 DE 是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得 ADO,AE,AOB 是等腰三角形，借助于方程求解即可 解答：解：取E 中点 O，连接 AO,四边形BD 是平行四边形，A BC，B180 ABC=05，AF，AAD，DAE=0,OA DEO=O,DE=2AB，OA=AB，AB=AB,ADO=DAO，AD=EAO,A=AO DAO=ADO，ABD AO=2 A，ABD+A+D180，ADO=25,AB0,AE+A+AO10，AED=65 故选 B 点评:此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)、平行四边形的性质(平行四边形的对边平行)以及等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是注意方程思想的应用 1。如图，正 A的边长与菱形 ACD 的边长相等，点 E、F 分别在C、C上,则 B 的度数是（)12 70 B。7 C 80 D.5 考点：菱形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。专题：计算题。分析：正 AEF 的边长与菱形 AD 的边长相等，所以 AB=E,F=AD，根据邻角之和为 180即可求得 B 的度数.解答：解：正 AEF 的边长与菱形 AD 的边长相等，所以 A=AE,AF=AD，设 B=x,则 BAD=180,BA=DAF=802x，即 1802x+180 x+60=180 解得 x8,故选 C 点评：本题考查了正三角形各内角为 6、各边长相等的性质，考查了菱形邻角之和为 180的性质，本题中根据关于x 的等量关系式求的值是解题的关键 2如图，正方形BCD 外有一点 P,P 在 B外侧，并在平行线B 与 CD 之间，若 PA=，PB=,PC=,则 PD=（）B C.3 D 考点：正方形的性质；勾股定理。专题:计算题。分析:用 EF，BE，A分别表示 AP,BP，用 CF，P，C 分别表示，P,得 AP+C=P2+P2，已知 AP,P,CP 代入上式即可求 D。解答:解:延长 AB,D，过 P 分作 PAE，PFDF,则F=E，AP2A2+2，BP2=BE+PE,DP2=DF+PF2，CP2=C2+P2,P2CP=CF+FP2+E2EP，DP2+BP=DF2+2+BE+P2，即+CP2DP2BP2，代入 AP，P，CP 得 DP=2,故选 A 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了正方形各边相等的性质,本题中求证AP2+P2=P2+BP2是 13 解题的关键。13如图，在平行四边形 ABD 中,B=2AB,CA于 E，F 为 A的中点,若 AEF=4，则 B(）A 54 66 D 72 考点:菱形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：计算题。分析:过 F 作 A、CD 的平行线 FG,由于 F 是 AD 的中点,那么 G 是 BC 的中点，即 BCE 斜边上的中点,由此可得 B2EGF,即 GF、EG 都是等腰三角形，因此求 的度数，只需求得 BEG 的度数即可；易知四边形 ABG是平行四边形，得 EFG AE,由此可求得 E的度数,即可得到 EG 的度数，根据邻补角的定义可得 BEG 的值，由此得解 解答:解:过 F 作 FG CD，交 BC 于；则四边形 AG是平行四边形，所以 AF=BG，即 G 是C 的中点；连接 E，在 R BEC 中,E是斜边上的中线,则 B=GE=FG=BC；AE FG,E=AEF=FE=54，E=AF+FEG1,B BEG=1108=72。故选 D 点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键 14四边形BCD 的四边分别为 a、b、c、d，其中 a、c 为对边，且满足2+b2+c2+d2=2c+2d，则这个四边形一定是（）A 两组角分别相等的四边形 B.平行四边形 对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形 考点:平行四边形的判定；非负数的性质:偶次方；完全平方公式。专题：规律型。分析：对于所给等式 a2+c22=2ac+bd，先移项,故可配成两个完全式，即（ac）2+(bd）2=，进而可得 a=c，=d，四边形中两组对边相等,故可判定是平行四边形。解答：解:a2+b2+c2+d22ac+2bd 可化简为(a）2+(bd）2=0 ac，b=d ，b,c,d 分别为四边形 ABC的四边 =c,d 即两组对边分别相等，则可确定其为平行四边形。14 故选 B 点评:此题主要考查平行四边形的判定问题，正确的对式子进行变形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 1周长为8 的长方形BCD 被分成 7 个全等的长方形，如图所示，则长方形BC的面积为(）。9 B.196。28 D.28 考点：一元一次方程的应用。专题：几何图形问题.分析:此题要理解长方形 ACD 的面积是不变的,用不同的方法表示即是此题的等量关系，也就是个小长方形的面积和与大长方形的面积相等.还要注意设小长方形的宽为,则其长为 346x,大长方形的宽为 35x，长为 5,根据等量关系列方程即可 解答:解:设小长方形的宽为 x.