【新高考数学专用】专题17利用导数求函数的极值(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf

专题 17 利用导数求函数的极值 一、多选题 1下列命题正确的有（）A已知0,0ab且1ab，则1222a b B3412ab，则2abab C323yxxx的极大值和极小值的和为6 D过(1,0)A 的直线与函数3yxx有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4 2对于函数2ln()xf xx，下列说法正确的是（）A f x在xe处取得极大值12e B f x有两个不同的零点 C 23fff D若 21f xkx在0,上恒成立，则2ek 3已知函数32()26f xxxx，其导函数为()fx，下列命题中为真命题的是（）A()f x的单调减区间是2(,2)3 B()f x的极小值是6 C过点0,0只能作一条直线与()yf x的图象相切 D()f x有且只有一个零点 4材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 0 xf xxx，我们可以作变形：lnlnxxxxxtf xxeeelntxx，所以 f x可看作是由函数 tf te和 lng xxx复合而成的，即 0 xf xxx为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 10 xh xxx的说法正确的是（）A无极小值 B有极小值1 C无极大值 D有极大值1ee 5 设()fx为函数 fx的导函数，已知2()()lnx fxxf xx，1(1)2f，则下列结论不正确的是（）A xf x在(0,)单调递增 B xf x在(1,)单调递增 C xf x在(0,)上有极大值12 D xf x在(0,)上有极小值12 6已知函数32()247f xxxx，其导函数为()fx，下列命题中真命题的为（）A()f x的单调减区间是2(,2)3 B()f x的极小值是15 C当2a 时，对任意的2x 且xa，恒有()f xf（a）f（a）()xa D函数()f x有且只有一个零点 二、单选题 7设函数 f x在 R 上可导，其导函数为 fx，且函数 1yx fx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A f x有极大值 2f B f x有极小值 2f C f x有极大值 1f D f x有极小值 1f 8下列关于函数2()(3)xf xx e的结论中，正确结论的个数是（）()0f x 的解集是|33xx；(3)f 是极大值，(1)f是极小值；()f x没有最大值，也没有最小值；()f x有最大值，没有最小值；()f x有最小值，没有最大值.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示，给出下列命题：-3 是函数 y=f(x)的极值点；y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；-1 是函数 y=f(x)的最小值点；y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A B C D 10已知函数 1ln,1,1,1,xx xf xxex，函数 1g xffxe零点的个数为（）A1 B2 C3 D4 11设函数 23xf xxe，则（）A f x有极大值且为最大值 B f x有极小值，但无最小值 C若方程 f xb恰有 3个实根，则360be D若方程 f xb恰有一个实根，则36be 三、解答题 12已知函数 1 lnf xaxx aR.（1）若1a，求 f x在区间1,ee上的极值；（2）讨论函数 f x的单调性.13设函数2()ln10f xxaxa.（1）当2a 时，求函数()f x的极值；（2）若函数()f x有 2个零点，求实数a的取值范围.14（1）已知32()f xxaxbxc，()124g xx，若(1)0f，且()f x图象在点(1,(1)f处的切线方程为()yg x，求,a b c的值.（2）求函数 2cosf xxx在0,上的极值.15已知函数 2,lnf xxm g xxx.(1)若函数 F xf xg x，求函数 F x的极值；(2)若 222xxf xg xxexxe在0,4x时恒成立，求实数m的最小值.16已知函数 2112fxx，2lnfxax（其中0a）.（1）求函数 12f xfx fx的极值；（2）若函数 121g xfxfxax在区间1ee,内有两个零点，求正实数a的取值范围；（3）求证：当0 x 时，231ln04xxxe.（说明：e是自然对数的底数，2.71828e）17已知函数()()lnf xxaxxa，aR（1）设()()g xfx，求函数()g x的极值；（2）若1ae，试研究函数()f x的零点个数 18已知函数2()(1),xf xaxe aR，在1x 时取得极值.（1）求a的值；（2）求函数()f x的单调区间.19已知函数32()(,)f xaxxbx a bR，()()()g xf xfx是奇函数.