一元微积分(第一章函数极限连续).pdf

第一章 函数、极限、连续 重点：1、求函数的极限（最重要的方法是 LP 法则）2、无穷小的比较 3、考察分段函数在分段点的连续性 4、间断点的判定及分类 5、介值定理 一、函数 1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】函数概念 ()yf x 函数的两要素 定义域对应规则 函数的表示方法 显函数：()yf x 隐函数：由方程(,)0F x y 确定的函数()yy x.例：1yyxe确定了()yy x01xy 参数方程表示的函数：由方程()()xx tyy t确定的函数()yy x.例：2ln(1)arctanxtyt 确定了()yf x.积分上限函数：()()xaxf t dt 例：2311()(1)3xxt dtx 概率表示的函数：()()F xP Xx，其中X为随机变量，x为实数.分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数【例】,0()sin,0axxf xxxx ；1sin,0()0,0 xxf xxx .如 A.绝对值表示的函数 11111xxyxxx；B.极限表示的函数 2211()lim0111nnnxxxf xxxxxx；C.其他形式 2022101()max1,12xxf xxxx 10sgn()0010 xyxxx-符号函数 yx取整函数 2、函数的性质【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】有界性：()fx在某区间I内有定义，若存在0M，对任意xI，总有()f xM，则称()fx在某区间I内有界.否则称()fx在某区间I内无界.例：2111sin1,(0);arctan,();,1,()2121xxxxxRxRxxe 单调性：()fx在某区间I内有定义，若12,xxI，当12xx时12()()f xf x，就称()fx 单调上升；当12xx时，12()()f xf x，就称()fx单调下降 不含等号时称严格单增（或单减）.奇偶性：若()()fxf x，则称()f x为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；若()()fxf x，则称()f x为奇函数，奇函数的图形关于原点对称 周期性：()()(0)f x Tf xT （主要是三角函数）【例 1】讨论2()ln(1)f xxx的奇偶性 【奇函数】【例 2】设sin()tanxf xxx e，则()f x是（）A.偶函数 B.无界函数 C.周期函数 D.单调函数【解】因为 2xk时，()f x ，所以()f x非有界即为无界函数.3、基本初等函数【掌握基本初等函数的性质及图形】（反、对、幂、三、指）常数函数-yC 幂函数-yx（为常数）例：21,yxyyxx 指数函数-xya （0,1aa），xye 对数函数-logayx （0,1aa），lnyx，lgyx 三角函数-sin,cos,tanyxyxyx 反三角函数-arcsin,arctanyxyx 4、复合函数、反函数、初等函数【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】复合函数 (),()()yf uuxyfx；f为外层函数，称为内层函数 反函数 ()yy x的反函数为1()xfy或1()yfx.【例】333yxxyyx称为是函数3yx的反函数.【例】sin xye 看作是由,sinuyeux 复合而成的复合函数.初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数.注意：分段函数一般不是初等函数。【例】设21()1xxf xxx，()lng xx，求(),()fg xg f x【解】2221ln(x)0g(x)g(x)1ln(x)ln(x)1f(g(x)=g(x)g(x)1ln(x)ln(x)11ln(x)xexexee或 22ln1ln1()ln()ln1ln100 x1xxxxg f xf xxxxx 或 二、极限【理解极限的概念，理解左、右极限的概念及极限存在与左、右极限的关系】1、定义：若当x 时，()f xA，则称 lim()xf xA 结论：000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA lim()lim()lim()xxxf xAf xf xA 2、性质【掌握极限的性质】极限存在的唯一性：极限存在则唯一 局部有界性：若lim()xf xA，则在x的一定范围内有()f xM.保号性：若lim()0(0)xf xA，则在x的一定范围内()0(0)f x 若()lim()xf xg x存在，则当 lim()0 xg x时，一定有 lim()0 xf x 【例】由 0(0)0()lim1()0,lim()01 cosxUxf xf xf xx.【例】由 0(0)00()0()lim1lim()0,0()0 xUxxf xf xf xxxf x.