根据题意得：x（346x）=5x（35)化简得：7(34x）=5（35x）解得：x=4 则大长方形的面积为（35x）=80 故选 点评:此题锻炼了学生的识图能力，关键是分清 7 个小长方形是如何组合成大长方形的，还要注意设小的比较简单。6（20吉林)如图,菱形花坛BD 的边长为 6m,A=12，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（)A 12m.20 C 22 D 4m 考点:菱形的性质；等边三角形的性质。专题：应用题。分析：连接 AC,根据已知可得到 ABC 为正三角形，从而可求得正六边形的边长是 AC 边长的,已知种花部分图形共有0 条边则其周长不难求得。解答:解:连接 AC，已知 10,C为菱形,则 B=6，从而得出 AB为正三角形，以 ABC 的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是 ABC 边长的，则种花部分图形共有0 条边，所以它的周长为 10=20m,故选 B 15 点评：此题主要考查了菱形的性质,等边三角形的性质的运用.17在凸四边形 ABCD 中,AB CD,且BBC=DA,则(）A.ADC B DB C。AD=BC D AD 与 BC 的大小关系不能确定 考点：平行四边形的判定与性质。分析：根据条件 ABBCCD+DA，可以延长 AB 至 E 使 BE=BC,延长至使 DFDA，连接，AF,这样的辅助线,然后根据平行四边形的判定定理得出四边形 AE为平行四边形，再利用三角形全等可以得出 AD 与BC 的大小关系.解答:解：延长B 至 E 使 BEBC,延长 C至 F 使 D=DA，连接 CE,AF，AB+BC=CDD，AE=CF，又 AE CF，四边形 AECF 为平行四边形，E=F，C=A,又 BE=B，DF=AD，E=BE=DF，CE=AF，AFD BEC，AD=BC，故选 C 点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定,延长 AB 至使 BE=B，延长D 至 F 使F=D,这种辅助线的作法是由条件+BC=CD+DA 所决定的，同学们做今后做题过程中，应该学会应用.18.已知四边形 ABCD，从下列条件中:（）AB D；(2）BC AD;(3）B=D；（4)BCA;(5）=；（6)B D任取其中两个，可以得出“四边形 ABD 是平行四边形”这一结论的情况有（)A.4 种。9 种.1种 D.1种 考点:平行四边形的判定。分析：平行四边形的五种判定方法分别是:（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（)对角线互相平分的四边形是平行四边形根据平行四边形的判定,任取两个进行推理 解答：解：根据平行四边形的判定，符合四边形 ABC是平行四边形条件的有九种：（1)（)；（3）（4);(）(6)；（）(）;（2)（）;（1）（5)；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种.故选.点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.三、解答题(共 11 小题，满分 0 分）1。如图,在 ADC 中，BA=90,ABC,、A分别是 ABC、的平分线,和 A交于,求证:G AC 16 考点：平行四边形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：从角的角度证明困难,连接 EF,在四边形 AGE 的背景下思考问题,证明四边形 AGF为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.解答：证明：连接 EF。BAC=90,AB。C+AC=90,C+DC=90，AC B=90 AB=,BAD=C 、AF 分别是 AC、DAC 的平分线 ABG=BD。AGE=B GBA，EG=C+E,E EG，A=E，AF 是 DAC 的平分线,AOBE，GO=EO,AO FBO,AO=FO,四边形 AGF是平行四边形,GF E,即 GF C.点评：此题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用.20设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边B 上任意一点,P垂直 AC 于点 E，P垂直 B于点，PG 垂直 EF 于点,延长并在其延长线上取一点 D,使得D=P，试证：BD，且 BC=BD.考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质。专题：证明题.17 分析：此题关键是证 PBC DB,已有 PC=PD，是公共边,只需再证明 BD CPB,而 BPD=APG，则证明 PG CPB，进而需要证明 1=2,可利用同角的余角相等证明.解答:解：PEC 于 E，PFC 于 F，ACB=，CEF 是矩形(三角都是直角的四边形是矩形）,P=F，P+30,1，PGEF，PF+90,2 3,1 2，ABC 是等腰直角三角形,=AC4，APE=BPF=45，PE+2=BPF+1,即 PG=CP，BPD=G，BPD=CPB，又 C=P，B 是公共边，BC PD(A),BCBD,PC=PB=5，+BD90，即 BCBD 故证得：BCBD，且 B=BD。点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，综合利用了等腰直角三角形的性质，和矩形的判定和性质等知识点，难度较大 21如图,在等腰三角形 ABC 中,延长 AB 到点 D,延长 CA 到点 E，且 AEBD，连接 DE.