（1）求 f x的表达式；（2）求函数 g x的极值.20已知函数 lnf xaxbx.（1）当1,0ab时，求函数 yf x的极值；（2）当1,1ab时，求不等式 22f xx的解集；（3）当1,1ab时，若当1,x，恒有 1f xx成立，求实数的取值范围.21已知函数()ln2f xaxxx(aR).（1）讨论()f x的极值；（2）若 a2，且当2ex时，不等式2()(ln)4ln2mf xxx恒成立，求实数 m 的取值范围.22已知函数 2xf xxe.（1）求 f x的极值；（2）若函数 yf xax在定义域内有三个零点，求实数 a 的取值范围.23函数 32392f xxxx.（1）求 f x的极大值和极小值；（2）已知 f x在区间 D上的最大值为 20，以下 3 个区间 D的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？请说明理由.3,2；2 2,；3,1 24已知函数 xxf xxeem.（1）求函数 f x的极小值；（2）关于x的不等式 30f xx在1,13x上存在解，求实数m的取值范围.25已知函数3211()ln2()32f xxxxax aR.（）当12a 时，求函数()f x的单调区间（）设3211()()232g xf xxx，若函数()g x在221,xee有两个零点，求a的取值范围 26已知函数323()2f xxxa的极大值为 2.（1）求 a 的值和 f x的极小值；（2）求 f x在2x 处的切线方程.27已知函数 lnf xaxx aR.（1）讨论 f x的极值；（2）若方程 2lnaefxxx在1,e上有实数解，求a的取值范围.28设函数32()f xaxbxc，其中0ab，a，b，c均为常数，曲线 yf x在 11f，处的切线方程为10 xy.（1）求a，b，c的值；（2）求函数 f x的极值.29已知函数 22 ln2f xaxaxx，其中aR.（1）当4a 时，求函数 f x的极值；（2）若02a，试讨论函数 f x在1,e上的零点个数.30 如图，等腰梯形ABCD中，/AD BC，ABCD，BC中点为O，连接DO，已知2DO，20BCa a，设DOC，0,2，梯形ABCD的面积为 f；（1）求函数 yf的表达式；（2）当2a 时，求 yf的极值；（3）若()2f对定义域内的一切都成立，求a的取值范围.专题 17 利用导数求函数的极值 一、多选题 1下列命题正确的有（）A已知0,0ab且1ab，则1222a b B3412ab，则2abab C323yxxx的极大值和极小值的和为6 D过(1,0)A 的直线与函数3yxx有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求abab；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3yxx有三个交点，即可知2()h xxxk有两个零点且1x 不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1ba 且01a，所以21(1,1)aba ，即1222a b；B 选项，3412ab有3log12a，4log12b，而1212112(log 3log 4)2ababab；C选项，2361yxx 中 且开口向上，所以存在两个零点12,x x且122xx、1213x x ，即12,x x为y两个极值点，所以221212121 2121 212()()3 3()2()6yyxxxxxxxxxxxx；D 选项，令直线为(1)yk x与3yxx有三个交点，即2()()(1)g xxxkx有三个零点，所以2()h xxxk有两个零点即可 1 40(1)20khk ，解得1(,2)(2,)4k 故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.2对于函数2ln()xf xx，下列说法正确的是（）A f x在xe处取得极大值12e B f x有两个不同的零点 C 23fff D若 21f xkx在0,上恒成立，则2ek 【答案】ACD【分析】求得函数的导数31 2ln()xfxx，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定 A正确；根据函数的单调性和 10f，且xe时，0f x，可判定 B不正确；由函数的单调性，得到(3)()ff，再结合作差比较，得到()(2)ff，可判定 C正确；分离参数得到 221ln1xkfxxx在0,上恒成立，令 2ln1xg xx，利用导数求得函数 g x的单调性与最值，可判定 D 正确.