一元一次方程初中数学竞赛专题讲座(26份初中数学竞赛教程).pdf

学科：奥数 教学内容：一元一次方程 【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是 1 的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。【要点讲解】1 含参量的一元一次方程 含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。因为未注明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。例 1 解关于的方程。思路 这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。解：把原方程变形为 即 当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。例 2 若 a，b，c 是正数，解方程。解法一：原方程两边乘以 abc，得到方程 ,移项合并同类项得 即 由，知 ,即。解法2：对原方程左端的每一项减去1，得 即 由，知 说明 通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为 3 个，为3 个，使原方程易于求解。例 3 k 为何正数时，方程的解是正数？思路 当方程有唯一解时，此解的正负可由 a，b 的取值确定：（1）若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0 成立。（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。解：按未知数整理方程得 要使方程的解为正数，需要 不等式的左端 因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。2 含有绝对值符号的一次方程 解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。例 4 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则 m，n，k 的大小关系是（）（A）；（B）；（C）；（D）；思路 对于方程，当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，此时方程的解为或。解：无解，则 有一个解，则 有两个解，则。所以，成立，选择（A）。例 5 解关于的方程 （1）；（2）。思路 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令 ，分别得到=-2，=3，用-2，3 将数轴分成三段：3，-23，-2 然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。解：（1）当-2 时，原方程化为 解得=-2；当-23 时，原方程化为 即 5=5，所以-23 是原方程的解。当3 时，原方程化为 解得=3。综合以上得，原方程的解为-23。（2）当 2 时，原方程化为 即 由知，若 a1 时，解为；当 23 时，原方程化为 即若 a=1 时，解为 23；当 a3 时，原方程化为 即 由知，若 a1 时，解为。综合以上得；当 a1 时，解为；当 a=1 时，解为 23；当 a0,b0，则方程的解是什么？9若 abc=1，解方程。参考答案与提示:A 级 1（D）；2（D），提示：利用拆项求和法将原方程化简为。31.5，提示：由题意得 3a+2b=0，且 a0。4-2，提示：方程变形为，显然只能是整数，且0。5 当时，方程无解；当时，方程有无穷多个解；当=3 时，=2；当=-2时，=1。B 级 6a1，提示：由方程有负根，有，从而，故；若方程有正根，则=+1，即，解出1，从而方程没有正根应1。7a=4，提示：分-1,-13,3，三种情况来讨论。8当 a 时，原方程化为，解得=。当 b时，原方程化为，此式恒成立。当b 时，原方程化为，解得=b，综上原方程的解是 ba。9 原方程的解为=1999。