如果 AD=BCCE=DE，求AC 的度数.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.专题：综合题 分析：过 D 作 D C，且使 DBC,连 CF、F,则四边形 BDC 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD=CF，DA FC,再利用 SAS 判定 E=CEF,根据全等三角形的性质可得到 E=EF，从而可推出 DEF 18 为等边三角形，AC=x,则 ADF=BC，根据三角形内角和定理可分别表示出 ADE,DF，根据等边三角形的性质不难求得 C 的度数 解答：解:过 D 作 DF BC，且使=B，连 CF、EF,则四边形 BDF是平行四边形，B=F，DA FC，EA CF，ADC，ABD=C，AE CEF(SS)ED=EF，EDB,B=DF,ED=EFF DEF 为等边三角形 设 BAC=，则 ADF B=，DAE10 x，ADE102 AE=18（180）2x180，ADF+ADE=D60+（2x18）=60 x=00。BAC100 点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用 2如图，BC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CD=，以 AD 为边作等边 AE。(1）求证：AD B;（2）点 D 在线段 B上何处时，四边形 CDE是平行四边形且 DEF=考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.专题:证明题。分析：（1）在 ACD 和 CB中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等(2）当 DEF=0，即为 CF=0，在 CF 中，CB=9，即 F 为B 的中点，又因为 D CBF,所以点 D 为 BC 的中点 19 解答:证明：(1）由 ABC 为等边三角形,C=BC，FBC=DCA,CD=BF，所以 AD CBF.（)当在线段C 上的中点时,四边形 CDEF 为平行四边形，且角 DE=30 度 按上述条件作图,连接 BE，在 AB 和 AC 中，AB=C，E+BAD=DA+BA=60，即 EAB=AC,AE=AD,AE C（SAS），又 ACD CBF,AB ADC F,EBFB，EBA AB=0，EFB 为正三角形,F=FBC，EFB=0，又 B=0，EFB B60,EF BC,而在 BC 上，EF 平行且相等于 CD,四边形D为平行四边形，在线段 BC 上的中点，在线段 AB 上的中点,CD=60=0 则=FCD30。点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 23.（2002河南)如图所示，在 ABC 中,B=AC,A0，点 D 为C 上任一点,DA于，DEA于,为 BC 的中点,试判断 MF 是什么形状的三角形,并证明你的结论 考点：等腰三角形的判定.专题:证明题。分析：根据已知,利用SAS判定 AEM BFM，从而得到EM=FM;根据角之间的关系可求得 EMF9，即 MEF是等腰直角三角形 解答:解：MEF 是等腰直角三角形 20 证明如下:连接 AM，是 BC 的中点，C=9,B=AC,A=BC=BM，A平分 BA.MC=MAB BA4 ABAC，DEAC,DFB，DE AB,F AC BAC=9，四边形 DFAE 为矩形。DF=AE DFB，B=4.DF B45.F=D，B=AE4，AE=BF A=BM M FM（SAS).EM=F，AE=BM。AMF+BM9,AME AMF=EMF=90，MEF 是等腰直角三角形。点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用;得到 AE=BF 是正确解答本题的关键 24（208咸宁）如图,在 A中,点是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN BC,设 MN 交 BCA 的角平分线于点,交 BCA 的外角平分线于点。（1)求证:OFO；(2）当点运动到何处时,四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论 考点：矩形的判定。专题：几何综合题。分析：（1)根据平行线性质和角平分线性质及,由平行线所夹的内错角相等易证（）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证 解答:（）证明:CE 平分 C，=2,又 N C，21 =,3=2,O=C，（2 分）同理,FO=CO，(3 分）O （）解:当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AE是矩形 EO=FO,点 O 是C 的中点.四边形 AEF 是平行四边形，（6 分）C平分 BA 的外角，4=5，又 1=2，2+4=090 即 EC=9度，（7 分）四边形 AECF 是矩形.(分)点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论.25.如图，在t ABC 中,AB=90，C60，BC=2，D 是 AC 的中点,以 D 作 DE与 CB 的延长线交于 E，以 AB、B为邻边作长方形BEF,连接 DF,求 DF 的长.