【详解】由题意，函数2ln()xf xx，可得312ln()(0)xfxxx，令()0fx，即31 2ln0 xx，解得xe，当0 xe时，0fx，函数 f x在(0,)e上单调递增；当xe时，0fx，函数 f x在(,)e 上单调递减，所以当xe时，函数 f x取得极大值，极大值为1()2fee，所以 A 正确；由当1x 时，10f，因为 f x在(0,)e上单调递增，所以函数 f x在(0,)e上只有一个零点，当xe时，可得 0f x，所以函数在(,)e 上没有零点，综上可得函数在(0,)只有一个零点，所以 B 不正确；由函数 f x在(,)e 上单调递减，可得(3)()ff，由于ln2ln2lnln(2),()242ff，则2lnln2lnln2()(2)2444ff，因为22，所以()(2)0ff，即()(2)ff，所以 23fff，所以 C 正确；由 21f xkx在0,上恒成立，即 221ln1xkfxxx在0,上恒成立，设 2ln1xg xx，则 32ln1xgxx，令 0g x，即32ln10 xx，解得1xe，所以当10 xe时，0gx，函数 g x在1(0,)e上单调递增；当1xe时，0g x，函数 g x在1(,)e上单调递减，所以当1xe时，函数 g x取得最大值，最大值为1()22eegee，所以2ek，所以 D 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 3已知函数32()26f xxxx，其导函数为()fx，下列命题中为真命题的是（）A()f x的单调减区间是2(,2)3 B()f x的极小值是6 C过点0,0只能作一条直线与()yf x的图象相切 D()f x有且只有一个零点【答案】BCD【分析】求出函数()f x的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断 ABD 的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断 C 的真假【详解】因为2()341fxxx，令 0fx，得13x 或1x，则 f x在1,3，1,上单调递增；令 0fx，得113x，则 f x在1,13上单调递减 所以极小值为 160f ，极大值为11580327f，而 36f，故 f x存在唯一一个零点01,63x，A错误，B、D 正确；设过点0,0的直线与 yf x的图象相切，切点为 00,xf x，因为 2000341fxxx，32000026f xxxx，所以切线方程为 32000300042631yxxxxxxx 将0,0代入，得320030 xx 令32()3g xxx，则2()32(32)g xxxxx，所以 g x在(,0)，2,3上单调递增，在20,3上单调递减 因为 290g ，(0)30g，2770327g，所以方程 0g x 只有一解，即过点0,0只能作一条直线与 yf x的图象相切，故 C 正确 故选：BCD【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题 4材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 0 xf xxx，我们可以作变形：lnlnxxxxxtf xxeeelntxx，所以 f x可看作是由函数 tf te和 lng xxx复合而成的，即 0 xf xxx为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 10 xh xxx的说法正确的是（）A无极小值 B有极小值1 C无极大值 D有极大值1ee【答案】AD【分析】将函数 h x的解析式变形为 1lnxxh xe，利用复合函数的求导法则可求得 h x，利用导数可求得函数 h x的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：111lnlnxxxxxh xxee，所以 111lnlnln2221111lnln1 lnxxxxxxhxexexexxxxx，令 0h x得xe，当0 xe时，0h x，此时函数 h x单调递增；当xe时，0h x，此时函数 h x单调递减.所以 h x有极大值且为 1eh ee，无极小值.故选：AD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.5 设()fx为函数 fx的导函数，已知2()()lnx fxxf xx，1(1)2f，则下列结论不正确的是（）A xf x在(0,)单调递增 B xf x在(1,)单调递增 C xf x在(0,)上有极大值12 D xf x在(0,)上有极小值12【答案】AC【分析】首先根据题意设 g xxf x，得到ln()xg xx，再求出 g x的单调性和极值即可得到答案.【详解】由2()()lnx fxxf xx得0 x，则ln()()xxfxf xx 即ln()xxf xx，设 g xxf x ln()01xg xxx，()001g xx 即 xf x在(1,)单调递增，在(0,1)单调递减 即当1x 时，函数()()g xxf x取得极小值 1112gf.