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复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 选取日期 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iy i2=-1，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。arg z=?称为主值 -?，Arg=argz+2k。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcos，y=rsin,故 z=rcos+i rsin；利用欧拉公式ei=cos+isin。z=rei。1.定义法求积分：定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，zk-1，zk，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2n)上任取一点k并作和式Sn=f()nk1(zk-zk-1)=f()nk1?zk记?zk=zk-zk-1，弧段 zk-1 zk的长度=max1kn?Sk(k=1,2,n),当 0 时，不论对 c 的分发即k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：f(z)dzc=lim 0f()nk1?zk 设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)f(z)dzc.当 C 为闭曲线时，f(z)的积分记作f(z)dzc(C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)dzc 2)2zdzc,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲线。（1）解：当 C 为闭合曲线时，dzc=0.f(z)=1 Sn=f()nk1(zk-zk-1)=b-a limn 0 Sn=b-a,即1)dzc=b-a.(2)当 C 为闭曲线时，dzc=0.f(z)=2z;沿 C 连续，则积分zdzc存在，设k=zk-1,则 1=Znk1（k1）(zk-zk-1)有可设k=zk，则 2=Znk1（k1）(zk-zk-1)因为 Sn的极限存在，且应与1及2极限相等。所以 Sn=(1+2)=k1nzk(zk2zk12)=b2-a2 2zdzc=b2-a2 1.2 定义衍生 1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy 带入f(z)dzc得：f(z)dzc=udxc-vdy+ivdxc+udy 再设 z(t)=x(t)+iy(t)(t)f(z)dzc=f(z(t)z(t)dt 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0t1）；z=z0+rei，(02)例题 1：z2dz3+i0 积分路线是原点到 3+i 的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t z2dz3+i0=(3+i)t2(3+i)tdt10 =(3+i)3 t2dt10 =6+263i 例题 2：沿曲线 y=x2计算（x2+iy）dz1+i0 解：参数方程 x=ty=t2 或 z=t+it2 (0t1)(x2+iy)dz1+i0=（t2+it2）(1+2it)dt10 =(1+i)(t2dt)dt10+2i t3dt10 =-16+56i 1.3 定义衍生 2 重要积分结果：z=z0+rei ，(02)由参数法可得：dz(zz0)n+1c=ireiei（n+1）rn+120d=irnein1+i0d dz(zz0)n+1c=2i n=00 n 0 例题 1：dzz2|z|=1 例题 2：dzz12|z|=1 解：=0 解 =2i 2.柯西积分定理法：2.1 柯西-古萨特定理：若 f(z)dz 在单连通区域 B 内解析，则对 B 内的任意一条封闭曲线有：f(z)dzc=0 2.2 定理 2：当 f 为单连通 B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点 z0与终点 z1来确定。2.3 闭路复合定理：设函数 f(z)在单连通区域 D 内解析，C 与 C1是 D内两条正向简单闭曲线，C1在 C 的内部，且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域 G 全含于 D 则有：f(z)dz=f(z)dzc+f(z)dzc1=0 即f(z)dzc=f(z)dzc1 推论：f(z)dzc=f(z)dzcknk=1 例题：2z1z2zdzc C 为包含 0 和 1 的正向简单曲线。解：被积函数奇点 z=0 和 z=1.在 C 内互不相交，互不包含的正向曲线 c1和c2。2z1z2zdzc=2z1z(1z)dzc1+2z1z(1z)dzc2 =1z1+1zdzc1+1z1+1zdzc2 =1z1dzc1+1zdzc1+1z1dzc2+1zdzc2 =0+2i+2i+0 =4i 2.4 原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理 2.2 可知，解析函数在单连通域 B 内沿简单曲线 C 的积分只与起点 z0与终点 z1有关，即 f()cd=f()z1z0d 这里的 z1和 z0积分的上下限。当下限 z0固定，让上限 z1在 B 内变动，则积分f()z1z0d在 B 内确定了一个单值函数F(z),即 F(z)=f()z1z0d 所以有 若 f(z)在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z)必为 B 内的解析函数，且F(z)=f(z).根据定理 2.2 和 2.4 可得f()z1z0d=F(z1)-F(z0).