【例】由 2()()lim2()0()()xaU afxfxf xxa单调递增.3、无穷小及其比较【理解无穷小、无穷大及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限】定义：若lim()0 xf x，则称x 时，()f x为无穷小量 若lim()xf x，则称x 时，()f x为无穷大量 （注意区别无穷大量与无界函数）性质：有限个无穷小的和（积）仍为无穷小 常数与无穷小的乘积仍为无穷小 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小【即(),lim()0lim()()0 xxg xMf xf x g x】【例】求 2limarctan1xxxx 【0】无穷小的比较 若和为自变量同一变化趋势下的无穷小量，若lim0 x，称是比高阶的无穷小，记为()o 若limxC，（0C），称和为同阶无穷小 若lim1x，称和为等价无穷小，记为 若limkxC，(0C),则称是的k阶无穷小 4.求极限的方法【掌握洛必塔法则、极限的四则运算法则、极限存在的两个准则、两个重要极限，会用它们求极限】.用洛必塔法则求极限 未定型 000,0,1,00 的极限一般可用洛必塔法则来求.0,0 型直接用，0000()()limlim()()()xxxxf xfxg xg x存在或为，其他五种未定型的极限必须化为 上述形式才能用洛必塔法则来求.【例 1】求 00000022limlimlimlim2sin1 cossincosxxxxxxxxxxxxeexeeeeeexxxxx【例 2】求 2223200000sin11sin1sinsincos11limlnlimln(11)limlimlim36xxxxxxxxxxxxxxxxxxx .【例 3】求 22223220000011tantansec1tan1limlimlimlimlimtantan333xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.【例4】求 1ln1limlim expexp limexp lim1xxxxxxxxxxxxeeexeexxee .【例5】求 2220003sin13sin13sin131limlimlim1(1 cos)ln(1)22222xxxxxxxexexexxxxx .【例 6】1 21201122012120ln12lnlnlnlimlimlnln1limnxxxnxxxxnnxxxxxxxnnxnxa aanaaaaaannaaanaaaxaaana aaeee求 【例 7】（2009 数三）求30coscoscos022000sin3limlimlim221133xxxxxxeeeex eexxx 利用四则运算法则求极限（和、差、积、商的极限当每一个极限存在且分母极限不为零时可分别求）【例 1】求 1112123113limlim2333213xxxxxxxx 【例 2】求 44lim(3)limlim23111 31nnnnnnnnnnnnnn 【例 3】求 222012310lim2310lim10()().()10101010nnnnnnnn.利用左、右极限求极限 000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA【例 1】设ln(1)0()001110 xxxf xxxxxx，求 0lim()xf x【解】000112lim()limlim1(11)xxxxxxf xxxxx，00ln(1)lim()lim1xxxf xx，则 0lim()xf x=1 【例】求 01111limarctan1xxxxee 【解】0011110 1limarctanlim()0 1221xxxxxee；00011111111110limarctanlimarctanlim11 0 2211xxxxxxxxxeeee，则 01111limarctan21xxxxee 利用极限存在的两个准则求极限（）若()()()g xf xh x，且 lim()lim()xxg xh xA，则lim()xf xA（）若数列 nx单调递增有上界（或数列 nx单调递减有下界），则数列 nx一定有极限 【例 1】求 22212lim()12nnnnnnnnn 【解】因 222222(1)1212(1)2()1212(1)n nnnn nnnnnnnnnnnnnnn 而 22(1)(1)1limlim2(1)2()2nnn nn nnnnnn，则 222121lim()122nnnnnnnnn 【例】求 10lim2nnxdxx【解】1011,00323(1)21nnnnxxxxndxxnxn 时，则 10lim02nnxdxx 或 11001013limlimlimln(2)limln0,(0,1)222nnnnnnnnxdxdxxxx 【例】设11()2nnnaxxx，其中00,0ax，求limnnx【证】111()222nnnnnaaxxxaxx，即数列有下界 1211(1)(1)122nnnxaaxxa 即 1nnxx，即数列单调递减，由单调有界原理知数列 nx有极限，设limnnAx ，则11limlim()2nnnnnaxxx，即1()2aAAAaA，则 limnnax.