导数与推理证明试题及复数.pdf
1 高二数学测试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，1、设复数z满足i 2)i1(z，那么z Ai1 Bi1 Ci1 Di1 2.23)(23xaxxf，假设4)1(f，那么a A319 B316 C313 D310 3曲线324yxx在点(13)，处的切线的斜率为 A2 B1 C 2 D1 4设()fx是函数)(xf的导函数,()fx的图象如右图所示，那么)(xfy的图象最有可能的是 5由直线21x，x=2，曲线xy1及 x 轴所围图形的面积是 A.415 B.417 C.2ln21 D.2ln2 6.设双曲线019222ayax的渐近线方程为023yx，那么adxx1)1(的值为 Aln2 B.0 C.ln3 D.1 7设 z=x+yiRyx,，且xyz则,2|4|的最小值是 A3 B3 C33 D-1 8观察式子：213122，221151233，222111712344，那么可归纳出式子为 22211111(2)2321nnn22211111(2)2321nnn 222111211(2)23nnnn22211121(2)2321nnnn O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x A B C D O 1 2 x y 2 9、设函数 120423()42xxxxdxfxxfx，那么2log 3f=A.13 B.19 C.37 D.49 10 如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(CBAO，曲线xy 经过点B 现将一质点随机投入长方形OABC中，那么质点落在图中阴影区域的概率是 A125 B21 C32 D43 11假设2()2(1)f xxfx，那么(0)f等于 A.2 B.4 C.2 D.0 12函数2()f xxbx的图象在点 A1，(1)f处的切线l与直线320 xy平行，假设数列1()f n的前n项和为nS，那么2014S的值为 A20152016 B20142015 C20132014 D20122013 二、填空题本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.z是复数，且1|z，那么|43|iz的最大值为_.14 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，那么可得出一般结论：.15.考 察 以 下 一 组 不 等 式：,5252522233 ,5252523344 ,525252322355.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，那么推广的不等式可以是 .16.数列 na满足12a，111nnnaaa*nN，那么3a的值为 ，1232007aaaa的值为 三、解答题 3 17 本小题总分值 12 分 数列an的前 n 项和为 Sn，31a,满足)N(261naSnn，1求432,aaa的值；2猜测na的表达式。18.本小题 12 分用分析法证明：0 ba,求证baba 19.12 分数列1111.1 2 2 3 3 4(1)nn，计算1234SSSS，根据计算结果，猜测nS的表达式，并用数学归纳法证明.20.本小题总分值 12 分 设函数1()ln1af xxaxx()当1a 时，求曲线()f x在1x 处的切线方程；()当13a 时，求函数()f x的单调区间；21 本大题总分值 12 分 4 设函数 0kexxfkx 1求曲线 xfy 在点0，0f处的切线方程；2求函数 xf的单调区间；3假设函数 xf在区间-1，1内单调递增，求k的取值范围.22、(12 分函数xaxxxf3)(23。1假设)(xf在),1 上是增函数，求实数a的取值范围；2假设31x是)(xf的极大值点,求)(xf在,1 a上的最大值；3在2的条件下，是否存在实数b，使得函数bxxg)(的图像与函数)(xf的图像 恰有 3 个交点，假设存在，求出b的取值范围，假设不存在，说明理由。三解答题本大题共 6 小题，共 70 分.5 17、12 分数列an的前 n 项和为 Sn，31a,满足)N(261naSnn，1求432,aaa的值；2猜测na的表达式。解：1因为31a,且)N(261naSnn，所以326121aaS1 分 解得232a，2 分又233262132aaaS3 分，解得433a，4 分又432332632143aaaaS，5 分所以有834a6 分 2由1知31a=023，122323a，232343a，342383a10 分 猜测123nna Nn 12 分 21.解：函数()f x的定义域为(0,)，211()afxaxx 2 分()当1a 时，()ln1f xxx，1(1)2,()1,(1)0ffxfx ()f x在1x 处的切线方程为2y 5 分()22232(1)(2)()33xxxxfxxx 所以当01x，或2x 时，()0fx，当12x时，()0fx 故当13a 时，函数()f x的单调递增区间为(1,2)；单调递减区间为(0,1),(2,)8 分 20函数32()39f xxxxa。I求()f x的单调递减区间；II假设()f x在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值。【解】：I22()3693(23)3(3)(1).fxxxxxxx 4 分 32()0,13,()()39(1)(3,).fxxxf xf xxxxa 当时或单调递减，函数的单调递减区间为，6 分 II 2,2x 当时 12 分 maxmin()()1(2)2,(2)22,()2()(2)22202()(1)5527f xf xxfa faf xxf xfaaf xfa 在（-2,-1）单调递减，在（-1,2）单调递增，则函数在时取最小值;因为所以在时取最大值.由，得所以 6 22、函数xaxxxf3)(23。1假设)(xf在),1 上是增函数，求实数a的取值范围；2假设31x是)(xf的极大值点,求)(xf在,1 a上的最大值；3在2的条件下，是否存在实数b，使得函数bxxg)(的图像与函数)(xf的图像恰有 3 个交点，假设存在，求出b的取值范围，假设不存在，说明理由。【解】：(1)323)(2axxxf0在),1 x上恒成立,即)1(232332xxxxa在),1 x上恒成立,得0a .4 分 (2)0)31(f得 a=4.)3)(13(383)(2xxxxxf 在区间4,1 上,)(xf在3,1 上为减函数,在4,3上为增函数.而6)1(f，12)4(f，所以6)(maxxf 8 分 (3)问题即为是否存在实数 b，使得函数bxxxx3423恰有 3 个不同根.方程可化为0)3(42bxxx 等价于 0)3(42bxx 有两不等于 0的实根那么30b且，所以3,7bb 12分 17 解析要证baba，只需证22)()(baba 即baabba2，只需证abb，即证ab 显然ab 成立，因此baba成立