例题：求 zcosz10d 解：函数 zcosz 在全平面内解析 zcosz10d=zsinz|0i-sinz10d =isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie112i+e1+12i-1=e-1-1 此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5 柯西积分公式法：设 B 为以单连通区域，z0位 B 中一点，如 f(z)在 B 内解析，则函数f(z)zz0在 z0不解析，所以在 B 内沿围绕 z0的闭曲线 C 的积分f(z)zz0dzc一般不为零。取 z0位中心，以0 为半径的正向圆周|z z0|=位积分曲线c，由于 f(z)的连续性，所以 f(z)zz0dzc=f(z)zz0dzc=2if(z0)：若 f(z)在区域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，z0为 C 内的任一点，有：f(z0)=12if(z)zz0dz 例题：1）sin zzdz|z|=2 2）z(9z2)(z+i)dz|z|=2 解：=2 isin z|z=0=0 解：=z9z2z(i)dz|z|=2 =2iz9z2|z=-i=5 2.6 解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为 f(n)(z0)=n!2if(z)(zz0)n+1dz(n=1,2)其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于 D.例题：ezz5dzc C:|Z|=1 解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2i?14!(ez)(4)|z=2=i12 3.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域 D 内具有二阶连续函 数，且满足拉普拉斯方程：?2?x2+?2?y2=0，则称(x,y)为区域 D 内的调和函数。若 f(z)=u+iv 为解析函数，则 u 和 v 都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在 D 内构成解析函数的调和函数 v(x,y)称为 u(x,y)的共轭调和函数。若 v 是u 的共轭调和函数，则-u 是 v 的共轭调和函数 关系：任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1 求解方法：（1）偏积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程先求得 v 的偏导数?u?x=?v?y，两 边 对 y 积 分 得 v=?u?xdy+g(x).再 由?u?y=?v?x又 得?x?v?xdy+g(x)=-?u?y 从而g(x)=?u?y?x?u?xdydx+C v=?u?xdy+?u?y?x?u?xdydx+C 同理可由 v(x,y)求 u(x,y).3.2 不定积分法：因为f(z)=Ux+i Vx=Ux-iUy=Vy+iVX 所以 f(z)=U(z)dz+c f(z)=V(z)dz+c 3.3 线积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程可得的 dv=?v?xdx+?v?ydy=-?u?ydx+?u?xdy 故虚部为 v=?u?ydx+（x，y）（x0，y0，）?u?xdy+C 该积分与路径无关，可自选路径，同理已知 v(x,y)也可求 u(x,y).例题：设 u=x2-y2+xy 为调和函数，试求其共轭函数 v(x,y)级解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用 C-R 条件?u?x=2x+y?u?y=-2y+x?2u?x2=2?2u?y2=-2 所以满足拉普拉斯方程，有?v?x=?u?y=2y-x?v?y=?u?x=2x+y 所以 v=(2y x)dx+(y)=2xy-x22+(y)?v?y=2x+(y)=2x+y(y)=y (y)=y22+c v(x,y)=2xy-x22+y22+c f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC 4.留数求积分：留数定义：设 z0为函数 f(z)的一个孤立奇点，即 f(z)在去心邻域、0|z z0|,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在 z0处的留数，记为 Resf(z),z0即 Resf(z),z0=c-1 或者 Resf(z),z0=12if(z)dzc C 为 0|z z0|4.1 留数定理：设函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1z2zn,f(z)dzc=2iResf(z),zknk=1 其中 zk表示函数f(z)的孤立奇点 4.2 孤立奇点：定义：如果函数()在 z0不解析，但在 z0某个去心邻域 0|z z0|内解析，则称z0为f(z)的孤立奇点。例如1z、e1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z+1)（z+2）以 z=-1、z=2 为孤立奇点.在孤立奇点 z=z0的去心邻域内，函数f(z)可展开为洛朗级数 ()=cnn=（z z0）n 洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对 f(z)在 z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点 z0的类型：若函数 f(z)在孤立奇点 z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切 n0 有 cn=0，则称 z0是 f(z)的可去奇点 因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.)