【例 4】设110,limnnnnaxaxaxx求 【解】1210,211axaxaxaaaaa，假设1nxa，则1211nnxaxaaaaa，所以 nx有上界；因12110,axaxaxax 假设1nnxx，那么 11110nnnnnnnnxxxxaxaxaxax，所以 nx单调递增；由于 数列 nx单调递增有上界，所以数列 nx一定有极限，设 limnnxA 在1nnxax两边取极限，有114lim2nnaAaAAx 总结：给出了1nx与nx的关系式（1()nnxf x），要求limnnx，一般用单调有界准则（首先证明极限存在，再两边取极限）.利用两个重要极限求极限 0()0sinsin()lim1lim1()xxxxxx（与三角函数有关00的型的极限）()()11lim(1)lim(1)()xxxxxxee 10lim(1)xxxe（1型的极限）【例 1】求 22()322lim(1)lim(1)2lim()lim(1)lim(1)xaxaxxxxxaxaxxaaaxaxxaxaaxxe .【例 2】求 101lim()lim1111nnnnnnnne.利用“有界函数与无穷小量相乘仍是无穷小量”求极限 若()f xM，且 lim()0 xg x，则lim()()0 xf xg x【例 1】求 lim(sin1sin)xxx 解：11lim(sin1sin)lim 2cossin22xxxxxxxx 11lim 2cossin221xxxxx 而 11cos1,lim sin0221xxxxx ，故 lim(sin1sin)0 xxx .【例 2】求 3232222111coscos1limlim11(sin)(1sin)xxxxxxxxxxx.利用等价无穷小代换求极限 定理：若11,，则11limlimxx （注：乘除可以换，加减不能换）常见的等价无穷小：0 x 时，sin,tan,arcsin,arctan,1,ln(1)xxxxxexx 211 cos,(1)12xxxx【例 1】求 201sin1lim1xxxxe 【解】原式2200sin12limlim22xxxxx xxx 【例 2】求 30tansinlimxxxx (注：30tansinlimxxxx30lim0 xxxx)【解】原式3330002tansinsin(1 cos)12limlimlimcos2xxxxxxxxxxxxx （乘积中某一部分极限存在且不为零，可先求出此极限）【例 3】已知 20()ln(1)sinlim31xxf xxe，求 20()limxf xx【解】2000()()()sinlimlimlim322 sin2xxxf xf xf xxxxxx，则20()lim6xf xx 【例 4】求 2013sincoslim(1cos)ln(1)xxxxxx 【解】原式20013sincos3sin133limlim(cos)022222xxxxxxxxxx.利用函数的极限求数列的极限 (注：数列非连续，不可直接使用罗必塔法则)【例】求 1ln1limlimlimlimlim1xxxnxxxxnxxnxxee 利用变量代换求极限【例 1】已知0lim2(3)xxfx，求 0(2)lim_xfxx【解】令：23xt，则 0000033(2)(2)12limlimlim2limlim(3)(2)2(2)3xtttxtxtftfxfxftfttx.【例 2】求 2210001limln(1)11ln(1)111limlimlim22(1)2xtttxxxxtttttt .极限值已知，确定未知常数.【例 1】已知 21lim()01xxaxbx，求,ab 【解】221(1)()1lim()lim011xxxxaab xbaxbxx 10()0aab 解得：1,1ab 【例 2】设当0 x 时，2(1)xeaxbx是比2x高阶的无穷小，求,ab.【解】由已知得 220(1)lim0 xxeaxbxx,即 002lim0lim2012xxxxeaxbeaxbbx 又 0022121limlim02222xxxxeaxbeaaax，则 12a，1b 【例 3】（2009数 1、2、3）当0 x 时，sinxax与2ln(1)xbx为等价无穷小量，求,ab.【解】2320000sinsin1coslim1limlim1lim1cos0ln(1)3xxxxxaxxaxaxaxxbxbxbx,于是 1,a 再由2220011 cos12lim1lim1336xxxxbbxbx.则 116ab 总结：求00型极限，若乘积因子中有等价无穷小量可先代换；若有非零的乘积因子可先计算出其极限；若仍为00型，此时考虑用罗必塔法则，同时结合其他求极限的方法.