指数及指数幂的运算.pdf

.指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进展相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进展根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值围推广到实数集；3.通过指数围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过外表去认清事物的本质【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1整数指数幂的概念 2运算法则 1nmnmaaa；2 mnnmaa；30anmaaanmnm，；4 mmmbaab.要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义：假设*n=y(nN*，n1，yR)，则*称为 y 的 n 次方根.n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数 y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为00 n；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n.2两个等式 1当1n 且*nN时，nnaa；2)(|)(,为偶数为奇数nanaann 要点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a的形式，这样能防止出现错误 要点三、分数指数幂的概念和运算法则.为防止讨论，我们约定 a0，n，mN*，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质(1);aaa (2)();aa(3)();aba b 当 a0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2ab ab，ab2a22abb2，ab3a33a2b3ab2b3，a3b3ab a2abb2，a3b3ab a2abb2的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式 例 1.求以下各式的值：15242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()ab.【答案】-3；10；3；0abba（ab）（a=b）（ab）（a=b）（a【总结升华】1 求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4 的平方根是2，但不是42.2根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式 1】计算以下各式的值：133(2)；224(9)；366(4)；488(2)a.【答案】1-2；23；34；42(2)2(2)aaa a.例 2.计算：152 674 364 2；2112121.【答案】2 2;2 2【解析】对于1需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于2，则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.152 674 364 2=22(3)2 32(2)+2222 2 3(3)-2222 2 2(2)=222(32)(23)(22)=|32|+|23|-|22|=32+23-22=22 2112121 =2121(21)(21)(21)(21)=2121 =2 2【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思.想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例 2 中，121的分子、分母中同乘以(21).举一反三：【变式 1】化简：1343432 2(12)(12)；2222169(|3)xxxxx 【答案】121；222(31),4(13).xxx 类型二、指数运算、化简、求值 例 3.用分数指数幂形式表示以下各式式中a0：12aa；2332aa；3a a；423633yxyxyx【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可 1115222222;aaaaaa 2221133323333aaaaaa；31131322224()()a aa aaa；4解法一：从里向外化为分数指数幂 23633yxyxyx=123633()yxyxyx=232yxyxyx=1222()yxyx=11222yxyx=54y 解法二：从外向里化为分数指数幂 23633yxyxyx=1236233()yxyxyx=112362233()yxyxyx=1112363223()yxyxyx.=11123624123yxyxyx =54y【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,1)mnmnaaam nN且n当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进展化简 举一反三：高清课程：指数与指数运算 例 1【变式 1】把以下根式用指数形式表示出来，并化简 152aa；63xxx【答案】11310102 a；223x【变式 2】把以下根式化成分数指数幂：168 2；2(0)a a a；3332bb；452231()xx【答案】7122；34a；113b；35x【解析】168 2=117766322122222；21331322224()a aa aaaa；3211332333bbbbb；452231()xx=243325511()xxx x =35913935355111()xxxx 例 4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88；(2)433333391624337(3)2633634125(36)(4)(3)【答案】3；0；2.【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211；(2)原式=033236373333；(3)原式=-5+6+4-(3-)=2；注意：1运算顺序(能否应用公式)；2指数为负先化正；3根式化为分数指数幂.举一反三：【变式 1】计算以下各式：(1)63425.0031)32(28)67()81(；(2)33323323134)21(428aabbababaa.