故 c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点 ，一般对函数()求积分一般为零 f(z)dzc=2iResf(z),zknk=1=0。判断可去奇点方法：函数()在某个去心邻域 0|z z0|内解析，则 z0是f(z)的可去奇点的充要条件是存在极限limzz0f（z）=c0，其中 c0是一复常数;在的假设下，z0是 f(z)可去奇点的充要条件是：存在 r，使得f(z)在 0|z z0|r 内有界 若函数 f(z)在孤立奇点 z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数 m，c-m0，而当 n-m 时 c-n=0 则称 z0是 f(z)的 m 级极点。其洛朗展开式是：f(z)=cm（zz0）m+cm+1（zz0）m+1+c1zz0+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +这里 c-m0，于是在 0|z z0|有 f(z)=cm（zz0）m+cm+1（zz0）m+1+c1zz0+c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +=1(zz0)m(z).*(z)一个在 0|z z0|解析，同时(z)0，则 z0是 f(z)的 m 级极点。判断定理：（1）f(z)在 z0的去心邻域 0|z z0|解析，z0是 f(z)的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0是 f(z)的 m 级极点的充要条件是limzz0f(z)=.：若函数 f(z)在孤立奇点 z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项，则称 z0是 f(z)的本性奇点 判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限limzz0f(z)。4.3 函数在极点的留数：准则一：若 z0为一级极点，则 Resf(z),z0=limzz0f(z)(z z0)准则二：做 z0为 m 级极点，则 Resf(z),z0=1(m1)!limzz0dm1dzm1(z-z0)mf(z)准则三：设 f(z)=P(Z)Q(Z),P(z)以及 Q(z)都在 z0解析，如果 P(z0)=0，Q(z0)0，则 z0是 f(z)的一级极点，而且：Resf(z),z0=P(Z0)Q(Z0)4.4 无穷远处的留数：定义：扩充 z 平面上设 z=为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R|z|+内解析，C 为圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值 12i f(z)c1dz 称为 f(z)在 z=处的留数，记作 Resf(z),=12if(z)c1dz 如果 f(z),在 R|z|+内的洛朗展开式为 f(z),=cnznn=则有 Resf(z),=-c-1 4.4.1如果 f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为 z1，z2，zn，则 f(z)在各奇点的留数总和为零,即 Resf(z)dznk=1+Resf(z),=0;4.4.2 Resf(z),=-Resf(1z)?1z2,0 例题：求下列 Resf(z),的值（1）f(z)=ezz21 (2)f(z)=1z(z+1)4(z4)解：（1）在扩充复平面上有奇点：1，而1 为 f(z)的一级极点且Resf(z),1=limz1(z 1)f(z)=limz1ezz+1=12e Resf(z),-1=limz1(z 1)f(z)=limz1ezz1=-12e1 Resf(z),+Resf(z),1+Resf(z),-1=0 得 Resf(z),=-Resf(z),1+Resf(z),-1=12(e1+e)=-sh1(2)由公式 Resf(z),=-Resf(1z)?1z2,0，而1z2f(1z)=1z(z+1)4(z4)以 z=0 为可去奇点，所以 Resf(z),=-Resf(1z)?1z2,0=0 4.5 用留数定理计算积分：4.5.1形 如 R(cos,sin)20d 的 定 积 分 计 算；其 中 R(cos,sin)为cos 与 sin的有理函数。故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识-欧拉公式，令z=ei,dz=izd=iei d d=dziz sin=12i(ei ei)=z212iz cos(ei+ei)=z2+12iz 则R(cos,sin)20d=Rz2+12iz,z212iz|z|dziz=f(z)dz|z|其 中f(z)=Rz2+12iz,z212iz1iz 然 后 又 留 数 定 理 求 的 积 分 值 为2iResf(z),zknk=1 其中 zk（k=1,2,n）为 f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。4.5.2形如R(x)dx+的积分计算。其中 R(x)为 x 的有理函数，且分母的次数至少比分子的高二次，R(x)在实轴上无孤立奇点。则 R(x)dx+=2iResR(z),zk,zk为上半平面的所有奇点 4.5.3形如R(x)eiaxdx+=2iResR(x)eiax，zk 其中k为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法，还有许多细节性的问题没有一一列举。复变积分的算法对比实函数积分的计算方法，有很多相似的地方，较实函数积分要复杂些。复变的积分变换多是理解性的问题，多做题目可以提高思维的多样性，但容易造成思维定势。理解才是主要解题之道！