故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.6已知函数32()247f xxxx，其导函数为()fx，下列命题中真命题的为（）A()f x的单调减区间是2(,2)3 B()f x的极小值是15 C当2a 时，对任意的2x 且xa，恒有()f xf（a）f（a）()xa D函数()f x有且只有一个零点【答案】BCD【分析】由32()247f xxxx，知2()344fxxx，令2()3440fxxx，得23x ，22x，分别求出函数的极大值和极小值，知A错误，BD正确；由2a，2x 且xa，令2()344g xxx利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故C正确；【详解】解：32()247f xxxx，其导函数为2()344fxxx 令()0fx，解得23x ，2x，当()0fx时，即23x ，或2x 时，函数单调递增，当()0fx时，即223x时，函数单调递减；故当2x 时，函数有极小值，极小值为 215f，当23x 时，函数有极大值，极大值为2()03f，故函数只有一个零点，A错误，BD正确；令2()344g xxx，则()64g xx故在2,上()640g xx，即2()344fxxx在2,上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a 时，对任意的xa，恒有 f xf afaxa，即 f xf afaxa 对任意的2xa，恒有 f xf afaxa，即 f xf afaxa，故C正确；故选：BCD【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用 二、单选题 7设函数 f x在 R 上可导，其导函数为 fx，且函数 1yx fx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A f x有极大值 2f B f x有极小值 2f C f x有极大值 1f D f x有极小值 1f【答案】A【分析】由函数 1yx fx的图象，可得1x 时，0fx；21x 时，0fx；2x 时，0fx.由此可得函数 f x的单调性，则答案可求.【详解】解：函数 1yx fx的图象如图所示，1x 时，0fx；21x 时，0fx；2x 时，0fx.函数 f x在,2 上单调递增，在2,1上单调递减，在1,上单调递减.f x有极大值 2f.故选：A.【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.8下列关于函数2()(3)xf xx e的结论中，正确结论的个数是（）()0f x 的解集是|33xx；(3)f 是极大值，(1)f是极小值；()f x没有最大值，也没有最小值；()f x有最大值，没有最小值；()f x有最小值，没有最大值.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【分析】直接不等式()0f x 可判断对函数求导，求函数的极值，可判断利用导数求函数的最值可判断【详解】解：由()0f x，得230 x，即230 x，解得3x3，所以()0f x 的解集是|33xx，所以正确；由2()(3)xf xx e，得2()(23)xfxxxe，令()0fx，则2x2x30，解得3x 或1x，当3x 或1x 时，()0fx，当31x 时，()0fx，所以(3)f 是极小值，(1)f是极大值，所以错误；因为(3)f 是极小值，且当3x 时，()0f x 恒成立，而(1)f是极大值，所以()f x有最大值，没有最小值，所以正确，错误，故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 9函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示，给出下列命题：-3 是函数 y=f(x)的极值点；y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；-1 是函数 y=f(x)的最小值点；y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A B C D【答案】A【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率【详解】根据导函数图象可知：当,3x 时，0fx，在3,1x 时，0fx 函数 yf x在,3 上单调递减，在3,1上单调递增，故正确；则3是函数 yf x的极小值点，故正确；在3,1上单调递增，1不是函数 yf x的最小值点，故不正确；函数 yf x在0 x 处的导数大于0，切线的斜率大于零，故不正确.故选：A【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1.先求出原函数的定义域；2.对原函数求导；3.令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4.若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调 10已知函数 1ln,1,1,1,xx xf xxex，函数 1g xffxe零点的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】令 f xt，讨论t的取值范围：当1t 时或当1t 时，可得 1eef x 或 0f x，讨论x的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令 f xt，则 1ln,11 e,1tt tf ttt，（1）当1t 时，1ef t，即1e1lneett，即 1eef x.