培优专题11三角形及其有关概念(含答案).pdf

3、三角形及其有关概念 【知识精读】1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3.三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于 180 （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。4.补充性质：在ABC中，D 是 BC 边上任意一点，E 是 AD 上任意一点，则SSSSABECDEBDECAE。ABCDE 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例 1.锐角三角形 ABC 中，C2B，则B 的范围是（）A.1020B B.2030B C.3045B D.4560B 分析：因为ABC为锐角三角形，所以090B 又C2B，0290B 045B 又A 为锐角，ABC180为锐角 BC90 390B，即B 30 3045B，故选择 C。例 2.选择题：已知三角形的一个外角等于 160，另两个外角的比为 2:3，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 分析：由于三角形的外角和等于 360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于 160 另两个外角的和等于 200 设这两个外角的度数为 2x，3x 23200 xx 解得：x 40 2803120 xx，与 80相邻的内角为 100 这个三角形为钝角三角形 应选 C 例 3.如图，已知：在ABC中，ABAC12，求证：CB12。AEBCF 分析：欲证CB12，可作ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，只要证CEBC即可。为与题设ABAC12联系，又作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F。显然EBCF，只要证CF即可。由AFABAC2可得证。证明：作ABC 的角平分线 BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F AFBEFEBCFABABE/，又BE 平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即 2ABAF 又ABACACAF12，FC，又FABC12 CB12 例 4.已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的16与14之间。分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。ABCabc 证明：如图，设ABC的三边为 a、b、c，其中ac 2，bacac，2 bc 因此，c 是最小边，bc3 因此，abcccc23，即cabc16()1614()()abccabc 故最小边在周长的16与14之间。【实战模拟】1.已知：三角形的三边长为 3，8，12 x，求 x 的取值范围。分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解：三边长分别为 3，8，12 x，由三边关系定理得：51211 x 421025xx 2.已知：ABC中，ABBC，D 点在 BC 的延长线上，使ADBC，BCA，CAD，求和间的关系为？解：ABBCBCABAC，又 ADBCADAB，DB，又 BCADB DB，根据三角形内角和，得：2180 3180 ABCD 3.如图，ABC中，ABCACB、的平分线交于 P 点，BPC134，则BAC（）A.68 B.80 C.88 D.46 ABCP 解：BPC134 PBCPCB46 又BP、CP 为B、C 的平分线 ，PBCABCPCBACBPBCPCBABCACBABCACBBACABCACB1212122469218088 4.已 知：如 图，AD是ABC的BC边 上 高，AE平 分BAC。ABCDE 求证：EADCB12 证明：EADEACCAD AE 平分BAC，EACBAC12 又ADBC，ADC90 CADC90又BACBC180 BCCCBCADBACEAD2121901802121EADCB12 5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。证明：如图，设ABC的BAC 和ABC 的外角平分线交于点 D EABDCG FABABCACBEBABACACB DABDBAFABEBAABCBACACB1212 则ADBDABDBA180 ABCACBBACABCBACACBABCBAC1212 又1212ACGABCBAC ADBACG12。