【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆教学案新人教B版.pdf

9.5 椭圆 考纲要求 1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单性质 2理解数形结合的思想 3了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 1椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_ 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴 长轴A1A2的长为_；短轴B1B2的长为_ 焦距|F1F2|_ 离心率 e_(0,1)a，b，c 的关系 _ 1已知椭圆x210my2m21，长轴在x轴上，若焦距为 4，则m等于()A4 B5 C7 D8 2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45 B.35 C.25 D.15 3已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则该椭圆方程为()A.x2144y21281 B.x236y2201 C.x232y2361 D.x236y2321 4若焦点在x轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，则m等于()A.3 B.32 C.83 D.23 5椭圆x29y221 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小为_ 一、椭圆的定义及标准方程【例 11】已知F1，F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，若PF1F2的周长为 12，离心率e12，则此椭圆的标准方程为_ 【例 12】一动圆与已知圆O1：(x3)2y21 外切，与圆O2：(x3)2y281 内切，试求动圆圆心的轨迹方程 方法提炼 1在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数 2a|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系 2用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b21(ab0)或x2b2y2a21(ab0)(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求 请做演练巩固提升 3 二、椭圆的几何性质【例 2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_ 方法提炼 离心率是椭圆的几何性质中考查的重点，求离心率的方法通常是根据条件列出a，c所满足的齐次方程(或不等式)，然后再求离心率的值或取值范围 请做演练巩固提升 4 椭圆主观题的规范解答 【典例】(12 分)(2012 山东高考)如图，椭圆M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线xa和yb所围成的矩形ABCD的面积为 8.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设直线l：yxm(mR)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求|PQ|ST|的最大值及取得最大值时m的值 规范解答：(1)设椭圆M的半焦距为c，由题意得 a2b2c2，ca32，4ab8，所以a2，b1.(3 分)因此椭圆M的方程为x24y21.(4 分)(2)由 x24y21，yxm整理得 5x28mx4m240，由64m280(m21)8016m20，得 5m 5.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x28m5，x1x24m215.所以|PQ|x1x22y1y22 2x1x224x1x2 4525m2(5m 5)(7 分)线段CD的方程为y1(2x2)，线段AD的方程为x2(1y1)不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知 1m 5，S(2，m2)，D(2,1)，所以|ST|2|SD|21(m2)2(3m)，因此|PQ|ST|455m23m2，令t3m(1m 5)，则m3t，t(3 5，2，所以|PQ|ST|4553t2t2454t26t1 4541t34254，由于t(3 5，2，所以1t12，3 54，因此当1t34，即t43时，|PQ|ST|取得最大值2 55，此时m53.(9 分)不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时1m1，因此|ST|2|AD|2 2，此时|PQ|ST|255m2，所以当m0 时，|PQ|ST|取得最大值2 55.(10 分)不妨设点S在AB边上，T在BC边上，5m1，由椭圆和矩形的对称性知|PQ|ST|的最大值为2 55，此时m53.综上所述，当m53或m0 时，|PQ|ST|最大值为2 55.(12 分)答题指导：从圆锥曲线定义入手掌握有关知识，注意总结规律和防范细节性的错误 1(2012 江西高考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14 B.55 C.12 D.52 2 已知椭圆的中心为原点，离心率e32，且它的一个焦点与抛物线x24 3y的焦点重合，则此椭圆方程为()Ax2y241 B.x24y21 C.x216y241 D.x24y2161 3椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，则这个椭圆方程为_ 4已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260，则椭圆离心率的取值范围为_ 5设F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为 1，求b的值 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1焦点 焦距 22a 2b 2c ca c2a2b2 基础自测 1A 解析：椭圆焦点在x轴上，a210m，b2m2.又c2，(10m)(m2)4.m4.2B 解析：由题意有 2a2c2(2b)，即ac2b.又c2a2b2，消去b整理得 5c23a22ac，即 5e22e30，e35或e1(舍去)3D 解析：2a12，ca13，a6，c2，b232，椭圆的方程为x236y2321.4B 解析：a22，b2m，c22m.e2c2a22m214.m32.52 120 解析：由题意知a3，b 2，c 7.由椭圆定义得|PF1|PF2|6.|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2 7，在F1PF2中，由余弦定理可得 cosF1PF212，F1PF2120.考点探究突破【例 11】x216y2121 解析：由于PF1F2的周长为 2a2c12，椭圆的离心率eca12，故a4，c2，b212，椭圆的标准方程为x216y2121.【例 12】解：如图所示，设动圆的圆心为C，半径长为r.则由圆相切的性质知，|CO1|1r，|CO2|9r，|CO1|CO2|10，而|O1O2|610.点C的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，其中 2a10,2c6，b4.动圆圆心的轨迹方程为x225y2161.【例 2】2 75 解析：A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，直线A1B2的方程为ybaxb，直线B1F的方程为ybcxb，联立解得交点T2acac，b(ac)ac.又中点Macac，b(ac)2(ac)在椭圆上，则acac2a2b(ac)2(ac)2b213a2c210ac0，即e210e30.又0e1，e2 75.演练巩固提升 1B 解析：因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2.所以离心率eca55，故选 B.2A 解析：抛物线的焦点为(0，3)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，3)，即半焦距c 3.又离心率eca32，所以a2，b1.故所求椭圆方程为x2y241.3.x212y29 1 或y212x29 1 解 析：由 题 意 知 ac 3，ca12，解 得 a2 3，c 3.椭圆方程为x212y291 或y212x291.4.12，1 解析：不妨设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，令|PF1|t1，|PF2|t2，则 cos 60t12t22|F1F2|22t1t2(t1t2)2|F1F2|22t1t22t1t2，t1t24a22t1t24c2.t1t243b2t1t222a2.3a24b24(a2c2)ca12，e12.又 0e1，e12，1.5解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43.(2)l的方程为yxc，其中c 1b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 yxc，x2y2b21.化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x22c1b2，x1x212b21b2.因为直线AB的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|，即43 2|x2x1|.则89(x1x2)24x1x24(1b2)(1b2)24(12b2)1b28b4(1b2)2，解得b22.