当1x时，1elnex 有一个解.当1x 时，1exfxx，,0 x，0fx；0,1x，0fx，且 10ef.当1x 时，111 eexx，而1e1ee，所以方程11e1 exxe无解.（2）当1t 时，1ef t，由（1）知0t，即 0f x.当1x时，ln0 x 有一个解.当1x 时，10ef x，所以 0f x 无解.综上，函数 g x有两个零点.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.11设函数 23xf xxe，则（）A f x有极大值且为最大值 B f x有极小值，但无最小值 C若方程 f xb恰有 3个实根，则360be D若方程 f xb恰有一个实根，则36be【答案】C【分析】求导后求出函数的单调区间，再根据当,3x 时，0f x；336336ffee、120fe，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.【详解】23xf xxe，22331xxxfxxexexxe，当,31,x 时，0fx，函数 f x单调递增；当3,1x 时，0fx，函数 f x单调递减；当,3x 时，230 x，0 xe，0f x，再由 336336ffee，120fe，可画出函数图象草图，如图，由图象可知，3f 为函数的极大值但不是最大值，故 A 错误；1f为函数的极小值，且为最小值，故 B错误；若要使 f xb有 3 个实根，则要使函数yb的图象与函数 f x的图象有 3 个交点，则360be，故C正确；若要使 f xb恰有一个实根，则要使函数yb的图象与函数 f x的图象仅有 1 个交点，则36be或2be，故 D错误.故选：C.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题.三、解答题 12已知函数 1 lnf xaxx aR.（1）若1a，求 f x在区间1,ee上的极值；（2）讨论函数 f x的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a 时，求得 1xfxx，利用导数分析函数 f x的单调性，由此可求得函数 f x在区间1,ee上的极值；（2）求得 10axfxxx，分0a 和0a 两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 f x的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a 时，1 lnf xxx，所以，1110 xfxxxx，列表；x 1,1e 1 1,e fx 0 f x 单调递减 极小 单调递增 所以，f x在区间1,ee上的有极小值 10f，无极大值；（2）函数 f x的定义域为0,，11axfxaxx.当0a 时，10ax，从而 0fx，故函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，若10 xa，则10ax，从而 0fx；若1xa，则10ax，从而 0fx.故函数 f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.综上所述，当0a 时，函数 f x的单调递减区间为0,，无单调递增区间；当0a 时，函数 f x的单调递减区间为10,a，单调递增区间为1,a.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.13设函数2()ln10f xxaxa.（1）当2a 时，求函数()f x的极值；（2）若函数()f x有 2个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值为1；（2）2ae.【分析】（1）当2a 时，2()ln10f xxaxa，对()f x求导判断单调性、即可求得极值；（2）对()f x求导，利用导函数得符号判断出()f x的单调递增区间是2,2a，单调递减区间是20,2a，然后对参数a进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数()f x有2 个零点时实数a的取值范围.【详解】（1）()f x的定义域是0,，当2a 时，2()2 ln1f xxx，2222()2xfxxxx.令()0fx，得1x 或1x （舍）.所以()f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，即()f x在1x 处取得极小值，极小值为 11f.无极大值（2）函数的定义域为0,，令22()20axafxxxx，则22ax，所以当20,2ax时，()0fx；当2,2ax时，()0fx，所以()f x的单调递增区间是2,2a，单调递减区间是20,2a.