【答案】112；a【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(181123222324143；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaaababaa331331313131)2()()8(.【变式 2】计算以下各式：高清课程：指数与指数运算 例 3【答案】21+15 64【解析】原式=16+6+5+26+346=21+15 64 例 5.化简以下各式.(1)2132111136251546xyx yx y；(2)111222mmmm；(3)10.5233277(0.027)21259.【答案】1624y；1122mm；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进展运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546xyx yx y(2)2112211122111122222mmmmmmmmmm(3)10.5233277(0.027)21259 举一反三：.【变式 1】化简：233()xyxy.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222()()xyxyxyxyx y.注意：当 n 为偶数时，(0)|(0)nna aaaa a.【变式 2】化简222222223333xyxyxyxy【答案】32xyxy【解析】应注意到223xx与之间的关系，对分子使用乘法公式进展因式分解，原式22223333333322223333()()()()xyxyxyxy 2332()2xyxyxy .【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简以下式子：(1)33223(2)4 22 6 (3)3232x2x1x3x3x1 【答案】2 26；44182；2x(x1)2(x1)【解析】(1)原式22(33)2(33)2(33)33242 32(31)(2)222444444(182)(18)2 182(2)由平方根的定义得：444 22 6182(3)33233x3x3x1(x1)x1 32322x(x1)x2x1x3x3x12(x1).高清课程：指数与指数运算 例 4 例 632121xx，求23222323xxxx的值.【答案】13【解析】从条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121xx的联系，进而整体代入求值 32121xx，129xx，17xx 22249xx，2245xx 23222323xxxx=11122()(1)3472xxxx =3(7 1)315145453【总结升华】对于条件求值问题一定要弄清与未知的联系，然后采用整体代换或化简后代换方法求值此题的关键是先求3322xx及22xx的值，然后整体代入 举一反三：【变式 1】求值：(1)11225xx，求21xx的值；(2)a0，b0，且 ab=ba，b=9a，求 a 的值.【答案】23；43【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.(1)由11225xx，两边同时平方得*+2+*-1=25，整理得：*+*-1=23，则有2123xx；(2)a0，b0，又 ab=ba，1119()()(9)ababbbababaa 8182499933aaa.稳固练习 一、选择题 1.假设13x，则21 69xx等于 A.31xB.1 3xC.2(1 3)xD.非以上答案 2.假设33(3)a，44(2)b，则ab A.1B.5 C.-1D.25 3.计算2 13 2 242的结果是 A.32 B.16 C.64 D.128 4.化简1111132168421212121212，结果是 .A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.1321122 5.44366399aa 等于 A.16aB.8aC.4aD.2a 6.假设1,0ab，且2 2bbaa，则bbaa的值等于 A.6 B.2 C.2 D.2 二、填空题 7.计算7 37 34=.8.化简(21)(12)bbb=.9.221331(2)(2)2=.10.假设3,2ab化简224(4129)aabb=.三、解答题 11.计算：111221233112534316；212323410.02750 0.00164.12.计算以下各式：1011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ；21122111122222ababababab。13.计算：232111333311111xxxxxxxx.稳固练习 一、选择题 1.化简1111132168421212121212，结果是 A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.1321122 2.计算2 13 2 242的结果是 A.32 B.16 C.64 D.128 3.假设1,0ab，且2 2bbaa，则bbaa的值等于 A.6 B.2 C.2 D.2 4.以下各式中错误的选项是 A.21153151(1)aaaa B.269463(,0)abab a b C.12211133342423424(,0)x yxyx yy x y D.113324115324153(,0)525a b cac a b cab c 5.122、133、166这三个数的大小关系为 A.166 133 122 B.166 113223 C.122 133 166 D.133 122 166 6.定义在R上的奇函数()f x和偶函数()g x满足()()2xxf xg xaa 0,1aa且，假设(2)ga，则(2)f A.2 B.154 C.174 D.2a 二、填空题 7.212)2(.8.1133223232=.9.假设0 x，则13131142422223234()xxxxx=.10.14aa，则1122aa=.三、解答题 11.计算：111221233112534316；212323410.02750 0.00164.12.计算以下各式：1011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ；21122111122222ababababab 13.计算：232111333311111xxxxxxxx 14.2212213333334,3,3abxaa byba b.求证：2233xyxy为定值.15.1化简：111321114322abcc aa bb ca bb cc ax yx yxxx；2)0,0)(21baabbax，求11222xxxb的值.