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 专题：计算题.分析：求证 DEC BA,得 DE=AB,再求证 DFDE 即可解此题 解答：解：AB为直角三角形，=6,BA=30，B=AC,D 为 AC 的中点，BC=C，在 DEC BC 中，DEC BC,即 AB=DE,DEB0,ED=60，=AB,EF=DE,EF 为等边三角形,即 DFAB，在直角三角形BC 中，C2，则 AC=4 22 AB=答：D的长为。点评：本题考查了等腰三角形各边均相等,考查了矩形内角均为直角的性质,本题中求证 DEF 是等边三角形是解题的关键 26。菱形的对角线 AC 与 B交于点，若菱形 A的面积为 24，AC=6，则菱形的边长为 .分析：根据菱形 ABC的面积和 AC 可以计算 B的长，在 AO 中，已知O、BO 根据勾股定理即可求得 A的值,即可解题 解答：解：菱形 ABCD 的面积 ABD S=2,A=6，则 B，A=CO3,BO=DO=4 在 RtAB中，A=5，故答案为 5 点评：本题考查了菱形面积的计算公式,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中根据 A、BO 的值求 AB 的值是解题的关键.2.(200陕西）阅读下面短文：如图，BC 是直角三角形,C=9，现将 AB补成矩形，使 AC 的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ABD 和矩形EF（如图）解答问题：（1)设图中矩形 ACD 和矩形 AEF的面积分别为1、S2，则 S1=S2(填“”“=或“”）(）如图，AC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画 1 个,利用图把它画出来（3）如图,ABC 是锐角三角形且三边满足 BACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图把它画出来（4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半,那么这两个矩形的面积相等（2）可仿照图 2 矩形BFE 的画法得到矩形。由于 非直角,所以只有一种情况。（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上,可得三种情况（4)根据三个矩形的面积相等,利用求差法比较三个矩形的周长即可。解答：解:（1）=（2)1（3）（4）以 AB 为边长的矩形周长最小，设矩形 BCED,ACHQ，ABF 的周长分别为 L1,L2,L3，=a，C,AB=c易得三个矩形的面积相等，设为 S,23 L12;L=+；3=+2c。1L2(a)而 ab0，as0，a0 L1,L1L2,同理可得 L2L3 以 AB 为边长的矩形周长最小 点评:注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法.8如图，在 BC 中，C=9,点 M 在 B上,且 BM=AC,N 在 AC 上,且=M，M 与N 相交于 P，求证：PM=45 考点:平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。专题:证明题.分析:可过点作 M AN，使 MEAN，连 N，BE，得出四边形EN 为平行四边形，再通过求证 BE A,可得出 BN 为等腰直角三角形,进而再利用平行线的性质可得出结论 解答：证明：如图，过作 M AN，使=AN,连 N,BE，则四边形 AMN 为平行四边形，N=AM,MEBC,ME=N=CM，MB=M=90，BAC,EM AMC，得 BE=ANE,1=2，3=4,+90，2+4=9且 BE=NE，BEN 为等腰直角三角形，BNE=5，A E，BPM=NE=5 点评：本题主要考查平行四边形的判定及性质,等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质,能够求解一些简单的应用问题 29。如图,在锐角 BC 中,AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、相交于 F，BF 的中点为 P，C 的中点为 Q，连接Q、DE。（1)求证：直线Q 是线段 DE 的垂直平分线；（2）如果 ABC 是钝角三角形,BAC0，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形,并给予必要的说明。24 考点：线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线。分析：(1）只需证明点 P、Q 都在线段E 的垂直平分线上即可即证、Q 分别到 D、E 的距离相等.故连接D、PE、Q、E，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;（)根据题意，画出图形；结合图形，改写原题.解答：（1）证明：连接、P、Q、QE。因为EB，P 是 BF 的中点，所以 BE是直角三角形，且 PE 是 Rt BE斜边的中线,所以 PE=B又因为 ABC,所以 BDF 是直角三角形，且 PD 是t BDF 斜边的中线，所以 PD=BF=PE,所以点在线段E 的垂直平分线上.同理可证,QD、QE 分别是 R ADC 和 Rt AEC 斜边上的中线,所以 QD=AC=