令202af，得2ae，当2ae，22()(ln1)ef xxx的最小值为10ef，即22()(ln1)ef xxx有唯一的零点1xe；当20ae时，2()ln1f xxax的最小值为2ln1222aaaf，且2ln10222aaaf，即2()ln1f xxax不存在零点；当2ae时，()f x的最小值2ln10222aaaf，又12e2a，2110eef，所以函数()f x在20,2a上有唯一的零点，又当2ae时，22aa，2()(ln1)(ln1)f aaaaa aa，令()ln1g xxx，则11()10 xg xxx，解得1x，可知()g x在2,1e上递减，在1,上递增，所以 10g ag，所以 0f a，所以函数()f x在2,2a上有唯一的零点 所以当2ae时，()f x有 2 个不同的零点 综上所述：实数a的取值范围是2ae.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14（1）已知32()f xxaxbxc，()124g xx，若(1)0f，且()f x图象在点(1,(1)f处的切 线方程为()yg x，求,a b c的值.（2）求函数 2cosf xxx在0,上的极值.【答案】（1）3a，3b，1c；（2）极大值为366f，极小值为55366f.【分析】（1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解；（2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为(1)0f，所以10abc 即1abc，由32()f xxaxbxc可得2()32fxxaxb，因为()f x图象在点(1,(1)f处的切线方程为14()2yg xx，所以 118fg，(1)12f，即18abc，3212ab，所以3a，3b，1c；（2）由 2cosf xxx可得 1 2sinfxx，所以当50,66x时，0fx；当5,66x时，0fx；所以函数 f x的单调递增区间为50,66 ，单调递减区间为5,66，所以函数 2cosf xxx在0,上的极大值为366f，极小值为55366f.15已知函数 2,lnf xxm g xxx.(1)若函数 F xf xg x，求函数 F x的极值；(2)若 222xxf xg xxexxe在0,4x时恒成立，求实数m的最小值.【答案】（1）()F x的极大值是m，无极大值；（2）42ln44e.【分析】（1）先写函数 F xf xg x并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)lnxmxexx，再研究函数最大值得到m的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()lnF xxxmx，定义域为(0,)，1(21)(1)()21xxF xxxx.()001F xx；()01F xx；当x变化时，(),()F x F x的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)()F x-0+()F x 极小值 由上表可得()F x的极大值是(1)Fm，无极大值；（2）由2()()22xxf xg xxexxe在(0,4)x时恒成立，即22ln22xxxmxxxexxe，整理为(2)lnxmxexx在(0,4)x时恒成立.设()(2)lnxh xxexx，则1()(1)xh xxex，当1x 时，10 x，且1,1xeex，10,()0 xeh xx.当01x时，10 x，设211,0,xxueueuxx在(0,1)上单调递增，当0 x 时，11,0 xuexx；当1x 时，10ue，0(0,1)x，使得00010 xuex 当00,xx时，0u；当0,1xx时，0u.当00,xx时，()0h x；当0,1xx时，()0h x，故函数()h x在00,x上单调递增，在0,1x上单调递减，在(1,4)上单调递增.0000000000122ln2212xh xxexxxxxxx.0000022(0,1),2,121xh xxxx ，4(4)2ln440he，当(0,4)x时，()(4)h xh，(4),mhm的最小值是42ln44e.【点睛】利用导数研究函数()f x的单调性和极值的步骤：写定义域，对函数()f x求导()fx；在定义域内，解不等式()0fx和()0fx写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：数形结合法；分离参数法；构造函数法.16已知函数 2112fxx，2lnfxax（其中0a）.（1）求函数 12f xfx fx的极值；（2）若函数 121g xfxfxax在区间1ee,内有两个零点，求正实数a的取值范围；（3）求证：当0 x 时，231ln04xxxe.（说明：e是自然对数的底数，2.71828e）【答案】（1）极小值为4ae，无极大值；（2）2211,222eee；（3）证明见解析.【分析】（1）2121()()()ln2f xf xfxaxx，利用导数求出其单调性，然后可得极值；（2）21()ln(1)2g xxaxax，利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解；（3）问题等价于求证223ln4xxxxe；设23()4xxh xe，利用导数求出其最大值，然后证明 minmaxf xh x即可.