二连续性 【理解函数连续的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型】1、连续的定义：若 00lim()()xxf xf x（0000limlim()()0 xxyf xxf x ），则称函数()f x 在0 x点连续 2、间断点及其分类：若函数()f x在0 x点不连续，则0 x点称为()f x的间断点 第一类间断点：左、右极限都存在的间断点（左、右极限不相等的为跳跃间断点，左、右极限相等的 间断点为可去间断点）第二类间断点：非第一类的间断点（注：一般地，分段函数的分段点及分式函数中分母为 0 的点都有可能为间断点）3、初等函数的连续性【了解连续函数的性质和初等函数的连续性】基本初等函数在其定义域内都是连续的；初等函数在其定义区间内都是连续的；单调连续函数的反函数在相对应的区间上仍为单调连续函数【例 1】讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型.11()1xxf xe 【解】因为 0011lim()lim1xxxxf xe，所以0 x 为第二类无穷型间断点，因为 1111lim()lim01xxxxf xe，1111lim()lim11xxxxf xe，所以 1x 为第一类跳跃间断点 .()ln1xf xx 【0 x，1x 为第一类可去间断点，2x 为第二类无穷型间断点】【解】0 x，1x，2x 为()f x的间断点，且因为 11lim()lim0ln1xxxf xx 000lim()limlim1ln1ln(1)xxxxxf xxx，22lim()limln1xxxf xx，所以0 x，1x 为第一类可去间断点，2x 为第二类无穷型间断点 【例 2】函数（A）在其定义域内连续，A1()cosf xxx B.sin0()cos0 xxf xxx C.10()0010 xxf xxxx D.10()00 xxf xx 【解】1()cosf xxx为初等函数，其定义域为0 x，即其定义区间为(,0),(0,)，由初等函数连续性的性质知 A 正确.而 B、C、D 的定义域均为 R，其中在0 x 处均不连续.【例 3】设210()0 xexf xxaxx，如何选择a，使()f x在,内连续 【解】0 x 时，21()xef xx为初等函数，0 x 时，()f xax为初等函数，均连续，要使()f x在,内连续，只需在0 x 时连续即可.即200001lim()lim2lim()lim()2xxxxxef xf xaxaax时，()f x在,内连续 【例】讨论函数221()lim1nnnxf xxx的连续性，若有间断点，判断其类型.【解】2211()lim0111nnnxxxf xxxxxx ，11lim()lim1xxf xx，11lim()lim1xxf xx，则1x 为第一类跳跃间断点；11lim()lim1xxf xx，11lim()lim1xxf xx，则1x 为第一类跳跃间断点【例 5】（2009 数 1、2、3）函数3()sinxxf xx的可去间断点的个数为_.【解】由sin00,1,2xx 均为3()sinxxf xx的间断点，而 320001 31lim()limlimsincosxxxxxxf xxx；321111 32lim()limlimsincosxxxxxxf xxx 321111 32lim()limlimsincosxxxxxxf xxx，当 2,3,4,x 时，均有 lim()xf x，故函数3()sinxxf xx的可去间断点的个数为 3.、闭区间上连续函数的性质【理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质】（1）若()f x为,a b上的连续函数，则()f x在,a b上一定取得最大值和最小值 （2）若()f x为,a b上的连续函数，M 和 m 分别是()f x在,a b上的最大值和最小值，常数 C 满足：mCM，则一定存在,a b，使()fC （3）（零点定理）若()f x为,a b上的连续函数，且()()0f af b，则至少存在,a b，使()0f【例 1】证明方程 sin10 xx 在,2 2 内至少有一个根【证】设()sin1f xxx），()f x在,2 2 内连续，且()()(2)02222ff，即方程 sin10 xx 在,2 2 内至少有一个根【例 2】若()f x在 0,1上连续，且1(1)0,()12ff，试证至少存在1,12，使()f【证】设()()F xf xx，()F x在 0,1上连续，且 11111()()122222Ff，(1)(1)10 11Ff ，即1()(1)02FF，由零点定理得至少存在1,12，使()0F，即()f 【例 3】设()f x在,ab上连续，acdb，证明：对任意正数p和q，至少有一点,cd，使()()()()pf cqf dpq f【证明】因为()f x在,cdab上连续，所以()f x在,cd上存在最小值m和最大值M，使 (),()mf cMmf dM 又0,0pq，于是(),()pmpf cpMqmqf dqM 相加得()()()(),pq mpf cqf dpq M 即()(),pf cqf dmMpq 由介值定理知，存在,cd，使()()()pf cqf dfpq，即()()()()pf cqf dpq f