【详解】（1）2121()()()ln2f xf xfxaxx，11()ln(2ln1)(0,0)22fxaxxaxaxxxa，由 0fx，得12xe，由 0fx，得120 xe，故函数 f x在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，所以函数 f x的极小值为124afee，无极大值.（2）函数21()ln(1)2g xxaxax，则2(1)()(1)()(1)axaxaxa xg xxaxxx，令 0g x，0a，解得1x，或xa（舍去），当01x时，0g x，g x在0,1上单调递减；当1x 时，0gx，g x在1,上单调递增.函数 g x在区间1ee,内有两个零点，只需10(1)0()0gegg e，即2211021102(1)02aaeeaeaea，22212212222eaeeaeeae，故实数a的取值范围是2211,222eee.（3）问题等价于223ln4xxxxe由（1）知 2lnf xxx的最小值为12e.设23()4xxh xe，(2)()xx xh xe，易知 h x在0,2上单调递增，在2,上单调递减.2max4324h xhe，221433142442eeee2223216(38)(2)044eeeeee，minmaxf xh x，223ln4xxxxe，故当0 x 时，231ln04xxxe【点睛】方法点睛已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解.17已知函数()()lnf xxaxxa，aR（1）设()()g xfx，求函数()g x的极值；（2）若1ae，试研究函数()f x的零点个数【答案】（1）极小值为 ln1g aa，无极大值；（2）1个【分析】（1）先求得 g x，然后求 g x，对a分成0a 和0a 两种情况进行分类讨论，结合单调性求得 g x的极值.（2）首先判断 f x在0,上递增，结合零点存在性定理判断出 f x的零点个数.【详解】（1）()()lnf xxaxxa，aR，()()lnag xfxxx，0 x 221()axag xxxx，当0a 时，()0g x恒成立，()g x在(0,)上是增函数，无极值 当0a 时，xa，当(0,)xa时，()g x单调递减；当(,)xa时，()g x单调递增，()g x的极小值 ln1g aa，无极大值 （2）由（1）知，当1ae时，()g x的极小值 1ln1ln10eg aa ，结合 g x的单调性可知min()0g x，即()0fx恒成立()f x在(0,)上是增函数，1111112ln0faaaaeeeeeee ，2()ln20eaeefaeeaaeae，()f x在1ee,中有一个零点，函数()()lnf xxaxxa的零点个数为 1 个【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；3.分离参变量，即由()0f x 分离参变量，得()ax，研究直线ya与()yx的图像的交点问题.18已知函数2()(1),xf xaxe aR，在1x 时取得极值.（1）求a的值；（2）求函数()f x的单调区间.【答案】（1）13；（2）函数()f x的单调增区间是 31，单调减区间是3,1.【分析】（1）利用极值定义，列式()01f，求出a值并验证即可；（2）利用导数正负确定函数()f x的单调区间即可.【详解】解：（1）函数2()(1),xf xaxe aR，则2()(21)xfxaxaxe，函数在1x 时取得极值，故1(1)(21)=0faae，解得13a，此时21()(1)3xf xxe，2121()(1)=31333xxfxxxexxe，函数()f x确实在1x 时取得极小值.故a的值是13；（2）因为1()313xfxxxe，当 31x ，时()0fx，当3,1x 时()0fx，故函数()f x的单调增区间是 31，单调减区间是3,1.19已知函数32()(,)f xaxxbx a bR，()()()g xf xfx是奇函数.（1）求 f x的表达式；（2）求函数 g x的极值.【答案】（1）321()3f xxx；（2）极大值4 23，极小值4 23.【分析】（1）求导2()32fxaxxb，由()()()g xf xfx得到()g x的表达式，然后利用()g x是奇函数求解.（2）由（1）知31()23g xxx，求导2()2g xx，再利用极值的定义求解.【详解】（1）函数32()(,)f xaxxbx a bR，所以2()32fxaxxb，所以32()312g xaxaxbxb，因为()g x是奇函数 所以()()gxg x，所以3100ab，解得130ab，所以 f x的表达式为321()3f xxx.（2）由（1）知31()23g xxx，则2()2g xx，当2x 或2x 时，()0g x，g x递减；当22x时，()0g x，g x递增；所以当2x 时，g x取得极大值4 23，当2x 时，g x取得极小值4 23.【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20已知函数 lnf xaxbx.（1）当1,0ab时，求函数 yf x的极值；（2）当1,1ab时，求不等式 22f xx的解集；（3）当1,1ab时，若当1,x，恒有 1f xx成立，求实数的